EDUCACIÓN CONTINUA
2009
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EMCASA Y LA SECUENCIA
ENACTIVA-ICÓNICASIMBÓLICA (E-I-S)
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Objetivos de aprendizaje
El participante será capaz de:




Obtener una definición de aprendizaje significativo según su
experiencia y su conocimiento teórico.
Entender la dinámica que existe entre campos axiomáticos y
teoremáticos en el aprendizaje significativo de conceptos
matemáticos.
Explicar en sus propias palabras las consecuencias personales y
sociales de un aprendizaje algorítmico de las matemáticas.
Comprender la esencia teórica de las etapas enactiva, icónica y
simbólica (EIS).
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Objetivos de aprendizaje
El participante será capaz de:



Comprender que una gran cantidad de problemas en el
aprendizaje matemático están relacionados con el hecho de haber
llevado a los alumnos a la etapa simbólica del pensamiento
matemático demasiado rápido.
Entender las dificultades prácticas que el método EIS lleva consigo
cuando se quiere aplicar en el ámbito escolar tradicional.
Desarrollar un diseño instruccional basado en la secuencia EIS
para la enseñanza de un concepto matemático que sea de su
interés y presentarlo a sus compañeros.
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Aprendizaje significativo
Para dar respuesta a la pregunta “¿Qué es un aprendizaje significativo
de las matemáticas?” iniciemos preguntándonos “¿Qué produce un
aprendizaje significativo en cualquier contexto?” En pares elaboren una
lista de características (3 minutos).
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Un aprendizaje se vuelve significativo
para el aprendiz cuando :
1. Construye el conocimiento lógicamente en todas sus partes
integrantes.
2. Es capaz de desarrollar a través del conocimiento una narrativa que
favorezca la comunicación efectiva con otros.
3. Aplica el conocimiento activamente a problemas significativos en su
campo de experiencia.
4. Desarrolla intencionalmente a través del conocimiento un sentimiento
de autoeficacia y autoestima.
5. Logra una distinción social a través de su dominio del conocimiento.
6. Satisface con el conocimiento adquirido una curiosidad auténtica.
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La comprensión lógica es un
punto clave dentro de todas estas
formas de significatividad y es
particularmente importante en el
aprendizaje matemático
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Aprendizaje matemático significativo
El punto de vista que tomamos en esta búsqueda de significatividad es
lo que se llama “estructuralista.” Un concepto se ata a otro para formar
una estructura o red semántica en tal forma que lo evidente (lo
axiomático) encuentra camino para explicar lo no evidente (lo
teoremático).
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Cuando no hay significado hay
comprensión fragmentada
Por ejemplo un alumno puede resolver una fracción digamos
2/3 + 3/5 impecablemente y en el momento que se le pida que explique
por que multiplicó 3X5 para obtener el denominador, porque luego
dividió 15 entre 3 para obtener un número y luego multiplicó por 2 etc...
se queda mudo y lo más que podría decir es “así se hace” o “así me
enseñaron” ..
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¿Qué elementos conceptuales hacen que
esta suma de fracciones se comprenda?
1)
2)
3)
4)
Reconocer que se necesita un elemento común de suma.
Reconocer que existen fracciones equivalentes.
Reconocer que la forma notacional de fracción lleva implícito el
significado de multiplicación: a/b = a x 1/b
Reconocer que la forma procedimental es solo el algoritmo de
cálculo más eficiente (rápido y libre de errores) para llevar a cabo
los pasos anteriores.
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Cuando no hay significado hay
comprensión fragmentada
El aprendizaje significativo de las matemáticas está basado en la
idea de que el alumno sea capaz de explicar lógicamente cual es el
camino a seguir para que algo evidente por si mismo se combine
para formar algo que no es evidente. Cuando tal cosa sucede
entonces el aprendizaje adquiere características muy importantes
de significatividad ya que el alumno:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Logra una construcción coherente del conocimiento uniendo
lógicamente todas sus partes integrantes.
