Lugares geométricos. Las cónicas
y las cuádricas
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Lugares geométricos
Circunferencia
Elipse
Hipérbola
Parábola
…
Lugares geométricos en el plano
 Se denomina LUGAR GEOMÉTRICA del plano al conjunto de puntos
de éste que cumple unas condiciones determinadas
 Ejemplo.- La mediatriz de un segmento de extremos A, B es la recta r que
cumple que para cualquier punto P de r, se cumple d(P,A) = d(P,B). Así por
ejemplo, si A(-4,2) y B(4,4) la mediatriz r será
d  P, A  d  P, B  
 x  4
2
  y  2 
2
  x  4   y  2   x  4   y  4
2
2
2
 x  4
2
 x  y  8  x  4  y  20  x  y  8  x  8  y  32
2
2
2
2
 16  x  4  y  12  0  r : 4  x  y  3  0
2
  y  4
2
Lugares geométricos en el plano
 Ejemplo.- La bisectriz de dos rectas r y s, es la recta t que cumple
que para cualquier punto P de t, se cumple d(P,r) = d(P,s).
Así por ejemplo, si r : -12 x + 5 y = 0 y s : 3 x + 4 y =7 la bisectriz r
será
d  P, A  d  P, B  
 12  x  5  y
  12   5
2
2

3 x  4 y  7
3 4
2
2
  12  x  5  y 3  x  4  y  7


 99  x  27  y  91  0
13
5
 
 t:
 21  x  77  y  91  0
  12  x  5  y   3  x  4  y  7

13
5
Circunferencia. Ecuación
 La CIRCUNFERENCIA es el lugar geométrico de los puntos P(x,y)
del plano que equidistan de otro punto llamado centro C(a,b). Es
decir
{ P(x,y) ℝ2 : un r que cumple d(P,C) = r }
 Elevando al cuadrado la expresión d(P,C) = r, la ecuación de la
CIRCUNFERENCIA será
x  a   y  b  r
2
2
2
 Quitando paréntesis en la ecuación e igualando a cero, obtenemos la
ecuación polinomial de la CIRCUNFERENCIA, que será
x  y  m  x  n  y  p  0;
2
2
m  2  a


D onde 
n  2  b
 p  a2  b2  r2

 No toda expresión polinomial de este último tipo representa una circunferencia,
ya que para que sea una circunferencia, r tiene que ser mayor o igual a cero.
Circunferencia. Ecuación
 Ejemplo.- Calcular la ecuación polinomial de la circunferencia de
radio 4 y centro (1,-2)
 x  1   y  2   4
2
2
2
 x  y  2 x  4 y 1  2  4  0
2
2
2
2
2
 x  y  2  x  4  y  11  0
2
2
 Si representa una circunferencia la siguiente ecuación polinomial ecuación
polinomial, calcular cu centro y su radio
x2 + y2 + 4 x – 2 y + 25 = 0

4  2  a  a  2

S i (a,b) es el centro y r el radio se cu m ple 
2  2  b  b  1

2
2
2
25


2

1

r
 r   20



Que como no puede hallarse un valor real para r, la ecuación polinomial, no
representa una circunferencia
Circunferencia. Ecuación
 La CIRCUNFERENCIA centrada en el origen es aquella que su
centro es (0,0). Es decir de ecuación
x  y r
2
2
2
 También es fácil comprobar que una ecuación que pase por el origen de
coordenadas, su ecuación polinomial será de la forma
x  y  mx n y  0
2
2
 Las ecuaciones polinomiales de dos circunferencias concéntricas serán de la
forma
x  y  mx ny  p  0
2
2
x  y  mx ny  p' 0
2
2
Potencia de un punto respecto a una Circunferencia
 Se denomina POTENCIA de un punto P(x0,y0) respecto de una
circunferencia C : (x-a)2 + (y-b)2 = r2, al producto PA  PB donde A y B son
dos puntos de la circunferencia, que están alineados con P (este valor es
constante independientemente de los valores de A y B).
 En particular,|PA|
si .tomamos
|PB|
A
si A
y B,[P,B]
que, pues
pertenezcan
Cos (PA,PB)
a un= diámetro
0º
de la
PA
circunferencia,
 PB =
obtenemos la ecuación
- |PA| . |PB|
P A  P Bsi, P 
si [A,B]
A   ,Ppues
, B  Cos (PA,PB) = 180º

