Curso Propedéutico de Física Moderna I
Instituto de Ciencias Físicas UNAM
Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica
Antonio M. Juárez Reyes, Instituto de Ciencias Físicas
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Temario, semana 6
ESTADO SÓLIDO
6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina *
6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad
electrónica y número de Mandelung
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores
6.5- Distribución de Fermi-Dirac
6.6 Teoría de semiconductores.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
¿Qué tan buena es la aproximación, para los gases ideales?
Monatomic gas
CV, m (J K−1 mol−1)
CV, m/R
He
12.5
1.50
Ne
12.5
1.50
Ar
12.5
1.50
Kr
12.5
1.50
Xe
12.5
1.50
¡La aproximación es bastante buena!
Curso propedéutico, Física moderna 2008
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
Compliquemos las cosas: ¿Qué ocurre con las moléculas diatómicas?
R.- Aquí tenemos que considerar otros grados de libertad:
Rotaciones y vibraciones.
Energía rotacional
Clásica
Energía vibracional
Cuántica
Curso propedéutico, Física moderna 2008
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
EN una molécula diatómica, existen:
3 grados de libertad translacional
3 grados de libertad rotacional
(1 alrededor del eje principal es
Muy pequeño y puede despreciarse)
1 grado de libertad vibracional
En total hay 6 grados de libertad
Curso propedéutico, Física moderna 2008
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
-- Los 3 grados vibracionales contribuyen con R/2 en energía molar total
-- Los 2 grados rotacionales contribuyen con R/2 cada uno
-- el vibracional con R (R/2 por el término cinético y R/2 por el potencial)
TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R
¿Qué se ve en la realidad?
Diatomic gas
CV, m (J K−1 mol−1)
CV, m / R
H2
20.18
2.427
CO
20.2
2.43
N2
19.9
2.39
Cl2
24.1
2.90
Br2
32.0
3.84
Curso propedéutico, Física moderna 2008
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) =
7R/2 = 3.5R
Diatomic gas
CV, m (J K−1
mol−1)
CV, m / R
H2
20.18
2.427
CO
20.2
2.43
N2
19.9
2.39
Cl2
24.1
2.90
Br2
32.0
3.84
Clásica
Energía vibracional
Cuántica
Curso propedéutico, Física moderna 2008
¿qué valores se obtienen
Si uno considera el oscilador
Cuántico?
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) =
7R/2 = 3.5R
(clásico)
TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) = 5R/2 =
2.5R
(cuántico)
Más cercano!
Diatomic gas
CV, m (J K−1
mol−1)
CV, m / R
H2
20.18
2.427
CO
20.2
2.43
N2
19.9
2.39
Cl2
24.1
2.90
Br2
32.0
3.84
¿Por qué funciona mejor con moléculas ligeras que grandes?
Curso propedéutico, Física moderna 2008
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
Modelos para sólidos
Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819)
- El producto del calor específico por el peso atómico del
elemento sólido es independiente del elemento
Cuántico: Modelo de Einstein (1906) (Notas)
-empleando el oscilador cuantizado y la distribucuón de
boltzmann se obtienen acuerdos con calores específicos
a alta y baja temperaturas.
Modelo clásico de conductividad de Drude
Estadística de Fermi-Dirac. Partículas idénticas.
Modelo de metales de Sommerfeld
Curso propedéutico, Física moderna 2008
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
Modelos para sólidos
Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819)
-El producto del calor específico por el peso atómico del
elemento sólido es independiente del elemento
Richards 1893):
1.- Se modela un sólido como un conjunto de átomos ligados
Por resortes, con un acoplamiento débil.
