Movimiento en un Plano
Mov. Circular uniforme
Autores
Ignacio Cruz Encinas
Mario Enrique Álvarez Ramos
Saúl Robles García
Roberto Pedro Duarte Zamorano
Ezequiel Rodríguez Jáuregui
Rogelio Gámez Corrales
UNIVERSIDAD DE SONORA
Departamento de Física
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Analizaremos ahora el otro ejemplo de un movimiento en un plano,
siendo éste el circular uniforme. De igual forma que en los
movimientos anteriores, nuestro problema es realizar una descripción
completa de tal movimiento, para introducirnos en él supongamos el
siguiente ejemplo:

Describir el movimiento de una rueda de automóvil se encuentra
girando en la misma posición. Suponga que se le han hecho unas
marcas localizadas en la parte interior del eje de rotación, en los
tornillos, en la parte interior del rin, en la parte exterior del
mismo, así como en la parte media y en la exterior del hule de la
llanta.
Dichas marcas las localizamos a partir del centro de rotación
mediante los vectores de posición r1 , r2, ,r3, r4 y r5.
Movimiento circular
y+
r5
r4
r3
r2
Δr4
Δr5
r1 r2 r3 r4 r5
x+
Al girar la llanta, las marcas cambiarán de posición, pero tales cambios
que se representan mediante Dr son diferentes para cada marca, de tal
forma que:
Dr5 > Dr4 > Dr3 > Dr2 > Dr1
Movimiento circular
Es decir, en el mismo intervalo de tiempo las marcas
recorrerán distancias diferentes.
Al existir un cambio de posición en un intervalo de tiempo,
tenemos asociada una velocidad media dada por:
vm = Dr⁄Dt
cuya magnitud es:
vm =│ vm │ = │ Dr⁄Dt │= (1 ⁄Dt )(│Dr│)
su dirección es la misma que la del desplazamiento, la cual se
obtiene uniendo la posición inicial con la final (es la misma
dirección y sentido para todos los desplazamientos).
Sin embargo, como los cambios de posición son diferentes
para los mismos intervalos de tiempo, tenemos que las
magnitudes:
vm5 > vm4 > vm3 > vm2 > vm1
Movimiento circular
Consecuentemente los vectores velocidad media también lo serán
vm5 ≠ vm4 ≠ vm3 ≠ vm2 ≠ vm1
(Para que dos o más vectores sean iguales deben de tener la misma
magnitud, misma unidad, misma dirección y sentido, si alguno de estos
parámetros cambia, los vectores son diferentes).
por lo tanto, cada partícula que se mueva en una trayectoria circular de
radio r tendrá su propia ecuación de movimiento, es decir, si tenemos
n partículas moviéndose simultáneamente, tendremos n ecuaciones, lo
cual complica la descripción del movimiento.
Para salvar dicha dificultad, se requiere de un nuevo concepto bajo el
cual se pueda hacer la descripción del movimiento de las n partículas
con una sola ecuación. Dicho concepto es el de velocidad angular y
para definirla, necesitamos conocer lo que son las cantidades
angulares y la relación que estas guardan con respecto a las
cantidades lineales o tangenciales que hemos venido manejando. Para
tal relación, se requiere definir en primer lugar lo que es el ángulo y
la forma común de medirlo, lo cual abordaremos a continuación:
Ángulo
El ángulo formado entre dos rectas que se unen en un punto llamado
vértice se define como el cociente entre el arco de circunferencia y
el radio del círculo. Para representar simbólicamente a los ángulos,
generalmente se utilizan las letras del alfabeto griego, a (alfa); b
(beta); g (gama); q (teta); f (fi), etc.
recta
R radio de la circunferencia
S arco de circunferencia
R
q ángulo
v
v vértice o eje de rotación
S
q
R
q=S⁄R
recta
Ángulo




