Isaac (1643)
Helmut (1920)
Fisica 1 ByG
Primer Cuatrimestre 2007
Clase 2
LAS LEYES DEL MOVIMIENTO
Un sistema de referencia en el que son válidas
las leyes de la física clásica es aquel en el cual
todo cuerpo permanece en un estado de
movimiento rectilíneo y uniforme en ausencia
de fuerzas.
La variación del momento lineal de un cuerpo es
proporcional a la resultante total de las fuerzas
actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la
dirección en que actúan las fuerzas.
Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste
realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto
sobre el cuerpo que la produjo.
HISTORIA DE LA INVARIANZA
PRIMERA LEY
Un sistema de referencia en el que son válidas
las leyes de la física clásica es aquel en el cual
todo cuerpo permanece en un estado de
movimiento rectilíneo y uniforme en ausencia
de fuerzas.
Aristoteles (III AC): El estado natural de las cosas es la ausencia
de movimiento. Luego, en ausencia de fuerzas, estas pierden su
“impetu” y se detienen. La fuerza es por lo tanto necesaria para
mantener los objetos en movimiento.
Buridan (XIV) “el del burro”: Proponia que un objeto no pierde
espontaneamente su impetu sino que esto es la consecuencia de
fuerzas que se le oponen (resistencia del aire, gravedad…)
Galileo (XVI) Un objeto continua en la misma dirección y a
velocidad constante salvo que sea perturbado. Es imposible
determinar la diferencia entre un objeto estacionario y uno en
movimiento sin una referencia externa.
UNA ECUACION PARA LAS LEYES
DEL MOVIMIENTO
SEGUNDA LEY
La variación del momento lineal de un cuerpo
es proporcional a la resultante total de las
fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se
produce en la dirección en que actúan las
fuerzas.
La primera ley dice que en ausencia de fuerzas el momento se
conserva. La segunda dice como cambia en presencia de fuerzas.
Ambas leyes son sintetizables en una ecuación:


d
F 
(m v )
dt
Primera ley a partir de la Ecuación de
Newton


d
F 
(m v )
dt
LA ANATOMIA DE UNA ECUACION
Primera ley a partir de la Ecuación de
Newton


d
F 
(m v )
dt
El significado de este
“igual” es que las dos
funciones coinciden.
Primera ley a partir de la Ecuación de
Newton


d
F 
(m v )
dt
El significado de este
“igual” es que las dos
funciones coinciden.
Los operadores que actúan sobre
las incógnitas no son solo
aritméticos sino que incluyen
derivadas e integrales.
Primera ley a partir de la Ecuación de
Newton


d
F 
(m v )
dt
El significado de este
“igual” es que las dos
funciones coinciden.
Una ecuación diferencial.
Los operadores que actúan sobre
las incógnitas no son solo
aritméticos sino que incluyen
derivadas e integrales.
La ecuación es vectorial.
Primera ley a partir de la Ecuación de
Newton


d
F 
(m v )
dt
El significado de este
“igual” es que las dos
funciones coinciden.
Una ecuación diferencial.
Los operadores que actúan sobre
las incógnitas no son solo
aritméticos sino que incluyen
derivadas e integrales.
La ecuación es vectorial.
Primera ley a partir de la Ecuación de
Newton


d
F 
(m v )
dt
El caso mas simple, si no hay fuerzas entonces la
ecuación se resuelve fácilmente.


 
d
0
(m v )  m v  k
dt
Es decir, el momento es constante
Primera ley a partir de la Ecuación de
Newton


d
F 
(m v )
dt
Si no hay fuerzas entonces.


 
d
0
(m v )  m v  k
dt
Si además, la masa es constante, entonces:






d
k
0
(m v )  m v  k  v 
dt
m
Dos aspectos importantes de la
Segunda Ley


d
F 
(m v )
dt
La masa es un parámetro físico que
caracteriza a un objeto.
En particular, de la ecuación de
Newton se asume implícitamente que:
LA MASA NO DEPENDE DE LA
VELOCIDAD.


