Integrantes:
Mirielle Eunice Aragón López
Efrén Córdova Pérez
Soledad Ocaña Vergara
Diana Gorrochotegui Barra
María Guadalupe Jáuregui Santos
Eduardo López García
Ernesto de Dios Hernández
Materia: Investigación de Operaciones II
Catedrática : Zinath Javier Gerónimo
Como podemos estimar la función de conveniencia de
un individuo? llamémosle Jill por ejemplo comenzamos
suponiendo que el resultado menos favorable ( por
ejemplo – 10000 dólares) tiene una conveniencia cero y
que el más favorable (por ejemplo 30000 dólares) tiene
conveniencia 1.
A continuación definiremos un
numero x1/2 que tenga u(x1/2 )= para determinar a x1/2
le preguntaremos a Jill el numero (llamémoslo x1/2 ) que
hace que le dé igual cualquiera de las opciones
siguientes:
1
x1/2
30,000 dólares
Resultado mas favorable
-10,000 dólares
Resultado menos favorable
y
Como Jill le da lo mismo escoger entre las dos loterías, deben tener la mismo
conveniencia esperada. Así u(x1/2 )=(1/2)(1) + ( 1/2)(0) = 1/2
Este procedimiento da un punto x1/2 que tiene u(x1/2 )= 1/2 supongamos
que Jill dice que x1/2 = - 3,400 dólares. Con x1/2 y el resultado menos
favorable (- 10,000 dólares) como resultados posibles, podemos formar una
lotería que pueda usarse para determinar el punto x1/4 que tiene una
conveniencia de 1/4 (es decir , u (x1/4)=1/4 . El punto debe ser tal que le de
lo mismo a Jill escoger entre
1
x1/2 -3400 dólares
x1/4
y
-10,000 dólares Resultado menos favorable
Entonces u(x1/4)= (½) (½)+ (½)(0)= ¼. Así, x1/4 satisface a u(x1/4)=¼.
Suponga que Jill afirma que x1/4=-8,000 dólares. Esto nos indica otro
punto de l función de conveniencia de Jill.
Jill puede utilizar ahora los resultados x1/2 y 30,000 dólares para formar
una lotería que arroje un valor x 3/4 que satisfaga u(x 3/4)= ¾ . Suponga
que x 3/4=8,000 dólares. Igualmente se pueden usar los resultados de
x1/2 y -10,000 dólares para formar una lotería que tenga un valor x1/8
que satisfaga u(x1/8) =1/8. ahora la función de conveniencia de Jill se
puede aproximar trazando una curva que una los puntos :
(-10,000, 0 dólares ), (x1/8 ,1/8), (x1/4, 1/4) ……., (30,000, 1 dólares)
Figura 1.
Función de
conveniencia
de Jill
1
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
-10,000
0
10,000
20,000
30,000
RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN DE CONVENIENCIA DE UN
INDIVIDUO Y SU CONDUCTA FRENTE AL RIESGO
Para analizar la actitud frente al riesgo definiremos
los conceptos de equivalencia de certeza y ventaja
de riesgo de una lotería
DEFINICIÓN:
El equivalente de certeza de una lotería L se representa por CE(L) y el
numero CE(L) tal que quien toma decisiones es indiferente optar por la
lotería L o recibir determinada paga de CE(L).
Por ejemplo a Jill le daba lo mismo optar entre
1
30,000 dólares
-3,400 dólares
y
L
-10,000 dólares
sd
DEFNICIÓN:
La ventaja de riesgo de una lotería L se representa por RP(L) y esta
definida por RP(L)= EV(L)-CE(L). Donde EV(L) es el valor esperado
de los resultados de la lotería.
Por ejemplo si :
30,000 dólares
L
-10,000 dólares
Entonces EV(L) = (½)(30,000) dólares + (½)(-10,000 dólares)= 10,000
dólares.
Así RP(L)= 10,000 dólares –(- 3,400 dólares)= 13,400 dólares
Jill evalúa a L en 13,400 dólares menos que su valor esperado, porque no
le gusta el alto grado de incertidumbre relacionado con la recompensa
que da L.
• Sea una lotería no degenerada cualquiera en la que pueda suceder
mas de un resultado. Con respecto a su conducta frente al riesgo un
tomador de decisiones es :
• Contrario a los riesgos si y solo si RP(L) > 0
para cualquier lotería L no degenerada.
• Neutral frente a riesgos si y solo si RP(L)=0
para cualquier lotería L no degenerada.
• Busca riesgos si y solo si RP(L) < 0 para
cualquier lotería L no degenerada.
La actitud de un individuo frente al riesgo depende de la
concavidad o convexidad de la función de conveniencia.
DEFINICIÓN: se dice que una función u(x) es estrictamente cóncava o
estrictamente convexa, si para dos puntos cualesquiera en la curva y=u(x), el
segmento de recta que los une queda por completo (excepto sus extremos) abajo
o arriba, respectivamente, de dicha curva.