PC  P   P A P B  

  P A  P A , si P   A , B 




 PC  P   d  P ,  a , b    r  d  P ,  a , b    r   x 0  a    y 0  b   r
Que será
> 0, si P es un punto exterior a la circunferencia
= 0, si P = A o P = B
< 0, si p es un punto interior de la circunferencia
2
2
2
Potencia de un punto respecto a una Circunferencia
 Ejemplo.- Dada la circunferencia C : x2 + y2 – 6 x + 5 y - 16 = 0,
calcular la potencia del punto P(1,1)
PC  P   5  6  6  5  5  6  19  42
2
2
Teniendo en cuenta la definición de
potencia y el teorema de Pitágoras, se
observa que
PC(P) = d2(PT)
Donde T es el punto de intersección de la
recta tangente a Circunferencia que pasa
por P y la circunferencia
Eje radical de dos circunferencias
 El EJE RADICAL de dos circunferencias
C : x2 + y2 + m x + n y + p = 0
C’ : x2 + y2 + m’ x + n’ y + p’ = 0
Es el lugar geométrico de los puntos que tiene la misma potencia respecto de
ambas circunferencias. Es decir  P  2 : PC  P   PC '  P 
Que desarrollando e igualando dichas potencias se obtiene la siguiente recta
x  y  m  x  n  y  p  x  y  m ' x  n ' y  p '
2
2
2
2
 r :  m  m '  x   n  n '  y   p  p '  0
Si las circunferencias C y C’ son
concéntricas no existe el eje radical si son
secantes el la recta que pasa por los
puntos de intersección
Par ver la interpretación gráfica del eje
radical pincha en el siguiente vínculo (eje
radical de dos circunferencia de J. Manuel
Arranz)

Centro radical de tres circunferencias
 El CENTRO RADICAL de tres circunferencias, es el punto que tiene
la misma potencia respecto de las tres circunferencias
Elipse
 La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es constante
 Hay que observar
que por el teorema
de Pitágoras, se
cumple b2 + c2 = a2
 El
La EJE
CENTRO
SEMIDISTANCIA
DISTANCIA
FOCAL
SECUNDARIA
MAYOR
MENOR
de FOCAL
es
la
es
la
el
recta
segmento
es
eses
lad(F,F’)
que
mediatriz
el
espunto
contiene
cA’,
[A,
[B,B’]
==B,
d(O,F)
A’]
2.c
medio
del
dealson
segmento
distancia
=segmento
del
d(O,F’)
segmento
2.b
2.a
[F,F’].
[F,F’].
[F,F’].
Los
VÉRTICES
deelipse
laFOCAL
elipse
(A,
B’)
los
puntos
de
intersección con el eje
focal y con el eje secundario.
Ecuación reducida de la Elipse
 Si consideramos la elipse sobre un sistema de referencia plano, de
forma que O sea el origen de coordenadas, y los ejes focal y
secundario los ejes de abcisas y ordenadas, las coordenadas de los
focos serán F(c,0) y F’(-c,0). Si las coordenadas de los puntos de la
elipse son P(x,y)
Ecuación reducida de la Elipse
Ecuación reducida de la Elipse
 Si tomamos como eje de abcisas el eje secundario, y como eje de
ordenadas el eje focal, obtendríamos la ecuación reducida
y
2
a
2

x
2
b
2
1
Ecuación reducida de la Elipse
 Si tomamos como centro de la elipse el punto O =(p,q), y los ejes
focal y secundarios son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas
respectivamente, obtenemos la ecuación
x  p
a
2
2

 y  q
b
2
1
2
Si tomamos como centro de la elipse el punto O =(p,q), y los ejes
focal y secundarios son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas
respectivamente, obtenemos la ecuación
x  p
b
2
2