Esta coherencia favorece una narrativa que promueve la
comunicación efectiva con otros.
Eleva el nivel de activación del conocimiento y es mas probable que
se aplique a la solución de problemas.
Desarrolla un sentimiento de autoeficacia y autoestima.
Esta en mejor posición de lograr una distinción social a través de su
dominio del conocimiento.
Satisface con el conocimiento adquirido una curiosidad auténtica.
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Axiomas y teoremas
En resumen:
El comprender como ideas evidentes en si mismas (ideas axiomáticas)
se transforman para comprender ideas no evidentes por si mismas
(ideas teoremáticas) es uno de los factores
esenciales de un
aprendizaje significativo.
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Axiomas y teoremas
El trabajo teórico de Bruner nos da un mecanismo para lograr que los
conceptos matemáticos se vuelvan axiomáticos y que los conceptos
teoremáticos se expliquen a partir de estos.
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Las ideas de Bruner y su impacto en el
aprendizaje significativo de las matemáticas
Bruner desde hace ya muchos años ha sido uno de los promotores de la
reforma del currículo en las escuelas sin mucho éxito más allá del
mundo académico. Sus esfuerzos teóricos todavía no han convencido
al mundo de la práctica educativa que:
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Las ideas de Bruner y su impacto en el
aprendizaje significativo de las matemáticas
1) Algunos conceptos matemáticos son tan importantes que
absolutamente no debemos sacrificar comprensión significativa por un
manejo puramente procedimental.
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Las ideas de Bruner y su impacto en el
aprendizaje significativo de las matemáticas
2) Los libros de texto en la mayoría de los casos no podrán llevar en
ellos mismos un aprendizaje significativo de las matemáticas a menos
que el maestro se proponga a realizar experiencias de aprendizaje que
estén atadas a una secuencia E-I-S.
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Las ideas de Bruner y su impacto en el
aprendizaje significativo de las matemáticas
3) El aprendizaje significativo de un concepto matemático no ocurre de
la noche a la mañana ya que se debe respetar un proceso de
“abstracción” que varía para cada alumno según su potencial
matemático y según su conocimiento previo.
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Las ideas de Bruner y su impacto en el
aprendizaje significativo de las matemáticas
E
I
4) Este proceso de abstracción mental es una
secuencia de representaciones mentales del
mismo concepto pero a diferentes niveles de
comprensión.
S
S
E
I
E
S
I
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Las ideas de Bruner y su impacto en el
aprendizaje significativo de las matemáticas
5) Este proceso de representación mental debe seguirse rigurosamente
en ese orden pero no son mutuamente exclusivos. Siempre es bueno
para el alumno poder trabajar el mismo concepto en diferentes modos
de representación mental.
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Las ideas de Bruner y su impacto en el
aprendizaje significativo de las matemáticas
6) El proceso enactivo-icónico-simbólico es lineal y cíclico. Por ello de
tiempo en tiempo hay que regresar al alumno a la etapa enactiva para
que los conceptos matemáticos refuercen su “obviedad” en la mente del
aprendiz y con ello se integren armoniosamente a una estructura de
conocimiento que finalmente ha de llegar a ser simbólica.
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Moderno y antiguo a la vez
En estos tiempos donde el constructivismo parece ser una postura
moderna es importante notar que Bruner ya había pensado casi medio
siglo antes sobre como crear situaciones que permitieran construir el
conocimiento
Bruner J. S. The process of education. Cambridge, Mass.: Harvard
University Press, 1960.
Bruner J. S. The course of cognitive growth. American Psychologist,
1964, 19, 1-15. (a)
Bruner J. S. Some theorems on instruction illustrated with reference to
mathematics. The Sixtythird Yearbook of the National Society for the
Study of Education (Pt. 1), 1964, 63, 306-335. (b)
Bruner J. S. Toward a theory of instruction. Cambridge, Mass.: Harvard
University Press, 1966.
Bruner J. S., Goodnow J. J., & Austin G. A. A study of thinking. New
York: Wiley, 1956.