d 
F m
(v )  m a
dt
Esta es una igualdad vectorial
que corresponde en realidad
a tantas ecuaciones como
dimensiones hayan (en
general 3)
Fx  m  a x
Fy  m  a y
Fz  m  a z
Agnosticismo de las Fuerzas
Eléctrica
Rozamiento
Fuerza Resultante
Gravedad
Elástica
F=FELECTRICA + FROZAMIENTO + FGRAVEDAD + FELASTICA
La fuerza resultante es la suma de fuerzas de
distintos tipos. Uno de los enunciados implícitos
en la ecuación de Newton es que estas fuerzas
pueden tratarse, a los efectos del movimiento,
como un solo objeto.
Tercer principio: Acción y reacción
F1
F2
Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste
realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto
sobre el cuerpo que la produjo.
Tercer principio: Acción y reacción
F1
F2
Veremos una manera de reformular, o repensar el mismo principio
(“ecuaciones sinónimas”)
Tercer principio: Acción y reaccion
F1
F2
Es decir: F1 = -F2 o dicho de otra manera, F1+ F2 = 0:




d
d
De la ley de Newton: F1 
y
( m v1 )
F2 
(m v2 )
dt
dt
Tercer principio: Acción y reaccion
F1
F2
Es decir: F1 = -F2 o dicho de otra manera, F1+ F2 = 0:




d
d
De la ley de Newton: F1 
y
( m v1 )
F2 
(m v2 )
dt
dt
Se tiene que:




d
d
( m 1 v1 ) 
( m 2 v1 ) 
( m 1 v1  m 2 v 2 )  0
dt
dt
dt
d
Tercer principio: Acción y reaccion
F1
F2
Es decir: F1 = -F2 o dicho de otra manera, F1+ F2 = 0:




d
d
De la ley de Newton: F1 
y
( m v1 )
F2 
(m v2 )
dt
dt
Se tiene que:




d
d
( m 1 v1 ) 
( m 2 v1 ) 
( m 1 v1  m 2 v 2 )  0
dt
dt
dt
d
Y por lo tanto:





( m 1 v1  m 2 v 2 )  p 1  p 2  p
De un cuerpo a muchos (dos) cuerpos:
Dinámica del conjunto
F1
F2





( m 1 v1  m 2 v 2 )  p 1  p 2  p
Este enunciado es equivalente a la primer ley de Newton
(p constante), que se ha extendido a un sistema cerrado.
La tercera ley resulta en que las fuerzas internas se
cancelen (en acciones y reacciones) y por lo tanto
extender la primera y segunda ley a un sistema de
muchos cuerpos.
Las únicas fuerzas resultantes sobre el sistema son
fuerzas externas.
Dinámica de (conjunto) de dos cuerpos
con fuerzas extensas
La fuerza
externa. Vean
que no se
cancela.
F1
F2



d
d
( p) 
( m 1 v1 ) 
( m 2 v1 )  F1  F 2
dt
dt
dt
d
Dinámica de (conjunto) de dos cuerpos
con fuerzas extensas
F1
F2



d
d
( p) 
( m 1 v1 ) 
( m 2 v1 )  F1  F 2
dt
dt
dt
d


d
( m 1 v1 ) 
( m 2 v1 )  F12  F1 EXT  F 21  F2 EXT  F1 EXT  F2 EXT
dt
dt
d
Dinámica de (conjunto) de dos cuerpos
con fuerzas extensas
F1
F2



