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Ecuaciones
de primer
y segundo grado
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
La organización de los transportes por
ferrocarril, de viajeros o de mercancías,
requiere de la resolución de múltiples
problemas de encuentro y alcance de
móviles para aprovechar todas las
posibilidades que esta red ofrece.
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
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Matemática
europea del
siglo XVI
Enlace al monumento a la
predicción del fin del mundo sobre
un pozo de Annaburg (Alemania)
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Esquema de contenidos
Ecuaciones de primer
y segundo grado
Identidades y ecuaciones
Conceptos
Elementos de una ecuación
Ecuaciones de primer grado
Transposición de términos
Método general de resolución
Ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones completas
Ecuaciones incompletas
Estudio del número de soluciones
Discriminante
Resolución de problemas
Con ecuaciones de primer grado
Problemas de móviles
Problemas de mezclas
Con ecuaciones de 2.º grado
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Ecuaciones de primer grado con denominadores
Resuelve la ecuación
2x  15
x  7 x 1
2 

5
6
4
Justifica cada paso que haces.
Quitaremos primero
denominadores, multiplicando
los dos términos de la expresión
por m.c.m.(6,4,5) = 60.
Simplificamos 60 con
cada denominador
Hacemos los productos indicados
Transponemos términos para
agrupar los términos con x en un
miembro y los demás, en otro
Simplificamos en cada miembro
60  2x 15  60  2  60  x  7  60  x 1
5
4
6
12 · (2x –15) + 120 = 10 · (x + 7) – 15 · (x – 1)
24 x – 180 + 120 = 10 x + 70 – 15 x + 15
24 x –10 x +15 x = 70 +15 +180 – 120
29 x = 145
SIGUIENTE
Despejamos x
x = 145 / 29 =
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5
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no
se mezclan substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y
la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota
global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de
otro que tenga 5 y 7?
Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de
Selectividad para obtener un 7,5 de nota global?
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no
se mezclan substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y
la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota
global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de
otro que tenga 5 y 7?
Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de
Selectividad para obtener un 7,5 de nota global?
Se trata de un problema de mezclas: se ponen 60 unidades de un determinado
“precio” (una nota) y 40 unidades de otro (la otra nota), para dar 100 unidades de
“mezcla” (la nota global). Influirá más, lógicamente, la primera nota.
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no
se mezclan substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y
la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota
global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de
otro que tenga 5 y 7?
Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de
Selectividad para obtener un 7,5 de nota global?
Si la nota global (“precio de la mezcla”) es x, se ha de cumplir:
60 · 7 + 40 · 5 = 100 · x
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Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no
se mezclan substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y
la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota
global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de
otro que tenga 5 y 7?
Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de
Selectividad para obtener un 7,5 de nota global?
En el primer caso, si la nota global (“precio de la mezcla”) es x, se ha de cumplir:
60 · 7 + 40 · 5 = 100 · x
620 = 100 · x
x = 620 / 100 = 6,2
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no
se mezclan substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y
la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota
global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de
otro que tenga 5 y 7?
Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de
Selectividad para obtener un 7,5 de nota global?
En el primer caso, si la nota global (“precio de la mezcla”) es x, se ha de cumplir:
60 · 7 + 40 · 5 = 100 · x
620 = 100 · x
x = 620 / 100 = 6,2
Se obtiene así la media ponderada de las notas 7 y 5, con los pesos 60 y 40.
Para el segundo alumno, se tiene: 60 · 5 + 40 · 7 = 100 · x , de donde sale que x = 5,8
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no
se mezclan substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y
la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota
global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de
otro que tenga 5 y 7?
Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de
Selectividad para obtener un 7,5 de nota global?
En la última pregunta, la incógnita no es la nota global (se desea un 7,5), sino la nota
del examen. Llamemos x a esa nota desconocida y planteemos la conocida igualdad
para mezclas:
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no
se mezclan substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y
la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota
global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de
otro que tenga 5 y 7?
Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de
Selectividad para obtener un 7,5 de nota global?