 y  q
a
2
2
1
 La EXCENTRICIDAD e de una elipse, es el cociente entre la semidistancia
focal y el semieje mayor, es decir e = c / a.
La excentricidad de la elipse será menor que 1 (cuanto más próxima a 1 será
más achatada y cuanto más próxima a 0, se aproximará a una circunferencia)
Hipérbola
 La hipérbola es el lugar geométrico de puntos del plano cuya diferencia
de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS (F y F’) es constante
El
CENTRO
EJE
SEMIDISTANCIA
DISTANCIA
FOCAL
SECUNDARIA
O de
FOCAL
es
lala
hipérbola
FOCAL
recta
es
eslad(F,F’)
que
mediatriz
eses
contiene
c (A,
=el
= d(O,F)
2.c
punto
delson
alsegmento
=medio
segmento
d(O,F’)
del[F,F’].
segmento
[F,F’].
[F,F’].
 La
Los
VÉRTICES
dela
hipérbola
A’)
los puntos
de intersección
con el eje
focal.
Ecuación reducida de la hipérbola
 Si consideramos la hiperbola sobre un sistema de referencia plano,
de forma que O sea el origen de coordenadas, y los ejes focal y
secundario los ejes de abcisas y ordenadas, las coordenadas de los
focos serán F(c,0) y F’(-c,0). Si las coordenadas de los puntos de la
Parábola son P(x,y)
Ecuación reducida de la Hipérbola
Ecuación reducida de la Hipérbola
 Si tomamos como eje de abcisas el eje secundario, y como eje de
ordenadas el eje focal, obtendríamos la ecuación reducida
y
2
a
2

x
2
b
2
1
Ecuación reducida de la Hipérbola
 Si tomamos como centro de la hipérbola el punto O =(p,q), y los ejes
focal y secundarios son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas
respectivamente, obtenemos la ecuación
x  p
a
2
2

 y  q
b
2
1
2
Si tomamos como centro de la Hipérbola el punto O =(p,q), y los ejes
focal y secundarios son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas
respectivamente, obtenemos la ecuación
 y  q
a
2
2

x  p
b
2
2
1
 La EXCENTRICIDAD de de una hipérbola, es el cociente entre la
semidistancia focal y el semieje mayor, es decir e = c / a.
Asíntotas de la Hipérbola
 Se denomina Asíntota de una hipérbola a una recta que pasa por el
centro de la misma y que es tangente a la hipérbola en el infinito.
Dado que la asíntota pasa por el origen, será de la forma y = m x, y
teniendo en cuenta que la ecuación reducida de la hipérbola es de la
forma
x
2
a
2

y
2
b
2
b
1 y   
a
 x  1
2
 Igualando esta última expresión con y = m .x, y tomando límites, se obtiene
 b
2


x
 1

  
a
m  lim 
x 
x



 Luego


 b
  lim y  lim     
x 
x  
a

  


b
b
m      lim y      x
x 
a
a
1 
b




 
2
2
x
x 
a

x
2
 Cuando a = b, se obtiene las asíntotas y = ± x, es decir las bisectrices de los
cuadrantes
Parábola
 La Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de una recta
denominada directriz y un punto
denominado FOCO (F)
 La
Se distancia
denominaentre
VÉRTICE
deyPARÁBOLA,
lalaparábola
de perpendicular
intersección
de
la parábola
directriz al
se
denomina
PARÁMETRO
EJE el
DEfoco
LA
a punto
la
recta
a (p)
directriz con
que
su
ejepor el foco
pasa
Ecuación reducida de la Parábola
 Si consideramos la Parábola sobre un sistema de referencia plano, de
forma que el vértice V sea el origen de coordenadas, el eje de abcisas
la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el eje de
ordenadas la recta paralela a la directriz que pasa por el vértice V. Las
coordenadas del foco serán F(p/2,0). Si las coordenadas de los puntos
de la Parábola son P(x,y)
Ecuación reducida de la Parábola
Ecuación reducida de la Parábola
 Si consideramos la Parábola sobre un sistema de referencia plano,
de forma que el vértice V vértice sea el origen de coordenadas, el eje
de abcisas la recta paralela a la directriz que pasa por el vértice V y el
eje de ordenadas la recta perpendicular a la directriz que pasa por el
foco , obtendríamos la ecuación reducida
x  2 p y
2
Ecuación reducida de la Parábola
 Si el vértice V de la parábola tiene coordenadas V(a,b).
Si el eje y la directriz son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas
respectivamente, la ecuación de la parábola será de la forma
 y  b
 2  p  x  a
2
Si el eje y la directriz son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas
respectivamente, la ecuación de la parábola será de la forma
x  a
2
 2  p  y  b
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate
maticas.htm)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/msa
daall/geogebra/)
En la siguiente diapósitiva
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