Si u(x) es derivable entonces será estrictamente cóncava si y solo si u´´(x)<0 para
toda x y u(x) será estrictamente convexa si y solo si u´´(x)>0 para toda x.
Se puede demostrar con facilidad que si quien toma decisiones tiene una
función de conveniencia u(x) es:
Contario a los riesgos si y solo si u(x) es
estrictamente cóncava.
Neutral frente a riesgos si y solo si u(x)
es función lineal, es decir, u(x) es tanto
convexa como cóncava
Busca riesgos si y solo si u(x) es
estrictamente convexa.
• Para dar un ejemplo de estas definiciones, demostraremos que si
quien toma decisiones tiene una función de conveniencia u(x)
cóncava, presenta una actitud contraria a los riesgos esto es tiene
RP(L)>0. suponga una lotería binaria l (es decir una lotería que solo
tiene dos resultados posibles
p
L
x1
(Suponer x1 < x2 )
1 - p
x2
Suponga que u(x) es estrictamente cóncava. Entonces, según la figura 2 vemos
que
F(U para L)=p u(x1) + (1 – p)u(x2)= coordenada y del punto 1.
Como CE(L) es el valor (x*)=E(u para L), la figura 2 muestra que CE(L)<EV(L)
de modo que RP(L) >0 . Esto se obtiene por que la concavidad estricta de u(x)
significa que el segmento de recta que une a los puntos (x1 ,u(x1)) y (x2
,u(x2))queda a bajo de la curva u(x)
Figura 2.
Explicación de
porque una función
de conveniencia
cóncava significa
conducta contraria
a los riesgos
E(U para L)
RP(L)
Px1 + (1 - p) x2
=EV(L)
x1 CE(L)
x2
También podemos presentar una demostración
algebraica que u(x) estrictamente cóncava significa que
RP(L)=EV(L)-CE(L)>0. recuerde que para :
p
L
1 - p
x1
x2
EV(L)=Px1 + (1 – p) x2 .
Ahora bien la concavidad estricta de u(x) significa que :
U[Px1 + (1 – p) x2 ]>pu(x1) + (1 – p)u(x2)=E(U para L).
Así quien toma decisiones prefiere a
Px1 + (1 – p) x2 =EV(L)
Con certeza frente a la alternativa de jugar con L.
significa que RP(L)=EV(L) – CE(L)>0 y, por tanto quien toma decisiones
adopta una conducta contraria a los riesgos.
La función de conveniencia de Laura, concerniente a sus bienes
x está dada por u(x)= x1/2. en la actualidad los haberes de Laura
consisten en 10 000 dólares en efectivo y una casa de 90 000
dólares. Durante un año determinado hay una probabilidad de
.001 de que la casa de Laura sea destruida por un incendio u
otras causas. ¿ Cuánto desearía pagar Laura por una póliza de
seguro que le repusiera su casa en caso de ser destruida?
Solución:
Sea x= prima anual de seguro. Entonces Laura debe escoger
entre las loterías siguientes:
L1: Comprar el seguro
1
.001
L2: No comprar el seguro
.999
(100 000 dólares – x)
100 000 dólares – 90
000 dólares = 10 000
dólares
$100 000
Laura preferirá L1 a L2 si la conveniencia esperada de L1 es
mayor que la de L2. Así, L1pL2 si
(100 000 – x)1/2 > .001(10 000)1/2 + .999(100 000)1/2
> .10 + 315.91
> 316.01
Elevando al cuadrado ambos miembros de la última
desigualdad, vemos que L1pL2 si y sólo si
100 000 – x > (316.01)2
x < 137.68 dólares
Así, Laura pagaría hasta 137.68 dólares por un seguro.
Naturalmente , si p = 137.68 dólares, L1iL2.
Calculemos la prima de riesgo para L2:
EV (L2) = .001(10 000) + .999(100 000) = 99 910 dólares
(es una pérdida esperada de 100 000 – 99 910 = 90 dólares).
Como E(U para L2) = 316.01, podemos calcular CE(L2) de la
relación u(CE(L2)) = 316.01, o sea [CE(L2)]1/2 = 316.01. Así,
CE(L2) = (316.01)2 = 99 862.32 dólares y
RP(L2) = EV(L2) – CE(L2) = 99 910 – 99 862.32 = 47.68 dólares
Por tanto, Laura está de acuerdo en pagar como prima anual
de seguro para su hogar la cantidad de 47.68 dólares más
que la pérdida esperada de 90 dólares. Recuerde que Laura
estaba dispuesta a pagar hasta 90 + 47.68 = 137.68 dólares
para evitar el riesgo de que su casa se destruyera. Laura
tiene una conducta contraria a los riesgos (RP(L2)> 0). Como
un
(x) =
-x
-3/2
4
<0
u(x) es estrictamente cóncava, y RP(L) > 0 sería válida
para cualquier lotería no degenerada.
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Unidad 5.Inv.Op.