d
d
( p) 
( m 1 v1 ) 
( m 2 v1 )  F1  F 2
dt
dt
dt
d


d
( m 1 v1 ) 
( m 2 v1 )  F12  F1 EXT  F 21  F2 EXT  F1 EXT  F2 EXT
dt
dt
d
d
dt

( p )  F EXT
Extensión de la segunda ley de Newton (p cambia con Fext)
Dinámica: Hacia un sistema cerrado
(fisico) de ecuaciones del movimiento.
•En la cinemática se estudia el movimiento independientemente
de los agentes que lo generan.
•En las ecuaciones de Newton se introducen un agente (Fuerza)
que determina la evolución y cambio del movimiento, postulando
que estas modifican el momento de un objeto.
•Para cerrar el circulo basta entender “quien son esas fuerzas”, de
que dependen. Conocido esto es posible “cerrar” la ecuacion de
Newton y resolverla.
•¿De que variables del espacio (y de que otras) dependen las
fuerzas?
•Veremos que existen fuerzas que dependen de la posición, de la
velocidad y de otras variables físicas (por ejemplo carga eléctrica)
Dinámica: Hacia un sistema cerrado
(fisico) de ecuaciones del movimiento.
•En la cinemática se estudia el movimiento independientemente
de los agentes que lo generan.
•En las ecuaciones de Newton se introducen un agente (Fuerza)
que determina la evolución y cambio del movimiento, postulando
que estas modifican el momento de un objeto.
•Para cerrar el circulo basta entender “quien son esas fuerzas”, de
que dependen. Conocido esto es posible “cerrar” la ecuacion de
Newton y resolverla.
•¿De que variables del espacio (y de que otras) dependen las
fuerzas?
•Veremos que existen fuerzas que dependen de la posición, de la
velocidad y de otras variables físicas (por ejemplo carga eléctrica)
Dinámica: Hacia un sistema cerrado
(fisico) de ecuaciones del movimiento.
•En la cinemática se estudia el movimiento independientemente
de los agentes que lo generan.
•En las ecuaciones de Newton se introducen un agente (Fuerza)
que determina la evolución y cambio del movimiento, postulando
que estas modifican el momento de un objeto.
•Para cerrar el circulo basta entender “quien son esas fuerzas”, de
que dependen. Conocido esto es posible “cerrar” la ecuacion de
Newton y resolverla.
•¿De que variables del espacio (y de que otras) dependen las
fuerzas?
•Veremos que existen fuerzas que dependen de la posición, de la
velocidad y de otras variables físicas (por ejemplo carga eléctrica)
Dinámica: Hacia un sistema cerrado
(fisico) de ecuaciones del movimiento.
•En la cinemática se estudia el movimiento independientemente
de los agentes que lo generan.
•En las ecuaciones de Newton se introducen un agente (Fuerza)
que determina la evolución y cambio del movimiento, postulando
que estas modifican el momento de un objeto.
•Para cerrar el circulo basta entender “quien son esas fuerzas”, de
que dependen. Conocido esto es posible “cerrar” la ecuacion de
Newton y resolverla.
•¿De que variables del espacio (y de que otras) dependen las
fuerzas?
•Veremos que existen fuerzas que dependen de la posición, de la
velocidad y de otras variables físicas (por ejemplo carga eléctrica)
Introduciendo la gravedad
M1
M2
r
Gravedad
 F G
M1M 2
r
2
•Siempre el mismo signo (atractiva) ... salvo rarezas...
•Proporcional a las dos masas.
•Proporcional a la inversa del cuadrado de la distancia.
Introduciendo la gravedad
M1
M2
r
Gravedad
 F G
M1M 2
r
2
¿Que tiene que ver esto con esto?
g  9 .8
m
s
2
La gravedad entre masas y
tamaños muy distintos
I) Las fuerzas sobre cada masa son iguales o distintas?
M1
r
R
m2
La gravedad entre masas y
tamaños muy distintos
Las mismas, según el principio de acción y reacción. Sin embargo,
las aceleraciones resultantes de estas masas son muy distintas.
M1
r
R
m2
La gravedad entre masas y
tamaños muy distintos
II) La gravedad es distinta a distintas alturas? Si, lo es, porque se
puede hablar de un valor de g y no de una función g(h)?
F G
M 1  m2
r
M1
r
R
m2
2
La gravedad entre masas y
tamaños muy distintos
La gravedad es distinta a distintas alturas? Si, lo es, porque se
puede hablar de un valor de g y no de una función g(h)?
F G
M 1  m2
r
F G
M1
r
2
M 1  m2
(R  h)
2
m2
La gravedad
unos pisos más
arriba
R
La gravedad entre masas y
tamaños muy distintos
La gravedad es distinta a distintas alturas? Si, lo es, porque se
puede hablar de un valor de g y no de una función g(h)?
F G
M 1  m2
r
F G
M1
r
2
M 1  m2
(R  h)
m2
F G
M 1  m2
R (1 
2
R
2
h
R
Estimando la
diferencia
)
2
La gravedad entre masas y
tamaños muy distintos
La gravedad es distinta a distintas alturas? Si, lo es, porque se
puede hablar de un valor de g y no de una función g(h)?
M 1  m2
F G
r
F G
M1
r
2
M 1  m2
(R  h)
m2
M 1  m2
F G
R (1 
2
R
2
h
)
R
R Tierra  10 m
6
h  10 m  Freal 
Faprox
1 . 00002
2
Gravedad y masa.
Una curiosa coincidencia, la fuerza y el momento son
proporcionales a la masa.
F2  G 
M1
r
R
m2
M 1  m2
r
2
 m2a
Gravedad y masa.
El hecho que la fuerza sea proporcional a la masa hace que
la acelaracion sea independiente de la masa, como
“demostrara” Galileo.
F2  G 
M1
a1
r
f1
f2
R
a2
M 1  m2
r
2
 m2a
El experimento de Galileo
El experimento de Galileo :
Dejar caer objetos de distinta masa desde una altura y ver
si caen con la misma velocidad. Problema: el experimento
no funciona.
El experimento (moderno) de Galileo
El experimento de Galileo mejorado:
Dejar caer objetos en una cámara de vació y fotografiarlos
con una cámara suficientemente rápida.
El experimento (mental) de Galileo
El experimento de Galileo de los cuerpos que caen:
Segunda posibilidad (menos costosa) :
Imaginar dos bolas de masa idéntica (m) que caen al
unísono.
El experimento (mental) de Galileo
El experimento de Galileo de los cuerpos que caen:
Ahora unir estas dos bolas por una barra y hacer (siempre
mentalmente) esta barra arbitrariamente pequeña. Se tiene
ahora un objeto del doble de masa (2m) que cae a la misma
velocidad que cada una de las bolas de masa (m).
El experimento (mental) de Galileo
El experimento de Galileo de los cuerpos que caen:
Misma “demostracion” para un ojbeto de masa (3m).
Generalizar esto para masas arbitrarias.
Gravedad integrales y primeras reglas
de conservación.
Gravedad (literalis) caída libre y conservación de
la energía: Evidencia Empírica
Gravedad (literalis) caída libre y conservación de
la energía: Evidencia Empírica
¿Puede la física
aportar al grado
de verdad de esta
afirmación?
Dos conceptos
importantes.
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.


