Departamento de Física
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Teoría Cuántica:
Líneas de influencia
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Clase 3
Página 1
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A.
El cuanto de luz
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Página 2
De Kirchhoff a Planck
Gustav Robert Kirchhoff
(1824 - 1887)
En termodinámica, la ley de Kirchhoff de la radiación térmica, es un teorema de
carácter general que equipara la emisión y absorción en objetos calientes, propuesto
por Gustav Kirchhoff en 1859, a raíz de las consideraciones generalesde equilibrio
termodinámico.
La ley de Kirchhoff establece que si un cuerpo (o superficie) está en equilibrio
termodinámico con su entorno, su emisividad es igual a su absorbancia.
Junto con la demostración del teorema, propuso la búsqueda de una respuesta a un
nuevo planteo. La respuesta fue el descubrimiento de la teoría cuántica.
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Radiación de objetos calientes
Cuando se eleva la temperatura de un objeto,
este emite radiación electromagnética.
Primero se pone rojo, después
cada vez más blanco:
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Radiación del cuerpo negro
I ( )
Si se analiza la intensidad de
radiación emitida en función
de la longitud de onda, se
obtienen curvas de este tipo:
El cuerpo negro es el emisor ideal,
también es el absorbente ideal.
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La envolvente de las
curvas, es la respuesta
del mejor emisor a la
temperatura del
experimento.
B
A

Las poderes de emitancia y absorbancia
de los objetos coinciden.
Un ahujero en una pared
es un cuerpo negro ideal.
Toda la radiación que incide
sobre el cuerpo negro es
absorbida, no tiene chance de
ser reflejada
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Radiación del cuerpo negro
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El espectro de
longitudes de onda
solo depende de T.
Se trabajó mucho sobre este tema
durante la segunda mitad del siglo
XIX.
Un problema interesante, las propiedades de la radiación eran
independientes de la constitución química de las paredes del horno, de
la geometría de las mismas, o de cualquier cosa que estuviera adentro.
ranura
Prisma
Radiación
dispersada
Termopila
Detector
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Considerar un cuerpo en equilibrio térmico con la radiación. Supongamos que la
radiación que absorbe el cuerpo se convierte solo en energía térmica.
Sea E d  la cantidad de energía emitida por el cuerpo por unidad de
tiempo y de superficie con frecuencia entre ν y dν
Sea Aν su coeficiente de absorción para la frecuencia ν.
El teorema de Kirchhoff establece que Eν/Aν depende solo de ν y de la
temperatura T y es independiente de cualquier otra característica del
cuerpo:
E
 J ( , T )
A
Kirchhoff llamó a un cuerpo perfectamente negro si A= 1
Luego J(,T) es el poder emisivo de un cuerpo negro.
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El énfasis de Kirchhoff sobre las dificultades experimentales era bien
justificado.
Los experimentales debían lidiar con tres problemas:
1)Construir sistemas experimentales con perfectas propiedades de cuerpos
negros.
2)Diseñar detectores con adecuada sensibilidad.
3)Encontrar formas de realizar mediciones sobre un dominio de
frecuencias más amplio.
Cuarenta años de experimentación fueron necesarios para que los
datos fueran suficientes para responder la pregunta de Kirchhoff.
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Kirchhoff obtuvo la ecuación anterior mostrando que su violación implicaría la
posibilidad de un “móvil perpetuo” de segundo tipo.
La novedad de su teorema fue no tanto su contenido como la precisión y
generalidad de su prueba, basada exclusivamente en la todavía joven ciencia de
la termodinámica.
El siguiente avance en la teoría apareció en 1879.
Josef Stefan conjeturó en base a resultados experimentales que la energía total
radiada por un cuerpo caliente varía con la cuarta potencia de su temperatura
absoluta.
Este enunciado no es verdadero en su generalidad.
Ludwig Boltzmann, en 1884 probó teóricamente que la estricta ley T4 vale, y
solo vale, para cuerpos negros.
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La prueba de Bolzmann nuevamente involucraba termodinámica, pero combinada
esta vez con una rama todavía más joven de la Física teórica:
La teoría electromagnética de James Clerk Maxwell (1831-1879).
La teoría electromagnética, como formulada por Maxwell, da cuenta adecuadamente
de todos los diversos fenómenos conectados con la propagación de la luz y la energía
radiante en general.
La teoría predijo el valor observado de la velocidad de propagación de la radiación.
Pero la extensión de la teoría electromagnética siguiendo líneas clásicas no fue
adecuada para dar cuenta de los fenómenos de absorción y emisión de la radiación.
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Radiación del cuerpo negro
Para el caso del “Hohlraumstrahlung” la radiación es homogénea, isótropa y no
polarizada, tal que
J ( , T ) 
c
8
u ( , T )
u(,T), la densidad espectral, es la densidad de energía por unidad de volumen
con frecuencia .
En este caso la ley de Stefan – Boltzmann aparece como:

E (T )  V  u ( , T ) d   aVT
4
0
Esta ley fue la primera consecuencia termodinámica derivada del teorema de
Maxwell de acuerdo al cual la presión de la radiación iguala a un tercio de la
energía por unidad de volumen.
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Radiación del cuerpo negro
Si uno estudia la distribución espectral puede
obtener resultados como estos.
De estas observaciones se siguieron dos
resultados importantes, que se pudieron
deducir a partir del electromagnetismo y de la
termodinámica.
E  T
4
1879
Ley de Stephan :
1896
Ley de desplazamiento de Wien.
 1 T1   2 T 2
max
max
P. N. 1911
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The Nobel Prize in Physics 1911 was awarded to
Wilhelm Wien
"for his discoveries regarding the laws governing the
radiation of heat".
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Cuando en 1893 Wilhelm Wien probó su ley de desplazamiento:
u ( , T )   f ( / T )
3
5
u ( , T )   g ( T )
u ( , T )  T h ( T )
5
uno ha llegado tan lejos como es posible sobre la base de la termodinámica y la
teoría electromagnética.
Mientras tanto, a partir de 1860, varías propuestas de la forma correcta de u
aparecieron. Todas pueden ser olvidadas, excepto una, la ley exponencial de
Wien, propuesta en 1896:
u ( , T )   e
3


T
5
u (  , T )  C 1 e

C2
T
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En estas aproximaciones al problema , se utilizaba
como cuerpo negro una cavidad de paredes
reflectoras, con una de ellas movil, como un pistón.
El trabajo del pistón al moverse en contra de la presión de
la radiación.
Se analizaba:
El incremento de la frecuencia de la radiación por efecto
Doppler.
El incremento de la temperatura del sistema ante un cambio
adiabático del volumen.
Se trataba de encontrar una expresión analítica del espectro de emisión
del cuerpo negro.
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Uno de los primeros
u ( , T )d 
resultados fue el de Wien
C 1
C2
e
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5
d
T
Osciladores atómicos que emitían luz con su frecuencia propia.
La intensidad era proporcional al número de osciladores.
Las constantes C1 y C2 se podían ajustar para describir la curva lo mejor
posible.
u ( )

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Un poco antes del año 1900 las técnicas experimentales habían avanzado
suficientemente para aportar nuevos datos para confrontarlos con la ley de Wien.
1893
En pocos años el estudio de la radiación oscura ha avanzado
enormemente por la investigación sistemática de las leyes de
dispersión de los rayos infrarrojos
Ernest F. Nichols “A Study of the Transmission Spectra of Certain Substances
in the Infra-Red”
Phys. Rev. 1, 1 (1893)
1897 Friederich Paschen realizó muy buenas mediciones en el infrarrojo cercano
 = 1-8  y T= 400 -1600 K y encontró un excelente acuerdo con la ley de
Wien.
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.
En el año 1900, se probó que la ley de Wien fallaba en el infrarrojo lejano y se
encontró la correcta respuesta al desafío de Kirchhoff.
Esto ocurrió en el Physikalisch Technische Reichsanstalt de Berlin.
1900 Otto Lummer y Ernst Pringsheim  = 12-18  y T= 300 -1650 K
1900 Heinrich Rubens y Ferdinand Kurlbaun  = 30-60  y T= -200 -1500 K
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Resultados de Rubens y
Kurlbaum presentados en
la Academia Prusiana (25
de Octubre de 1900)
“Nuestros resultados son
bien reproducidos por
una quinta fórmula, dada
por Herr M. Planck,
después que nuestros
experimentos habían
concluido…”
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P. N. 1904
"for his investigations of the densities of
the most important gases and for his
discovery of argon in connection with
these studies"
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1900
Lord Rayleigh hizo un tratamiento riguroso.
Consideró una cavidad cerrada, de paredes reflectoras.
Entendió que hay entonces ondas estacionarias y se preguntó:
a) Cuántas ondas (por unidad de volumen) tendrían frecuencia entre  y + d?:
n  d   8
b) Qué energía tiene cada onda?
d