En la última pregunta, la incógnita no es la nota global (se desea un 7,5), sino la nota
del examen. Llamemos x a esa nota desconocida y planteemos la conocida igualdad
para mezclas:
60 · 6,5 + 40 · x = 100 · 7,5
390 + 40 x = 750
40 x = 750 – 390 = 360
x = 360 / 40 = 9
Para sacar la nota global 7,5, he de obtener en el examen un 9.
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de móviles
En los problemas de móviles, hay dos situaciones bien diferentes. En una, los dos
móviles van a encontrarse y en la otra, uno trata de alcanzar al otro. En ambos
casos, se suponen que ambos se mueven con velocidad constante.
Un coche va de la ciudad A a la ciudad B, distantes entre sí 240 km, a 105 km/h.
Otro va de B a A a 95 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán? ¿Cuánto
tardarán en encontrarse?
Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la mañana a 25 km/h. A las nueve y
media salí yo a 35 km/h. ¿A qué hora lo alcanzaré? ¿Cuántos kilómetros habré
recorrido?
El primer problema es de encuentro; el segundo, de alcance.
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de móviles: encuentro
Un coche va de la ciudad A a la ciudad B, distantes entre sí 240 km, a 105 km/h.
Otro va de B a A a 95 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán? ¿Cuánto
tardarán en encontrarse?
240 km
A
105 km/h
P
B
95 km/h
El gráfico ayuda a comprender la situación.
Tomamos como incógnita, t, el tiempo que
tardan en encontrase, y razonamos sobre el
espacio recorrido por ambos coches hasta
que se encuentran en P.
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de móviles: encuentro
Un coche va de la ciudad A a la ciudad B, distantes entre sí 240 km, a 105 km/h.
Otro va de B a A a 95 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán? ¿Cuánto
tardarán en encontrarse?
240 km
A
105 km/h
P
B
95 km/h
El gráfico ayuda a comprender la situación.
Tomamos como incógnita, t, el tiempo que
tardan en encontrase, y razonamos sobre el
espacio recorrido por ambos coches hasta
que se encuentran en P.
El coche que sale de A recorre en t horas, 105 · t kilómetros, y el que sale de B, 95 · t
kilómetros. Sumados los dos recorridos se ha de obtener 240 km. Luego, la ecuación
es:
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
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Problemas de móviles: encuentro
Un coche va de la ciudad A a la ciudad B, distantes entre sí 240 km, a 105 km/h.
Otro va de B a A a 95 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán? ¿Cuánto
tardarán en encontrarse?
240 km
A
P
B
105 km/h
95 km/h
El gráfico ayuda a comprender la situación.
Tomamos como incógnita, t, el tiempo que
tardan en encontrase, y razonamos sobre el
espacio recorrido por ambos coches hasta
que se encuentran en P.
El coche que sale de A recorre en t horas, 105 · t kilómetros, y el que sale de B, 95 · t
kilómetros. Sumados los dos recorridos se ha de obtener 240 km. Luego, la ecuación
es:
105 t + 95 t = 240
De aquí, t = 240
200
, es decir,
200 t = 240
horas = 1,2 horas = 1 hora 12 minutos.
Se encontrarán a 105 · 1,2 = 126 km de A.
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de móviles: alcance
Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la mañana a 25 km/h. A las nueve y
media salí yo a 35 km/h. ¿A qué hora lo alcanzaré? ¿Cuántos kilómetros habré
recorrido?
Situación a las 9 h 30 min
12,5 km
Yo
Enrique
P
Hacemos un gráfico en la última de las
referencias horarias, a las 9 h 30 min
Enrique ha recorrido en ese tiempo
25 · 1/2 =12,5 km.
Sea t el tiempo a partir de las nueve y
media que tardo en alcanzar a Enrique.
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de móviles: alcance
Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la mañana a 25 km/h. A las nueve y
media salí yo a 35 km/h. ¿A qué hora lo alcanzaré? ¿Cuántos kilómetros habré
recorrido?
Situación a las 9 h 30 min
12,5 km
Yo
Enrique
P
Hacemos un gráfico en la última de las
referencias horarias, a las 9 h 30 min
Enrique ha recorrido en ese tiempo
25 · 1/2 =12,5 km.