Bruner J. S., Olver R. R., Greenfield P. M., et al. Studies in cognitive
growth. New York: Wiley, 1966.
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La representación mental enactiva
La primera forma de representación mental llamada “enactiva” es una
manera de capturar mentalmente una idea a través de acciones
motoras. Según la teoría de Piaget esta es la única forma en la cual los
bebés pueden aprender en la etapa sensorio-motora. Por ejemplo un
bebé mueve el puño como lo hace cuando tiene la sonaja en la mano
indicando que recuerda un acto motor complejo aun cuando no tiene el
objeto en la mano. Niños mayores suman moviendo sus dedos
representando en forma más compleja lo que hicieron en algún tiempo
contando bloques, y al hacerlo suman enactivamente. Un joven puede
manipular bloques de acrílico para convencerse de la verdad del
teorema de Pitágoras.
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La representación mental enactiva
Esta etapa es la manipulación concreta de la realidad. Si se quiere por
ejemplo que el alumno construya el conocimiento del binomio al
cuadrado. El alumno tendrá que recortar cuadrados y ver como cuatro
áreas: a2, b2, ab y ab forman el área (a+b)2.
Mientras mayor es el alumno mas fácil es “brincar” esta etapa y realizar
el proceso icónicamente.
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La representación mental icónica
La segunda forma de la secuencia de representación mental, icónica,
mueve al aprendiz fuera del mundo puramente sensorial y motor al
campo de la imagineria mental. En ella el estudiante recuerda no solo el
acto de hacer alguna cosa sino también crea una imagen mental que
puede recrear cuando sea necesario sin necesidad de acciones motoras
cuyo fin tengan manipular una realidad. Su cuerpo como instrumento de
aprendizaje se vuelve más sutil y el aprendiz ahora simplemente “dibuja”
en el papel las cosas que “ve” en su mente.
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La representación mental simbólica
La representación mental simbólica es la tercera forma en la cual la
experiencia matemática del aprendiz puede capturarse en la memoria.
La representación mental simbólica depende exclusivamente del
lenguaje matemático . Al simplemente decir que
(a+b)2 = a2+2ab+b2
la ruptura con la realidad es completa pues la expresión por si sola no
tiene conexión en lo absoluto con la realidad que describe excepto a
través de un proceso de “traducción” mental que lo explique.
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La integración pedagógica de la
secuencia E-I-S en actividades de
aprendizaje relevantes
Una demostración como la que se verá a continuación del teorema de
Pitágoras demanda una automatización e integración compleja de
operaciones mentales que se manejan finalmente en forma simbólica en
la cabeza del aprendiz y que se traducen en acciones motoras
concretas tal vez pasando por una buena cantidad de imagineria mental.
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La integración pedagógica de la
secuencia E-I-S en actividades de
aprendizaje relevantes
La secuencia EIS es lineal y tiene que aparecer en ese orden y no por
ello implica que no se apoyen la una con la otra . Es más adecuado
entender el proceso de aprendizaje significativo de las matemáticas
como periodos de “predominio” de una de estas etapas. Niños muy
pequeños son predominantemente enactivos en sus formas de
representación mental, niños mayores son icónicos y jóvenes de
secundaria son predominantemente simbólicos. Si la representación
mental simbólica no se manifiesta en un joven de 13 años es por que no
ha sido expuesto a las formas previas de representación mental.
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La integración pedagógica de la
secuencia E-I-S en actividades de
aprendizaje relevantes
Podemos generalizar sin cometer graves omisiones y decir que el
fracaso del aprendizaje significativo de los conceptos matemáticos se
debe en gran medida a que la enseñanza de estas ideas no permitió
permanecer el suficiente tiempo a los estudiantes en las etapas
enactivas e icónicas y llevó apuradamente a los alumnos a las formas
simbólicas.