4
Supuso que la energía de a cada modo era igual a
la energía medía del oscilador asociado.
En coordenadas normales, la energía media
de un oscilador, segun la ley de equipartición
de Boltzmann, es: kT
1905
u (  ) d   8
d

Ley de Rayleigh - Jeans
4
kT
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Número de modos
con frecuencia
entre  y + d.
Equipartición de
la energía.
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Max Karl Ernst Ludwig Planck
Obs. 1900
P. N. 1918
b. 1858
d. 1947
Berlin University
Berlin, Germany
"in recognition of the services he
rendered to the advancement of
Physics by his discovery of
energy quanta"
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Kirchhoff se había movido de Heidelberg a
Berlin papa ocupar un cargo de profesor de
Física Teórica en 1875. Después de su muerte
en 1887 el cargo es ofrecido a Boltzmann, que
no lo acepta, y luego a Heinrich Hertz, que
tampoco lo acepta.
En 1889 ocupa la posición Max Planck.
Esta posición lo pone en estrecho contacto
con los desarrollos experimentales que ya
mencionamos. Esta proximidad fue uno de los
factores decisivos en el destino de un hombre
muy particular.
Planck descubrió su ley en la noche del
domingo 7 de octubre de 1900.
Rubens y su esposa visitaron a los Planck la
tarde de ese día.
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Max Karl Ernst Ludwig Planck
Obs. 1900
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b. 1858
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energy quanta"
En el curso de la conversación Rubens le comentó a
Planck que habían encontrado que para bajas
frecuencias u(,T) dependía linealmente de T.
Cuando los visitantes se fueron , Planck resolvió el
viejo enigma, interpolando entre el resultado de
Rubens y Kurlbaum, y la ley de Wien.
Esa misma noche le envía una tarjeta postal a Rubens
con la fórmula descubierta, que podemos suponer era
similar a esta:
C1
u ( )d 
C2
e
T
5
d
1
Observar que la ley de Wien se obtiene en el
límite de longitudes de onda cortas, mientras que
la dependencia lineal de u() con T aparece en el
límite de largas longitudes de onda.
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El 19 de octubre enuncia su descubrimiento como un comentario a continuación
de una presentación que que hace Kurlbaum de los resultados experimentales que
ya hemos visto.
Puede parecer extraño que la necesidad de una teoría cuántica aparezca en
discrepancias entre la Física Clásica y las observaciones experimentales en el
infrarrojo lejano.
Pensar que el descubrimiento de Planck fue solo “interpolar” entre dos
aproximaciones a resultados experimentales sería una grave injusticia.
Desde hacia varios años Planck había tratado de deducir la ley de radiación del
cuerpo negro a partir de primeros principios.
Se entiende claramente la rapidez con que responde Plack al comentario de
Rubens.
Si Planck hubiera interrumpido su interés por la radiación del cuerpo negro ese 19
de Octubre aún así habría pasado a la historia como el descubridor de la ley de
radiación.
Pero el siguió adelante…
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Max Karl Ernst Ludwig Planck
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b. 1858
d. 1947
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Aunque los físicos experimentales cercanos a
Planck conocían el trabajo de Rayleigh (Philos.
Mag. 49,539(1900)) de junio, parece que Planck no
lo conocía ya que no lo menciona en absoluto en
sus contribuciones.
En 1931 Plack se refiere a su hipótesis ( que veremos
enseguida) como “ un acto de desesperación …Tenía
que obtener un resultados positivo, bajo cualquier
circunstancia y a cualquier costo”
Hermann, A. (1969) Frühgeschichte der Quantuntheorie, 1899-1913
(Mosbach, Baden)
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Planck primero hace un progreso empírico,
se da cuenta de que si pone un -1 en la ley
de Wien el ajuste es perfecto.
C1
u ( )d 
C2
e
5
T
d
1
Planck sigue un camino similar al recorrido por Lord Rayleigh (aunque parece
no conocer este trabajo) pero se aparta de éste en lo que hace al cálculo de la
energía media del oscilador (no aplica el principio de equipartición).
En lo que sigue veremos un razonamiento que pertenece a Einstein.
Cómo se calcula la energía media del oscilador?
Si tenemos n0 osciladores, cuántos tienen energía Em?
Segun la estadística de Boltzmann:
nm
n0e