2.- Se sabe que el oscilador armónico lineal contribuye con
R unidades al calor específico molar
3.-El modelo de sólido es un oscilador en 3 dimensiones, ergo:
Cv = 3R = 5.96 Cal/mol oC
Curso propedéutico, Física moderna 2008
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
Modelos para sólidos
En general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos
sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumple
Razonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas)
Curso propedéutico, Física moderna 2008
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
Modelos para sólidos
En general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos
sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumple
Razonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas)
Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrolló
Un modelo de sólido, para evaluar el calor específico:
Curso propedéutico, Física moderna 2008
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrolló
Un modelo de sólido, para evaluar el calor específico:
PREMISAS
1. Cada átomo en la latiz es un oscilador armónico cuantizado
2. Los átomos vibran a la misma frecuencia
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Temario, semana 6
ESTADO SÓLIDO La Próxima
semana
6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina *
6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad
electrónica y número de Mandelung
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
6.4Teoría clásica de conducción (Modelo de Drude)
6.5- Distribución de Fermi-Dirac
6.6 Teoría de semiconductores.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Temario, semana 6
ESTADO SÓLIDO
6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina *
6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad
electrónica y número de Mandelung
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores
6.5- Distribución de Fermi-Dirac
6.6 Modelo de Sommerfeld Capacidad calorífica de Metales
6.6 Teoría de semiconductores.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Temario, semana 6
ESTADO SÓLIDO
6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina *
6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad
electrónica y número de Mandelung
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores
6.5- Distribución de Fermi-Dirac
6.6 Teoría de semiconductores. Modelo de Kronig-Penney
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Teoría de Bandas
En un sistema atómico, los valores permitidos de energía están cuantizados
Muchos átomos
1 átomo
En un material sólido, los niveles de energía forman bandas
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Teoría de Bandas
¿por qué se forman bandas al asociar átomos?
Recordemos cómo se forma una molécula al sumar dos átomos:
Sumando dos átomos en estado 1S se tienen dos combinaciones posibles
Una simétrica y otra antisimétrica:
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Energéticamente
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Para 3 moléculas, la combinación lineal de orbitales da lugar a 3 niveles:
10 átomos:
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Para un número
Grande de átomos los
Niveles desaparecen
Y en su lugar aparecen
Bandas.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Para justificar de manera más formal la aparición de bandas, revisaremos
El modelo de Kronig-Penney, para evaluar los niveles de energía permitidos
En un material.
1.- Consideramos un modelo unidimensional, en el que un electro
sufre la influencia de los iones de la latiz
2 .- Modelamos un cristal como una serie
De potenciales periódicos de separación d
La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran
Los iones.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
V(r) = V(r + a)
La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran
Los iones.
La dinámica
Del electrón estádada por:
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Las soluciones en estas regiones son:
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Se determinan a partir de condiciones de continuidad
En las fronteras de las regiones, en particular para Psi y para
Su derivada, así como de la normalización de PSI
EC1
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Sin embargo, estas son solo soluciones para las regiones I y II, mientras que
Nosotros buscamos soluciones para toda la malla.
Con el fin de encontrar la solución general, recurrimos al teorema de Bloch:
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
TEOREMA DE BLOCH “Si x es un vector cualquiera en una latiz periódica
e infinita, y ψ es solución a la ecuación de schroedinger para un potencial V(r),
entonces, para una latiz que satisfaga V(r)=V(r+t) existe un vector de onda k
en la latiz inversa, y una Función periódica uj(k) tales que:
Tiene la misma periodicidad del potencial
Se puede ver de la ecuación 1 que:
Es decir, la función de onda en x es igual a aquella desplazada en a
Unidades, más un cambio de fase exp(ika)
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Evaluando lafunción de onda en d y en a, tenemos:
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Y de las derivadas, se puede probar que:
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
(1)
(2)
(3)
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
(1)
(2)
(3)
Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe
Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
(1)
(2)
(3)
Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe
Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe
Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición
Esta condición establece
constricciones sobre las energías
posibles en el potencial, y los
vectores de onda posibles.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe
Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición
Soluciones válidas
No hay soluciones que satisfagan el teorema
De Bloch.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Algunas soluciones numéricas
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Modelo de Kronig Penney
Algunas soluciones numéricas
Curso propedéutico, Física moderna 2008
NOTAS
La tareas se subirá hoy en la tarde
Curso propedéutico, Física moderna 2008
NOTAS
Dependiendo de el valor
Del gap de energía se
tienen conductores, semiconductores
Y aislantes.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
NOTAS
La tarea de toda esta seccion se subirá el día de mañana. -
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Descargar

Notas sobre estado sólido II - Instituto de Ciencias Físicas