Sea t el tiempo a partir de las nueve y
media que tardo en alcanzar a Enrique.
Yo recorro hasta alcanzarlo, 35 · t , mientras que Enrique recorre 25 · t . Restados los
dos recorridos debe dar 12,5 km, la distancia que debo compensarle a Enrique. Luego,
la ecuación es:
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas de móviles: alcance
Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la mañana a 25 km/h. A las nueve y
media salí yo a 35 km/h. ¿A qué hora lo alcanzaré? ¿Cuántos kilómetros habré
recorrido?
Situación a las 9 h 30 min
12,5 km
Yo
Enrique
P
Hacemos un gráfico en la última de las
referencias horarias, a las 9 h 30 min
Enrique ha recorrido en ese tiempo
25 · 1/2 =12,5 km.
Sea t el tiempo a partir de las nueve y
media que tardo en alcanzar a Enrique.
Yo recorro hasta alcanzarlo, 35 · t , mientras que Enrique recorre 25 · t . Restados los
dos recorridos debe dar 12,5 km, la distancia que debo compensarle a Enrique. Luego,
la ecuación es:
35 t – 25 t = 12,5 , es decir, 10 t = 12,5
Así, t =
12,5
10 = 1,25 horas = 1 hora 15 minutos después de las 9 h 30 min, o sea,
lo alcanzaré a las 10 h 45 min y habré recorrido: 35 · 1,25 = 43,75 km.
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas con ecuaciones de segundo grado
Muchos problemas se reducen a la resolución de una ecuación de segundo grado
con una incógnita. Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto en la antigua
Babilonia, hace 3.800 años.
Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con 11 veces su superficie y da
6,25. ¿Cuál es su lado?
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Problemas con ecuaciones de segundo grado
Muchos problemas se reducen a la resolución de una ecuación de segundo grado
con una incógnita. Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto en la antigua
Babilonia, hace 3.800 años.
Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con 11 veces su superficie y da
6,25. ¿Cuál es su lado?
Observa que no se suman magnitudes, pues una es longitud y otra superficie. Se
suman los números que indican las medidas.
Si x es el lado del cuadrado, x2 es su superficie.
El enunciado se transforma en la ecuación:
7 x + 11 x2 = 6,25
x
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Problemas con ecuaciones de segundo grado
Muchos problemas se reducen a la resolución de una ecuación de segundo grado
con una incógnita. Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto en la antigua
Babilonia, hace 3.800 años.
Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con 11 veces su superficie y da
6,25. ¿Cuál es su lado?
Observa que no se suman magnitudes, pues una es longitud y otra superficie. Se
suman los números que indican las medidas.
Si x es el lado del cuadrado, x2 es su superficie.
El enunciado se transforma en la ecuación:
7 x + 11 x2 = 6,25
Tenemos la ecuación de 2.º grado:
x
11 x2 + 7 x – 6,25 = 0.
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Problemas con ecuaciones de segundo grado
Muchos problemas se reducen a la resolución de una ecuación de segundo grado
con una incógnita. Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto en la antigua
Babilonia, hace 3.800 años.
Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con 11 veces su superficie y da
6,25. ¿Cuál es su lado?
Observa que no se suman magnitudes, pues una es longitud y otra superficie. Se
suman los números que indican las medidas.
Si x es el lado del cuadrado, x2 es su superficie.
El enunciado se transforma en la ecuación:
7 x + 11 x2 = 6,25
Tenemos la ecuación de 2.º grado:
x
11 x2 + 7 x – 6,25 = 0.
 7  7  4  11  (  6,25)  7  324  7  18


x

22
22
2  11
11
2
22
 25
 0,5
22
El lado mide 0,5 unidades. La solución negativa no tiene sentido.
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Unidad 4: Ecuaciones de primer y segundo grado
Actividad: Ecuaciones en equilibrio
Dirección:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_324_g_3_t_2.html?open=instructions
Los dos miembros de una ecuación tienen
una perfecta interpretación como platos de
una balanza. Esto se utiliza en esta
actividad para resolver ecuaciones.
Para conocerlo, sigue este enlace.
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