d
F 
(m v )
dt
0
mg
Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:
mg  m 
dv
dt
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.


d
F 
(m v )
dt
0
mg
Una fuerza un tanto exótica,
proporcional a al masa y
aproximadamente constante cerca
de la superficie de la tierra.
Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:
mg  m 
dv
dt
La masa no aparece en la ecuacion de movimiento. Una
rareza de la gravedad (y potencialmente de cualquier
fuerza proporcional a la masa).
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.


d
F 
(m v )
dt
0
mg
Una fuerza un tanto exótica,
proporcional a al masa y
aproximadamente constante cerca
de la superficie de la tierra.
Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:
mg  m 
dv
dt
 v  gt  v 0  gt
Con esto hemos determinado x(t) y v(t) pero pude
interesarnos otras relaciones como por ejemplo v(x)
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.


d
F 
(m v )
dt
0
mg
Una fuerza un tanto exótica,
proporcional a al masa y
aproximadamente constante cerca
de la superficie de la tierra.
Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:
mg  m 
dv
dt
dx
dt
 v  gt  v 0  gt
 v  gt  x 
gt
2
2
Con esto hemos determinado x(t) y v(t) pero pude
interesarnos otras relaciones como por ejemplo v(x)
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.
Posibilidad 1: Resolver el
sistema de ecuaciones ya
integrado.
0
mg
h=(H-x)
v  gt
x
gt
2
2
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.
Posibilidad 1: Resolver el
sistema de ecuaciones ya
integrado.
0
mg
x
gt
2
h=(H-x)
x
v  gt
2