i

e
La energía media del oscilador es:
Em

kT
Ei
kT
 


nm E m

m

m
nm
Eme

Em
kT
m

m
e

Em
kT
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Planck supuso
Em= mu


mue
 mu
u
 
kT
u
e
kT
1
m 0
 


e
 mu
kT
u (  ) d   8
m 0
x  e
x
m

u
  ux
kT
d
ln
dx

1
1 x
 
x
d

u
4
u
kT
e
1
m
C1
u ( )d 
ux
C2
e
1 x
u
kT

C2
T
u 
T
5
d
1
kC 2

u  h
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Radiación del cuerpo negro
u ( )d 
La ley de Planck queda:
u ( ) d  
8h
c

e
kT
hc
 e
5
hc
 kT
d
1
h  6 , 6253 . 10
3
h
3
8
d
 34
j .s
1
Para la determinación experimental de h analizaremos la radiación del
cuerpo negro para una frecuencia fija en función de la temperatura.

I ( , T ) d  d  ~
3
h
e
kT
dd
1
Para el experimento usaremos valores de  y T, tales que:
h   kT
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Determinación de la constante de
Planck
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Para la determinación experimental de h analizaremos la radiación del
cuerpo negro para una frecuencia fija en función de la temperatura.

I ( , T ) d  d  ~
3
h
e
kT
dd
1
Para el experimento usaremos valores de  y T, tales que:
h   kT
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Determinación de la constante de
Planck
I ( 0 , T )  Ae
 h
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kT
Cuerpo negro.
A
Lámpara 75 W.
220V
V
5
R 
V
I
 R 6

T  T 0 

 R0 
Temperatura del filamento.
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Determinación de la constante de
Planck
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I
La corriente inversa es muy pequeña y casi
independiente del voltaje aplicado hasta que
se arriba a un punto de ruptura.
La corriente directa se "enciende" a
aproximadamente 0,5 V para un
diodo de Si y puede llegar a
corrientes muy altas a 0,7 V.
V
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Determinación de la constante de
Planck
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I
V
Detector de intensidad luminosa:
diodo polarizado inversamente
La corriente inversa es proporcional
a la intensidad luminosa.
A
Amplificador
(Lupa)
A
V
Experimento casi listo!
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Planck
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Sensor: diodo polarizado inversamente.
La corriente inversa se incrementa con la intensidad luminosa.
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Planck
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La corriente inversa atraves del fotodiodo varía linealmente con la
iluminancia cuando se trabaja bien arriba de la corriente oscura.
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Determinación de la constante de
Planck
El circuito convierte pequeñas corrientes
en voltajes proporcionales:
Vo = - Rf Iin
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Planck
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I(0,T) ~i(T)
A
i
V ~ i
V
h
kT
I(T) Ae
I (T)
h 1 1

(  )
k T T0
e
Caja negra
I (T0 )
h

ln
I(
T
) 
cte
.
kT
h

ln
V cte
.
kT
ln V
h
k
T
1
?
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Planck
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I ( 0 , T ) ~ i (T )
A
i
V
I (T )  Ae
 h
I (T )
kT
 e

h
(
k
1
T

1
T0
)
Caja negra
I (T 0 )
ln I (T )  
h
 cte .
ln V
h
kT
ln V  
h
kT
V ~ i
V
k
 cte .
T
1
?
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Determinación de la constante de
Planck
Características del diodo BP104
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Espectrofotómetro y radiación del
cuerpo negro
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