B. APORTACIÓN DIRIGIDA:
2º E.S.O.
TEMA.10:
PROBLEMA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.
Gloria Ojalvo de Miguel
1º Bach. Ciencias
ÁREAS y VOLÚMENES
ÁREAS:
Se utilizan para calcular superficies.
Se expresan en m2
VOLÚMENES:
Se utilizan para calcular capacidades.
Se expresan en m3
Problema de Áreas y Volúmenes
ÁREAS
TRIÁNGULOS:
Para los tres tipos de triángulos se utiliza la misma
fórmula para calcular área
ÁREAS
CUADRILATEROS:
Se denomina cuadriláteros a todos aquellos polígonos
que tengan 4 lados.
Pueden ser de diferentes tipos, a saber:
• CUADRADO
• RECTANGULO
• ROMBO
• TRAPECIO
• PARALELOGRAMO
ÁREAS
CUADRILATEROS:
CUADRADO
Se caracteriza por tener todos sus lados iguales
y formando 900:
ÁREAS
CUADRILATEROS:
RECTANGULO
Tiene sus lados iguales dos a dos:
ÁREAS
CUADRILATEROS:
ROMBO
Todos sus lados son iguales pero, se caracteriza
por tener los ángulos diferentes de 90º:
ÁREAS
CUADRILATEROS:
TRAPECIO
Sus cuatro ángulos son distintos de 90º:
ÁREAS
CUADRILATEROS:
PARALELOGRAMO
Lados paralelos dos a dos:
ÁREAS
PENTAGONO:
El pentágono regular es un polígono de cinco lados
iguales y cinco ángulos iguales
ÁREAS
HEXAGONO:
El hexágono regular es un polígono de seis lados
iguales y seis ángulos iguales.
Los triángulos formados al unir el centro con todos
los vértices, son equiláteros.
ÁREAS
CIRCULO:
Es la región delimitada por una circunferencia,
siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que
equidistan del centro. .
VOLÚMENES
PIRAMIDE:
Pirámide regular es un sólido que tiene por base un
polígono (triángulo, cuadrado...) y cuyas caras son
triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado
vértice.
VOLÚMENES
CUBO:
Es un sólido limitado por seis cuadrados iguales,
también se le conoce con el nombre de hexaedro.
VOLÚMENES
PRISMAS:
Prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por dos
polígonos (triangular, cuadrangular, hexagonal...) paralelos
e iguales, llamados bases, y por tantos rectángulos como
lados tenga cada base.
Ejemplo de
prisma triangular
VOLÚMENES
CONO:
El cono es el sólido engendrado por un triángulo
rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
VOLÚMENES
CILINDRO:
El cilindro es el sólido engendrado por un rectángulo
al girar en torno a uno de sus lados.
VOLÚMENES
ESFERA:
La esfera es el sólido engendrado al girar una
semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Problema de Áreas y Volúmenes
Los profesores para celebrar el carnaval, organizan una
fiesta en el patio del colegio. Acuerdan disfrazarse todos
de cajas de regalo de un tamaño fijo de 2 m. de lado. Si el
patio del colegio mide 25 m. de ancho por 42 m. de largo.
a) ¿Cuál es el máximo de profesores que puede ir a la fiesta?
Se quieren hacer una foto en la que aparezcan el mayor
número posible de profesores, pero solo pueden ocupar la
mitad de la superficie del patio hasta una altura máxima de
4 m., para ello deben colocarse unos encima de otros.
b) ¿Cuántos profesores como máximo entran en la foto?
a) ¿Cuál es el máximo de profesores que puede ir a la fiesta?
El primer apartado es un problema de áreas.
Lo vamos a resolver teniendo en cuenta los siguientes pasos:
1.
Área del patio
2.
Área de una caja de regalo (disfraz)
3.
Nº de profesores que entran en el patio
a) ¿Cuál es el máximo de profesores que puede ir a la fiesta?
1. Área del patio:
Calculamos el área del patio teniendo en cuenta que es
rectangular, utilizando la fórmula del área de un rectángulo.
A continuación, sustituimos los datos en la fórmula
siendo la base, 42m y la altura, 25m resolvemos la
operación.
2. Área de una caja de regalo (disfraz):
Hallamos el área de una de las cajas de regalo de las que
van disfrazados los profesores (sólo resolvemos una,
porque todas son iguales), teniendo en cuenta que la base
de un cubo es cuadrada y la fórmula de su área.
Empleamos el dato del problema que nos dice que el
lado de cada caja mide 2m. Sustituimos su valor en la
fórmula y resolvemos.
a) ¿Cuál es el máximo de profesores que puede ir a la fiesta?
3. Nº de profesores que entran en el patio:
Por último, para saber el máximo de profesores
que entran con el disfraz ya puesto, habrá que
dividir el área del patio entre el área que ocupan
los disfraces.
Ahora sustituimos como en las anteriores, los
valores obtenidos de ambas áreas en los pasos
anteriores.
Como las personas no pueden ser decimales,
porque no les podemos cortar un brazo o una
pierna... , cogemos el número natural 131
La solución de este apartado sería que a la fiesta pueden entrar
131 profesores.
b) ¿Cuántos profesores como máximo entran en la foto?
El segundo apartado es un problema de volúmenes.
Lo resolveremos de la siguiente forma:
1.
Volumen total de la mitad del patio
2.
Volumen de una caja de regalo (disfraz)
3.
Nº de profesores máximo que entran en la foto:
b) ¿Cuántos profesores como máximo entran en la foto?
1. Volumen total de la mitad del patio:
Primero dividiremos ambos lados del patio entre dos (la
base y la altura del área) y después teniendo en cuenta que
la máxima altitud que pueden alcanzar los profesores
apilados es de 4m, hallaremos el volumen total del medio
patio.
Sustituimos los datos pero antes debemos saber
el nuevo área de la base que ahora es la mitad del
área total del patio que hemos resuelto en el apartado
anterior.
Una vez resuelto esto, hallamos el volumen de la
mitad del patio sustituyendo en la fórmula.
b) ¿Cuántos profesores como máximo entran en la foto?
2. Volumen de una caja de regalo (disfraz)
Para esto tenemos en cuenta la fórmula del volumen de un
cubo, que es la misma forma que tienen las cajas.
Sustituimos los datos en la fórmula con el valor dado de 2m
de lado para saber el volumen de cada caja.
8 m3 es el volumen de cada caja – disfraz.
3. Nº de profesores máximo que entran en la foto:
Igual que en el apartado anterior dividimos
el volumen total de la mitad del patio
entre el de cada caja-disfraz:
Sustituimos de nuevo los valores en la fórmula:
Igual que antes sólo podemos coger el número natural de éste resultado.
Entrarían 131 profesores disfrazados para hacerse la foto.
Entran los mismos que en el área del patio, porque al dividir ésta entre
dos, la operación se anula al duplicar la altura a la que se ponen los
profesores con los disfraces.
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Un problema modelo del tema 9 - Colegio Cooperativa San Saturio