La forma común de medir ángulos es en sentido contrario
a las manecillas del reloj.
Como S se mide en metros, lo mismo que R, el ángulo es
una cantidad adimensional, es decir, no tiene unidades, sin
embargo, para saber de que cantidad estamos hablando se
le da el nombre de radianes ( rad ), grados ( 0 ), o
revoluciones ( rev ).
Un radián es cuando la longitud del arco de circunferencia
es igual a la longitud del radio (s = R ).
Para encontrar la equivalencia entre grados y radianes,
sabemos que un circulo tiene 3600, lo cual es una
revolución completa, así mismo, tenemos que 3600
representan la longitud el perímetro de la circunferencia
(2pR), luego entonces:
Ángulo, radianes y revolución
q = 3600 = S ⁄ R = 2pR ⁄ R = 2p radianes = 1 revolución
Expresado de otra forma, dividimos el perímetro de la circunferencia en
360 partes iguales para obtener la equivalencia de un grado en
radianes
10 = S ⁄ R = (2pR ⁄ 360) ⁄ R = 2p ⁄360 = p ⁄180 = 3.1416 ⁄ 180
10 = 0.01745 rad.
3600 = 1 rev.
Aplicando la regla de tres simple, se encuentra que:
1 rad = 57.30
Velocidad Angular Media
Ya que tenemos la forma de medir los ángulos, analicemos nuevamente el
movimiento de n partículas que se mueven en trayectorias circulares
de diferentes radios, buscando generalidades para todas ellas.
R
r
Dq
r
D sR
D sr
R
Para los dos cuerpos, el ángulo barrido (Dq ) es el mismo, así como el
intervalo de tiempo ( Dt)
Velocidad Angular Media
De la definición de ángulo
vm = DS ⁄Dt
Dq = DS ⁄ R
despejamos DS
DS = R D q
y sustituimos en la ecuación de velocidad media
vm = R (Dq ⁄ Dt)
El cociente de ángulo barrido entre intervalo de tiempo, es el mismo
para cualquier partícula que se mueva en una trayectoria circular, la
velocidad lineal o tangencial (v) dependerá de la distancia de la
partícula al centro de rotación.
A dicho cociente, se le denomina velocidad angular media
representándose con la letra griega omega (
w ).
Velocidad Angular Media
sus unidades son:
Velocidad Angular media  wm = Dq⁄Dt
rad ⁄ s
rev ⁄ s
grados ⁄ s
Para obtener la velocidad angular instantánea, se procede de igual forma
que para la velocidad tangencial instantánea, es decir, tomando el limite
cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, lo cual expresado en
símbolos es:
velocidad
angular
instantáne a  ω 
Δθ
lim ω  lim
Δt 0
Δ t  0 Δt

lim
Δ t  0 t  t0
La relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular es:
v=wr
θ θ0
Velocidad Angular Media
La velocidad es directamente proporcional a la velocidad angular y a la
distancia al eje de rotación. Como la velocidad angular es una
constante para un sistema de partículas, la velocidad lineal
dependerá de la distancia de la partícula al eje de rotación, entre
mas alejada se encuentre, mayor velocidad tendrá.
La ecuación de movimiento en cantidades angulares para una partícula
que se mueve en una trayectoria circular, se encuentra despejando q
de la definición de velocidad angular:
w 
Δθ
Δt

θ θ0
t  t0
q = q0 + w ( t – t0 )
Frecuencia y periodo
Cuando se trabaja con movimientos repetitivos como lo es un cuerpo
moviéndose en trayectoria circular, existen dos conceptos útiles de
introducir, siendo estos: la frecuencia y el periodo. Cada uno de ellos se
define como:
Frecuencia.- El número de vueltas por unidad de tiempo (se representa
mediante la letra griega "nu" ).

 
número de vueltas
tiempo
cuyas unidades son recíprocos de segundo o s-1
Período.- El tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta (o revolución)
completa (se representa mediante la letra griega "tao" ).
t=t
Cuando el número de vueltas es uno, entonces:
 