( gt )
2g
gt
2
2
2

v
2
2g
gx 
v
2
2
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.
0
Posibilidad 1: Resolver el
sistema de ecuaciones ya
integrado.
mg
v  gt
x
gt
2
h=(H-x)
2

( gt )
2

2g
g (H  h) 
v
2
2g
v
gx 
2
2
 gH  gh 
v
2
2
v
2
2
Con esto hemos determinado x(v) y a partir de esa
relación encontramos que hay una cantidad que se
conserva.
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.
0
mg
Posibilidad 2: Resolver
directamente las ecuaciones
para v(x) o x(v). ¿Como?


d
F 
(m v )
dt
mg  m
dv
dt
 g 
dv
dt
h=(H-x)
Podemos resolver directamente las ecuaciones de
movimiento sobre una variable que no sea el tiempo.
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.
0
Posibilidad 2: Resolver
directamente las ecuaciones
para v(x) o x(v). ¿Como?
mg


d
F 
(m v )
dt
g 
dv
dt

dv
dx

mg  m
dv
dt
 g 
dv
dt
dx
dt
h=(H-x)
Podemos resolver directamente las ecuaciones de
movimiento sobre una variable que no sea el tiempo.
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.
0
Posibilidad 2: Resolver
directamente las ecuaciones
para v(x) o x(v). ¿Como?
mg


d
F 
(m v )
dt
g 
dv
dt

dv
dx

mg  m
dv
 g 
dt
dx
dt
g 
dv
dx
dv
dt
v 
dx
dv

v
g
h=(H-x)
Podemos resolver directamente las ecuaciones de
movimiento sobre una variable que no sea el tiempo.
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.
0
Posibilidad 2: Resolver
directamente las ecuaciones
para v(x) o x(v). ¿Como?
mg


d
F 
(m v )
dt
g 
dv
dt

dv

dx
mg  m
dv
 g 
dt
dx
g 
dv
dt
v 
dx
dt
h=(H-x)
dx
dv

v
g
dv
 x  ??????
dx
dv

v
g
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.
0
Posibilidad 2: Resolver
directamente las ecuaciones
para v(x) o x(v). ¿Como?
mg


d
F 
(m v )
dt
g 
dv
dt

dv
mg  m
dv
 g 
dt

dx
dx
g 
dv
dt
v 
dx
dt
dv
dx
dv

v
g
h=(H-x)
dx
dv

v
g
 x
v
2
2g
 gx 
v
2
2
Podemos resolver directamente las ecuaciones de
movimiento sobre una variable que no sea el tiempo.
Fundamentos de fisica aplicada.
0
x
v
2
2g
mg
 v
2 gx
Fundamentos de fisica aplicada.
0
x
v
2
 v
2 gx
2g
mg
Si H es un 7 piso (22 metros):
v
2  10
m
s
2
20 m  20
m
s
 72
km
h
Fundamentos de fisica aplicada.
0
x
v
2
 v
2 gx
2g
mg
Si H es un 7 piso (22 metros):
v
2  10
m
s
2
20 m  20
m
 72
s
km
h
Si H es un 1 piso (3 metros):
v
2  10
m
s
2
3m  8
m
s
 28
km
h
Pipino Cuevas en el primer piso, de
donde, parece, pudo producirse la caída.
Integrando funciones desconocidas: Saber
Conservación.
algo cuando no se puede saber todo.
  

d
F ( x, v , q, t, ) 
(m v )
dt
Integrando funciones desconocidas: Saber
Conservación.
algo cuando no se puede saber todo.
 

d
F (x) 
(m v )
dt
Consideremos el caso, mas simple, en que la fuerza es
solo una función de la posición, como es el caso para
dos fuerzas que nos interesan: la gravedad y la elástica
(y, veremos, modulo una constante también la eléctrica)
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