Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
Ing. Catarino Fernando Pérez Lara
Facultad de Ingeniería, UNAM
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1.9 Cálculo de diferencias de potencial (carga puntual,
segmento de línea, superficie infinita, placas planas y
paralelas).
•Objetivos.
•Establecer las ecuaciones de las diferencias de
potencial para distintos distribuciones de carga
contínuas.
• Comprender el concepto de gradiente de potencial.
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Potencial producido por una esfera que posee una densidad
superficial de carga δ.
rˆ
+
Trayectoria para de
conocer
el
potencial en los
puntos A y B
rA
+
+
+
B
+
+
rB
C+
+
r0
+
+
+
+
+
+
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A
+
+
+

d

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El campo E es cero cuando r<r0
Cuando r≥r0
E 
Para un punto A
fuera de la esfera
VA  
1
4  0
VA  
Q
A

1
4  0 r
1
4  0
dr
r
Q
2
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Q
2
rˆ
A

VA 

rˆ  d l
r
2
1
Q
4  0 r A
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Puesto que se trata de un esfera,
el área esta dada por la expresión
La densidad superficial
de carga σ
 
A  4  r0
Q
A
Sabemos que el
potencial de VA es

Q
4  r0
VA 
El potencial de VA en
función de la densidad
superficial de carga es
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2
2
 Q   4  r0
1
Q
4  0 r A
VA 
 r
2
0
 0 rA
2
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Para un punto interior B de la esfera, el potencial es:
VB   
B


 
C 
E  dl    E  dl 


B
 
E  dl
C
El potencial en la superficie es ( en un punto C):
VC   
C

 
E  dl 
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1
Q
4  0 r0
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El potencial de C a B :


C

 
E  dl  0
El potencial en el interior de la esfera es igual
al potencial de la superficie:
V 
V 
1
Q
4  0 r0
1
Q
4  0 r
Para : r  r0
Para : r  r0
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Potencial en un punto producido por un segmento de
línea con distribución uniforme de carga λ:
VA 
x2
x1
4  0

x2
dq
x1
r
x2
 dx
x
- - - - - - - - - - - - - ---------------------
dq=λdx
VA 
1
4  0

r
x1
Eje Y
r
a
1

r  a x
A
Eje X
x
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2
2

1
2
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Sustituyendo y resolviendo la integral
VA 
1
4  0

dx
x2
x1
x
2
a
2

1
VA 
2
1
4  0

 ln  x   x  a
2

Por lo tanto sustituyendo los límites:



 x  x2  a2
1
2
VA 
 ln  2
4  0
2
2

x

x

a
1
 1
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

1
2
1
2





2

1
2
x2


 x1
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Potencial eléctrico debido a un disco con
carga uniforme:
VA  
σ
A

 
E d
b
Eje Z
+
+
r0
+
yˆ
+
X
Eje Y
Ej
e
+
A

d
+
VA  
yA

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
 
y
1

2 0
2
2

r0  y


1
2



j d


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L dirección de dl esta dada por:

j  d   j d  cos    d 
Como dl= -dy, puesto que esta θ=180°:
d    dy
Por lo tanto únicamente se tiene componente
en y
yA  b
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Al resolver el potencial en el punto A, y sustituyendo
j.dl por -dy


 b
ydy

VA  
dy

1


2 0  
2
2
2
r0  y  

Como es una integral impropia al tener límites en
infinito, para que la integral converja, debemos
obtener , a un límite finito


ydy

VA  
lim  dy 
y
2  0 ´  y ´ 
2
2
r

y
0

b

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
1
2




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Resolviendo la integral con el límite finito y'
VA  

2 0

lim y  r  y
y ´ 
2
0
2

1
b
2
y´
Sustituyendo, el potencial en un punto con
distancia b generado por una superficie
circular de radio r0
VA 

2 0

r b b
2
0
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2

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Diferencia de potencial entre dos puntos producida
por una superficie infinita.
YB
+
σ
+
Eje Z
+
+
X
e
1

d 3
Eje Y
+

d 1
+
YA
A
 
E d
B
+
Ej
V AB   
B
A

d2
2
• De la trayectoria l1, l2 y
l3
V AB   
1
B
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 
E  d 1 

2
1
 
E  d 2 

A
2
 
E  d 3
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La trayectoria solo tiene componentes en el eje Y.


E 
j
2 0
Las trayectoria de los ejes x, y, z son.
d  1   d  1k
d 2  d 2i
d 3   d 3 j
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Por lo tanto la diferencia de potencial de los puntos A
hacia B , solo tiene componente en y, por lo que se
reduce la expresión de la superficie con densidad de
carga superficial
V AB   
yA
yB

2 0
dy  

2 0
y
yA
yB
Integrando en los límites, la diferencia de potencial
VAB para una superficie infinita es:
V AB 

2 0
yB
 y A V
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
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Diferencia de potencial entre dos puntos producida
por una línea infinita cargada uniformemente.
Línea
infinita λ
 
E d
B(rB,θB,ZB)
Eje Z
V AB   
A
A(rA,θA,ZA)
rA
Se cumple que la
diferencia
de
potencial es
rB
B
2
De acuerdo a la
trayectoria, se tiene
que:
V AB   
1
B
Eje Y
Ej
e
X
1
 
E  d 1 

2
1
 
E  d 2 
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θA

A
2
 
E  d 3
Trayectoria
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Las
trayectorias
coordenadas cilíndricas
en
d  1   d  1ˆ
Eje Z
rB
2
Eje Y
1
X
Del
análisis
se
concluye que solo se
tiene componente en la
dirección de dr

2 
V AB    E  d  2
1

d  2  dr
B(rB,θB,ZB)
e
d  3   d  3 zˆ
Línea
infinita λ
Ej
d  2  d  2 rˆ
A(rA,θA,ZA)
rA
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θA
Trayectoria
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Sustituyendo E y resolviendo la integral
V AB  
V AB  
1
4  0
1
4  0
2 
rA
rB
dr
r
2   ln r rB
rA
Por lo tanto sustituyendo los límites, la diferencia de
potencial entre dos puntos para una línea infinita:
V AB 
1
4  0
2  ln
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rB
rA
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Potencial eléctrico a dos
iguales y de signo contrario:
superficies
cargadas
Se aclara que realmente son dos superficies , por lo que se
debe aplicar el principio de superposición
+





E A  E A1  E A 2 
k
k
2 0
2 0
+
0
+
+
A
C
Superficie paralelas
Cargadas de signo contrario
de
-
-
- Eje Y
e
Ej
 Z A  Z B V 
B
-
-
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D
ZB
ZA
Eje Z
X
V AB 

+

E

 V 
EA 
k 
0 m 
La diferencia
potencial es
+
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Potencial eléctrico a dos
iguales y de signo contrario:
superficies
cargadas
Si C y D son dos puntos sobre las placas, la diferencia de
potencial de VCD
0
+
(Z D  Z C )
+
+
+
+
C

E
V DC  E ( Z D  Z C )   Ed
A
Eje Z
ZA
B
-
-
-
-
e
X
- Eje Y
Ej
V CD  Ed
Superficie paralelas
Cargadas de signo contrario
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D
ZB
V DC  V CD 

+
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Próxima sesión:
1.10 El gradiente de potencial.
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