1
t
Velocidad lineal y angular
Las velocidades lineales y angulares se expresan mediante los
parámetros anteriores al considerar una vuelta completa, donde la
distancia recorrida será igual al perímetro de la circunferencia.
v = Ds/ Dt = 2pr/t
y como el tiempo es simplemente "tao“
v = 2pr/t
además, como la frecuencia es el inverso del período:
por lo que,
v = 2pr(1/t)
v = 2prn
Comparando las relaciones anteriores con la expresión:
tenemos que:
v=wr
w = 2pn = 2p/t
escribiendo todas las relaciones se tiene que:
v = wr = 2pr/t = 2prn
Aceleración Centrípeta o Radial
Analicemos nuevamente el movimiento de una partícula que se mueve en
una trayectoria circular de radio r. Como ya se vio en el movimiento
en el plano, la velocidad de la partícula será siempre tangente a la
trayectoria que ésta siga (de ahí que reciba el nombre de velocidad
lineal o tangencial), además recordemos que la velocidad es un vector
que posee magnitud, unidad, dirección y sentido.
 Empezaremos por el caso mas sencillo en el cual la magnitud de la
velocidad es constante.
v3
v2
│v1│= │ v2 │=│v3│= …… =│v7│=│v8│
v1
R
v4
v5
v8
v6
v7
Pero:
v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ …… ≠ v7 ≠ v8
Porque tienen diferente
dirección y sentido
Aceleración Centrípeta o Radial
Puesto que los vectores velocidad son diferentes, luego entonces
tendremos una diferencia de vectores dada por:
Dv = v2 – v1
Dv = v3 – v2
Dv = v4 – v3
Dv = v5 – v4
etc.
los cuales se pueden expresar como una suma, al sumar al primer vector,
el negativo del segundo vector, es decir:
veámoslo gráficamente:
Dv = v2 + (– v1)
Aceleración Centrípeta o Radial
v3
v2
-v2
-v
Dv23 1
Dv34
v4
Dv12
-v8
v1
-v3
Dv45
v5
-v4
v6
Dv81
R
v8
v7
Como se puede apreciar, todos los vectores cambios de velocidad son
diferentes, pero tienen algo en común: están dirigidos hacia adentro
del círculo y tienen la misma magnitud.
Aceleración Centrípeta o Radial
Dado que los cambios de velocidad son diferentes, consecuentemente
tendremos una aceleración dada por:
a = Dv / Dt
que como ya sabemos, es un vector con:
magnitud,
unidad,
dirección y
sentido.
Para precisar correctamente tanto su dirección como sentido así como
su magnitud, analicemos de nuevo la figura manteniendo aún
constante la magnitud de la velocidad pero considerando un intervalo
de tiempo Dt mas pequeño y consecuentemente un .
Aceleración Centrípeta o Radial
Al hacer la diferencia de vectores Dv (por ej. v2 – v1), en la figura se
aprecia que ésta apunta en dirección radial y hacia el centro de
rotación independientemente del lugar en donde la queramos medir
(por ej. v4 – v3) . Además como la dirección y el sentido del vector
aceleración es el mismo que del vector cambio de velocidad: la
aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, de ahí que
v2
reciba el nombre de aceleración radial o centrípeta.
Dv cuando Dt → 0
v3
Dv
-v3
v4
v1
-v1
Dv
Aceleración Centrípeta o Radial
Cualitativamente, también se aprecia que la diferencia de vectores
tienen la misma magnitud. Para determinarla cuantitativamente,
debemos tomar un Dt próximo a cero, de tal manera que los puntos a y
b se encuentren tan cercanos uno del otro que la parte curva del
circulo entre dichos puntos pueda considerarse como una recta.
c
v2
v1
-v1
d Dv
R
b
DS
e
R
a
Aceleración Centrípeta o Radial
De ésta forma, tendremos que DS será una línea recta entre el punto a y
el punto b, formándose los triángulos aeb y bcd, que tienen las
siguientes características:
triángulo aeb
Dos lados iguales
R
triángulo bcd
c
v
Uno desigual
DS
Dv
De la semejanza de triángulos tenemos que:
dos o más triángulos son semejantes
si tienen dos lados iguales y uno desigual.
Dicho en otras palabras,
el lado desigual (DS) del triángulo aeb
lo es al lado igual (R)
e
como el lado desigual (Dv) del
triángulo bcd lo es al lado igual (v).
v2
v1
-v1
d Dv
R
b
DS
R
a
Magnitud de la Aceleración Centrípeta
Traducido en lenguaje simbólico:
Dv
DS

