EL PENSAMIENTO
MATEMÁTICO PACIOLIANO,
CULMINADO EN LA OBRA DE
DIVINA PROPORTIONE, Y EL
DESARROLLO DE LA
ENSEÑANZA COMERCIAL
Esteban Hernández Esteve
Universidad Autónoma de Madrid
Chairman of the Board of Trustees
of The Academy of Accounting
Historians
*
*
*
Uberlândia, 19-20 de noviembre de 2009
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LA M DISEÑADA
POR LUCA PACIOLI Y
PUBLICADA EN
DE DIVINA
PROPORTIONE ES
HOY EL LOGO DEL
METROPOLITAN
MUSEUM DE NUEVA
YORK
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EN MATEMÁTICAS Y EN LAS ARTES SE DICE QUE DOS CANTIDADES
ESTÁN EN PROPORCIÓN ÁUREA SI LA SUMA DE LAS DOS CANTIDADES
ES A LA MAYOR COMO LA MAYOR ES A LA MENOR
LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES: AC + CB : AC = AC : CB
Y LA GEOMÉTRICA:
LA SECCIÓN ÁUREA, EL NÚMERO ÁUREO O LA PROPORCIÓN ÁUREA,
COMO SE PUEDE LLAMAR INDISTINTAMENTE, ES UN NÚMERO
IRRACIONAL, DE UN VALOR APROXIMADO DE 1,6180
LUCA PACIOLI FUE EL PRIMERO EN LLAMARLA DIVINA PROPORCIÓN
MATEMÁTICAMENTE SE DESIGNA CON LA LETRA GRIEGA PHI,
USUALMENTE EN MINÚSCULAS (φ), EN MEMORIA DE PHIDIAS
DE ESTE MODO, SE DICE QUE DOS CANTIDADES ESTÁN EN
PROPORCIÓN ÁUREA O φ SI:
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ESTA ECUACIÓN DEFINE φ CON PRECISIÓN. EL TÉRMINO IZQUIERDO
MUESTRA QUE a ES MAYOR QUE b, MIENTRAS EL DERECHO NOS
INDICA QUE a = bφ, POR LO QUE SUSTITUYENDO a POR SU VALOR EN
LA ECUACIÓN TENDREMOS:
DIVIDIENDO LOS TÉRMINOS POR b DARÁ
MULTIPLICANDO AMBOS LADOS POR φ Y DESPEJANDO, TENDREMOS:
LA SOLUCIÓN A ESTA ECUACIÓN ES:
ALGÚN AUTOR TAMBIÉN LLAMA φ A LA SECCIÓN ÁUREA INVERSA, O
SEA, A LA SOLUCIÓN NEGATIVA DE LA ECUACIÓN, TOMADA EN SU
VALOR ABSOLUTO: 0,6180… = SEGMENTO CB
LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES PROPORCIONAN LA PRIMERA
DEFINICIÓN CONOCIDA DE LA SECCIÓN ÁUREA: “SE DICE QUE UNA
RECTA HA SIDO CORTADA EN EXTREMA Y MEDIA RAZÓN CUANDO LA
RECTA ENTERA ES AL SEGMENTO MAYOR COMO EL SEGMENTO 4
MAYOR ES AL SEGMENTO MENOR”
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ALGUNAS FIGURAS TRAZADAS DE ACUERDO CON LA SECCIÓN ÁUREA
LA CATEDRAL DE CHARTRES
LA DISTANCIA ENTRE COLUMNAS Y LA LONGITUD DE LA NAVE, DEL
CRUCERO Y DEL CORO SON MÚLTIPLOS DE LA SECCIÓN ÁUREA 6
NOTRE DAME DE PARÍS
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PÁGINAS DEL MANUSCRITO AMBROSIANO DE DE DIVINA ROPORTIONE
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EN LAS QUE PACIOLI EXPLICA LAS RAZONES DEL NOMBRE
EL COCIENTE ENTRE EL LADO
DEL CUARADO Y EL RADIO DE LA
CIRCUNFERENCIA DA EL
NÚMERO ÁUREO
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PRIMERA PÁGINA DEL ALGORITMI DE NUMERO INDORUM (AÑO 1130),
TRADUCCIÓN EN LATÍN DE LA OBRA DE AL-KHWARIZMI (AÑO 825)
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HECHA EN LA ESCUELA DE TRADUCTORES DE TOLEDO
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EL MONJE VIGILA, PINTADO POR ÉL MISMO, MOSTRANDO EL
CODICE AL LECTOR
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FOLIO 12 vº DEL CODEX VIGILANUS (AÑO 976)
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EL MONASTERIO DE SUSO DE SAN MILLAN DE LA COGOLLA, EN
EL QUE FUE COPIADO EL CODEX VIGILANUS, TERMINÁNDOSE 14
EL
AÑO 992 CON EL NOMBRE DE CODEX EMILIANENSIS
UBICACIÓN DE AURILLAC, DEL MONASTERIO DE SANTA MARIA
DE RIPOLL Y LA RIOJA
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REPRODUCCIÓN DE UNA
PÁGINA DEL EJEMPLAR
MÁS ANTIGUO QUE HA
LLEGADO A NESTROS DÍAS
DEL LIBER ABACI
NO ESTÁ FECHADO, PERO
LA TRADICIÓN LO SITÚA
HACIA LA DÉCAD DE 1290.
