Una sinfonía de Φ
en
Clave de Seis
Un círculo…
… y un triángulo equilátero inscrito
Los puntos medios de sus lados
Mediatriz,
Circuncentro,
Mediana
Baricentro,
Bisectriz,
Incentro
Altura
Ortocentro
… y la CUERDA que pasa por ellos
¡Queda dividida EN MEDIA y EXTREMA RAZÓN …!
por los lados del triángulo
La Sección o partición de un segmento en MEDIA y EXTREMA RAZÓN
está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.-III). La idea es tan
simple como perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la
razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la
existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas.
a
b
a+b
Si AC = a, CB = b, AB = a + b, donde CB es el segmento
menor, el segmento partido en Razón Áurea debe cumplir que:
AB AC

AC CB
ab a
 Ф
a
b
x 1/Φ2
1/Φ
1/Φ2
x 1/Φ
1/Φ
1/Φ
1
1
1/Φ3
1/Φ2
x 1/Φ
1/Φ2
1/Φ2
1/Φ
1/Φ
x 1/Φ
1/Φ
1
1
Demostración:
Éstos triángulos son cartabones, luego
son
semejantes
Si, por
comodidad
2
3
1
y
3
1
3
Radio 
1
4
 3
3
3
3
entonces
1
1
3
2
3
Con el Teorema de
Pitágoras se
deduce que
5
2
4 3  1 


 3    3   5


4
3
3
2
1
3
1
Lo que DEMUESTRA que:
5
4
3
3
2
3
1
1
3
2
3
2
3
3
5 1
Y, por tanto
2
5 1
Reduciendo la escala a la mitad …
1/Φ
1
5 1
2
Φ
… tenemos lo que queríamos demostrar
¡Y la propina!
Las tres mediatrices
Los tres segmentos áureos
1
1
Φ
1
1
Φ
Φ
1
1
Si unimos los seis puntos tenemos…
1
1
Φ
1
1
Φ
Φ
1
1
El hexágono áureo con ángulos iguales
1 + Φ = Φ2
1
1
1 + Φ2
Φ2
Φ2
120º
1
El hexágono
ÁUREO
1 + Φ = Φ2
1
1
1 + Φ2
¡Y esta diagonal
es la suma de los lados!
Φ2
Φ2
120º
El lado menor  1
 El lado mayor
Y aquí está el romboide áureo
1
Φ
Y el trapecio isósceles áureo
1/Φ
1
Φ
El Secreto de Φ : RECURSIVIDAD
1/Φ
1
1/Φ3
1/Φ2
1/Φ
1/Φ2
En esta figura se observa que hay dos cuerdas, el lado CD y la diagonal AB del
hexágono, que son cortadas en MEDIA y EXTREMA RAZÓN pon los lados del
triángulo equilátero. Lo que evidencia, una vez más, la COMPACIDAD de Φ.
1
C
A
1
Φ
1
1/Φ
1/Φ
1
D
1
1
1/Φ
B
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