v
R
despejando Dv y dividiendo entre el intervalo de tiempo Dt que tardó el
cuerpo en ir del punto a al punto b
Dv
Dt

v DS
R Dt
donde:
Dv
Dt
y
DS
Dt
 a
 v
sustituyendo lo anterior
a 
v
2
R
Aceleración Centrípeta o Radial
Siendo
a = │a│ la magnitud de la aceleración del cuerpo,
v = │v│ la magnitud de la velocidad del cuerpo y
R el radio de la trayectoria circular
Como la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, se le
agrega el subíndice r para diferenciarla de la aceleración lineal o
tangencial.
De ésta forma:
a
r

v
2
R
Aceleración Centrípeta o Radial
Para expresarla en forma vectorial, se define el vector unitario rˆ que
es un vector cuya magnitud es la unidad, su dirección es a lo largo
del radio y su sentido es saliendo del centro y dirigiéndose hacia la
posición de la partícula. Se puede decir que constantemente está
cambiando su dirección (con respecto a un sistema de coordenadas
x, y), ya que sigue a la partícula en toda su trayectoria circular.
Además, como la aceleración apunta en sentido contrario al vector
unitario es decir, en dirección  rˆ entonces:
a
r

v
2
R
rˆ
La magnitud de la aceleración, expresada en función de la velocidad
angular, la frecuencia y el período es:
ar 
v
2
r
4p r
2
 w r  4p  r 
2
2
2
t
2
Movimiento Circular no Uniforme
Todos los movimientos analizados hasta el momento, tales como el
rectilíneo uniforme, el uniformemente acelerado, el parabólico y el
circular uniforme, son de los movimientos mas sencillos que se
producen en la naturaleza y se han tratado de una forma aislada.
Sin embargo, en la vida cotidiana lo que se observa en realidad es una
combinación de ellos como por ejemplo:
Un automóvil que se desplaza con velocidad constante sobre una carretera
horizontal y que tiene una curva en el camino. El conductor, al observar la
curva disminuye su velocidad pasando de un movimiento rectilíneo
uniforme a uno uniformemente acelerado (desacelerado), ya que empieza
a frenar para poder entrar a la curva con menor velocidad y no derrapar
en el pavimento.
Al entrar a la curva, dependiendo de la velocidad que lleve en ese momento,
puede agarrarla con esa misma velocidad, pasando a un movimiento
circular uniforme.
Aproximadamente después de la mitad de la curva, el conductor vuelve a
acelerar, pasando a un movimiento circular no uniforme, continuando
acelerando al salir de la curva hasta alcanzar nuevamente la velocidad de
crucero (velocidad de viaje). Esto lo ilustramos en la siguiente figura:
Movimiento Circular no Uniforme
rectilíneo
uniforme
rectilíneo uniformemente
acelerado
circular
uniforme
R
circular
no
uniforme
rectilíneo
uniformemente
acelerado
rectilíneo
uniforme
Movimiento Circular no Uniforme
Analicemos el movimiento circular
no uniforme en el cual tanto la
magnitud de la velocidad así
como la dirección y sentido están
variando.
c
-v1
v2
v2
-v1
v1
v1
Dv
Dv
d
R
DS
e
rˆ
b
R
a
Movimiento Circular no Uniforme
Eje tangente
c
v2
-v1
v1
d
Dv
R
b
D vr
DS
e
rˆ
D vt
R
a
Movimiento Circular no Uniforme
Nuevamente, al hacer la diferencia de vectores, encontramos un cambio
en la velocidad, pero a diferencia del movimiento anterior, éste ya no
apunta en dirección radial. Pero como es un vector, la podemos
descomponer en dos componentes rectangulares, una radial y otra
tangencial.
Dv = Dvr + Dvt
y la aceleración del cuerpo será:
a
donde el término:
Dvr
Dt
Dv
Dt