EL EJEMPLAR ES UNA
TRADUCCIÓN
INCOMPLETA EN ITALIANO
ANTIGUO DEL
MANUSCRITO ORIGINAL
EN LATÍN, COMPUESTO EN
1202
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COMPARACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DEL CODEX VIGILANUS Y DEL
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LIBER ABACI
GRABADO DE LA DIOSA
ARITMÉTICA, CON SU
VESTIDO SALPICADO DE
NÚMEROS ÁRABES,
PRESIDIENDO UNA
COMPETICIÓN ENTRE
BOECIO, EL ALGEBRISTA, Y
PITAGORAS.
LA DIOSA ARITMÉTICA
MUESTRA UNA CLARA
PREDILECCIÓN POR BOECIO,
QUE SONRÍE Y TIENE UNA
CARA LLENA DE
SATISFACCIÓN, MIENTRAS,
PITAGORAS, POR EL
CONTRARIO, MUESTRA UNA
EXPRESIÓN TRISTE Y
PREOCUPADA
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ESTE NO ES EL UNICO GRABADO QUE
REFLEJA LA DURA PUGNA ENTRE LOS
NUMERALES INDO-ARÁBIGOS Y ROMANOS.
HAY MUCHOS EN EL SIGLO XVI
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22
23
FIGURAS SIMBÓLICAS REPRESENTANDO BIENES MATERIALES24
(TRIGO, REBAÑOS, MUEBLES) MESOPOTAMIA, 8.OOO A 3.500 AÑOS A.J.
BOLA DE ARCILLA EN LA QUE SE INTRODUCÍAN LAS FIGURILLAS
REPRESENTANDO BIENES. EN LA SUPERFICIE DE LA BOLA SE
MARCABAN ALGUNAS VECES LAS FIGURILLAS PARA SABER EL
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CONTENIDO DE LA BOLA.
HACIA EL AÑO 3.200 A.J. LOS MESOPOTÁMICOS SE PERCATARON DE
QUE NO LES HACÍAN FALTA LAS BOLAS DE ARCILLA CON LAS
FIGURILLAS DENTRO: CON LA IMPRESIÓN DE LAS FIGURILLAS EN
UNA ALMOHADILLA DE ARCILLA TENÍAN SUFICIENTE. DE AHÍ AL
NACIMIENTO DE LA ESCRITURA PROTO-CUNEIFORME SÓLO HUBO
26 UN
PASO
LA TARJA MÁS ANTIGUA QUE SE
CONOCE: EL ISHANGO BONE
20.000 AÑOS A.J.
EJEMPLO DE TARJA DOBLE: UNA
MITAD PARA EL DEUDOR, LA OTRA
PARA EL ACRREDOR
TARJAS PREHISTÓRICAS
MODERNAS TARJAS, USADAS
POR LAS COOPERATIVAS
QUESERAS FRANCESAS HASTA
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PRINCIPIOS DEL SIGLO XX
EJEMPLOS DE QUIPUS INCAS
HABÍA UN CUERDA
PRINCIPAL DE LA QUE COLGABAN VARIAS CUERDAS SECUNDARIAS, UNA PARA CADA CLASE DE
CUENTA O IMPUESTO. ERA POSIBLE INCLUSO QUE UNA CUENTA
TUVIERA DOS CUERDAS SECUNDARIAS: UNA PARA LAS DECENAS DE
MILLAR Y OTRA PARA LOS IMPORTES MENORES. CADA CUERDA SE
DIVIDÍA EN TRAMOS PARA DIFERENCIAR UNIDADES, DECENAS, 28
CENTENARES, ETC.
TABLETAS DE ARCILLA DE MESOPOTAMIA
CUENTA DE LA FABRICACIÓN DE
PRODUCTOS LÁCTEOS (2.600 A.J.)
REGISTRO DE DISTRIBUCIÓN DE CAMPOS
DE CULTIVO ENTRE MÁS DE CIEN
FAMILIAS, MIEMBROS DE UNA COMUNIDAD
(2.600 A.J.)_________________________________
CANTIDAD DE INGREDIENTES UTILIZADOS
EN LA PRODUCCIÓN DE CERVEZA:
CEBADA Y MALTA (3.000 A.J.)

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ESTO ES TODO LO QUE
QUERÍA DECIRLES.
MUCHAS GRACIAS POR SU
ATENCIÓN
CUBIERTA POSTERIOR DEL
MASNUCRITO AMBROSIANO
DE DIVINA PROPORTIONE
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la m diseñada por luca pacioli y publicada en de divina proportione