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La integración pedagógica de la
secuencia E-I-S en actividades de
aprendizaje relevantes
Bruner decía:
“Cualquier idea o problema o cuerpo de conocimientos puede ser
representado en una forma lo suficientemente simple para que cada
aprendiz en particular pueda entenderlo en alguna forma reconocible”
[Bruner, 1966, p.44]
Para Bruner siempre había formas de presentar conceptos complicados
en cualquier edad a un nivel que fuera comprensible para el aprendiz si
se analizaban sabiamente las posibilidades enactivas, icónicas y
simbólicas disponibles en cada etapa de desarrollo.
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La integración pedagógica de la
secuencia E-I-S en actividades de
aprendizaje relevantes
No hay realmente razón de peso por la cual los jóvenes no aprendan
sus matemáticas en forma significativa. Desde el momento en que los
jóvenes inician su aprendizaje siguiendo rutinas verbales del tipo
“a más b al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el doble
producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo”
y no pueden explicar porque hacen tal cosa, eso significa que sus
experiencias matemáticas los han llevado demasiado rápido a un
estadio simbólico y que aun cuando hagan sus transformaciones
algebraicas con sorprendente velocidad y precisión su aprendizaje no
ha sido significativo.
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La integración de la secuencia
E-I-S y su valor educativo
Cuando los jóvenes exitosamente han entendido el simbolismo de
operadores matemáticos y sus conceptos asociados en la secuencia EI-S, pueden entonces explicar que significan estos conceptos y porque
funciona el simbolismo matemático. Esto lo logran no solo como
instrucciones para hacer algo sino que tal bagaje matemático sirve para
que ellos puedan expresar sus pensamientos y resolver problemas que
no podrían hacer simplemente pensando acerca de ellos. Difícilmente
un problema verbal de mediana dificultad podría resolverse simplemente
pensando en él. Pero con la aplicación de conceptos algebraicos el
problema revela su solución. Tal capacidad le da al joven autoconfianza
en sus capacidades intelectuales.
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La integración de la secuencia
E-I-S y su valor educativo
Cuando las operaciones matemáticas se hacen complejas y por lo tanto
difíciles de manejar mentalmente, la manipulación simbólica de los
conceptos y operadores matemáticos da una capacidad sin límites al
procesamiento mental. Si esto no se ha logrado a través de una
conexión muy fuerte con una realidad empírica el estudiante tenderá a
sentirse inseguro pues sus habilidades procedimentales serán un
misterio que él mismo no puede explicar y ello implicará tarde o
temprano el abandono del pensamiento matemático en aras de un
pragmatismo aritmético que no puede ir más allá de las operaciones
monetarias de la vida cotidiana.
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La integración de la secuencia
E-I-S y su valor educativo
Siempre esperamos que los estudiantes adquieran precisión, velocidad
y facilidad en el uso de los conceptos matemáticos pero si eso se logra
con el costo de no entender porque las cosas suceden, entonces el
aprendiz ha perdido una oportunidad maravillosa de desarrollar su
intelecto y entender un proceso de razonamiento fundamental al ser
humano... el método axiomático... Lo simple se puede acomodar
lógicamente para producir lo complejo... Saber hacer sin entender es
precisamente lo que hace una máquina y el estudiante está en peligro
de aprender a ser como ella. La aplicación del método de Bruner
puede apoyarnos en una educación en valores donde la razón y la
capacidad de explicar las cosas por uno mismo prevalezcan sobre la
credulidad y la ejecución mecánica desprovista de razón cuya única
motivación es en el fondo satisfacer un requisito externo (como pasar un
examen) ignorando la motivación intrínseca dada por la curiosidad
natural del ser humano.
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Oportunidades para la
secuencia E-I-S
Productos notables
Concepto de pendiente
Áreas de paralelogramos
Propiedades de los triángulos
Pendiente
Cónicas
Teorema de Pitágoras
Propiedades de los números reales.
Fracciones
Circunferencia y valores de p
Ecuaciones
Área de un círculo
y muchas más… 
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Educación Continua
Centro de Desarrollo
Empresarial
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Paola Y. Meza Garza
[email protected]
Tel. 82 15 10 00 Ext. 2023
Osiris L. Banda Tovar
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Tel. 82 15 10 86
Gracias…
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