Dvr
Dt

D vt
Dt
 ar
es la aceleración radial o centrípeta que encontramos en la sección
anterior, y
D vt
Dt
 at
es la aceleración lineal del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la
cual viene expresada por:
Movimiento Circular no Uniforme
at 
D vt
Dt

v  v0
t  t0
Como es un movimiento circular, la velocidad lineal se expresa en
cantidades angulares como:
v = wr
sustituyendo tenemos que:
at 
además:
w  w0
t  t0

v  v0
t  t0

wr  w0r
t  t0
 w  w0
 r 
 t  t0




Dw
Dt
que es conocida con el nombre de aceleración angular media ( am )
aceleració n angular
media  a m 
Dw
Dt

w  w0
t  t0
Movimiento Circular no Uniforme
Tomando el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:
aceleració n angular
instantáne a  a  lim a m  lim
Dt  0
Dt  0
Dw
Dt
 lim
Dt  0
w  w0
t  t0

dw
dt
y cuando la aceleración angular media es una constante, ésta será
también igual a la aceleración en cualquier instante de tiempo, es
decir:
a  am 
Dw
Dt

w  w0
t  t0
de donde:
w  w 0  a (t  t 0 )
Por lo tanto, la aceleración del cuerpo que se mueve en una trayectoria
circular con velocidad variable y aceleración angular constante es:
a  ar  a r
Cantidades Tangenciales y Angulares
Aunque ya tenemos la relación entre ambas cantidades, éstas se
obtuvieron suponiendo que la rueda se encontraba girando en la misma
posición, ahora combinaremos dos movimientos simultáneos: el lineal y
el rotacional.
Un ejemplo de ello es cuando un carrete desenrolla una cuerda o una
rueda se desliza por el suelo, lo cual se ilustra en la siguiente figura:
A
B
q
B
q
s
r
A
s
r
r
A
q
B
s = rq
Cantidades Tangenciales y Angulares
En dado caso de que el carrete rotara en la misma posición, para que el
punto B ocupe la posición del punto A, debe de girar un ángulo q el
cual por definición viene expresado como:
q  s/r
en donde por definición de ángulo, q debe de medirse en radianes.
Al arco de circunferencia también se le llama distancia tangencial por
ser medido tangencialmente al borde del carrete, y viene expresado
por:
s=rq
Como tenemos dos movimientos simultáneos, el rotacional al girar y el
lineal al avanzar el carrete, al observar la figura anterior, se tiene
que la distancia lineal que recorre la rueda al girar un arco de
circunferencia s = r q, es igual a la distancia tangencial que recorre el
borde. Lo anterior nos permite relacionar el movimiento lineal con el
rotacional.
Cantidades Tangenciales y Angulares
Más aún, si se observa la siguiente
ilustración en que una rueda gira con
su eje de rotación en la misma posición
levantando un cuerpo, se ve que existe
una relación similar en la forma en que
la cuerda se enrolla en su borde.
A medida que un punto del borde recorre
una distancia tangencial s al girar, en
el borde se enrolla una longitud s de la
cuerda.
q
r r
s
s=rq
s
Cantidades Tangenciales y Angulares
Más aún, si se observa la siguiente
ilustración en que una rueda gira con
su eje de rotación en la misma posición
levantando un cuerpo, se ve que existe
una relación similar en la forma en que
la cuerda se enrolla en su borde.
A medida que un punto del borde recorre
una distancia tangencial s al girar, en
el borde se enrolla una longitud s de la
cuerda.
q
r r
s
s=rq
s
Cantidades Lineales y Angulares
Comparación entre las ecuaciones de movimiento
Lineales
Angulares
s = s0 + vm (t – t0 )
q = q0 + wm (t – t0 )
v = v0 + a (t – t0 )
w = w0 + a (t – t0 )
vm = ½ (v + v0 )
wm = ½ (w+ w0 )
v2 - v02 = 2 a (s – s0 )
w2 - w02 =2 a (q – q0 )
s = s0 + v0 t + ½ a (t - t0 )2 q = q 0 + w0 t + ½ a (t - t0 )2
Nota: Para convertir cantidades angulares a lineales, las primeras
deben de estar expresadas en radianes
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