Inferencia Estadística:
6. Probabilidad Condicional
Ricardo Ñanculef Alegría
Universidad Técnica Federico Santa María
Probabilidades
• Modelo Matemático para
la Incertidumbre .
• Noción Frecuentista
• Noción Teórica
• Noción Bayesiana
Noción Frecuentista
• Ejemplo: ¿Cuál es la “probabilidad” de que tardemos
más de 30 minutos en la cola del almuerzo? si sabemos
que son las 13:15 de la tarde.
Hora del día
Tiempos de Espera
[0,15]
[15,30]
[30,45]
11-12
30
0
0
30
12-13
20
20
5
45
13-14
5
35
20
60
55
55
25
Probabilidad Condicional
• Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.
• La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B,
denotada como P(A|B) :
P(A |B) =
P(A  B)
P(B)
• Notemos que la idea de frecuencias condicionales calza
perfectamente en este modelo.
Probabilidad Condicional
Ω
A
B
Probabilidad Condicional
• Centra el foco de atención en el hecho que se sabe
que han ocurrido el evento B
• Estamos indicando que el espacio muestral de interés
se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que
definen la ocurrencia del evento B
• Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de
A con respecto al espacio reducido B
Probabilidad Condicional
• Se respetan los axiomas básicos?
i) P(A|B) ≥ 0
ii) P(Ω |B) = 1
iii) Sean A1, A2, … , An disjuntos Ai  Aj =   i j
P( Ai | B) =  P( Ai | B)
Probabilidad Condicional
• Ejemplo: Si lanzamos dos dados (4 caras) ¿Cuál es la
probabilidad de que el máximo de los resultados sea par
dado que el mínimo de los resultados es 3?
Probabilidad Condicional
• Ejemplo: En una encuesta se ha determinado que los
fines de semana el 45% de la población lee la tercera, el
35% lee el mercurio y el 5% lee ambos diarios. ¿Cuál es
la probabilidad de que un lector de la tercera lea el
también el mercurio?
Probabilidad Condicional
• Ejemplo: En una fábrica se ha recopilado la siguiente
información (expresar como probabilidades):
•
El 25% de las piezas con fallas superficiales son
funcionalmente defectuosas.
•
Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen
fallas visibles en la superficie.
•
También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no
tienen fallas superficiales son funcionalmente
defectuosas.
Probabilidad Condicional
El 5% de la piezas que no tienen
fallas superficiales son
funcionalmente defectuosas
El 90% no tienen
fallas visibles en la
superficie.
Se ha encontrado que el 25%
de las piezas con fallas
superficiales son
funcionalmente defectuosas
Se sabe que el 10% de las
piezas manufacturadas
tienen fallas visibles en la
superficie.
Evento A = { pieza funcionalmente defectuosa}
B = { pieza tiene una falla visible en la superficie}
Probabilidad Condicional
A
B
Si A  B =   P(A | B) =
P(A  B )
P(B)
=
P()
=0
P(B)
Probabilidad Condicional
A
B
Si A  B = A  P(A | B) = P(A  B ) = P(A)  P(A)
P(B)
P(B)
Probabilidad Condicional
A
B
P(A  B )
P(B)
Si A  B = B  P(A | B) =
=
=1
P(B)
P(B)
Probabilidad Condicional
A
B
Si A  B    P(A | B) =
P(A  B)
P(B)
Probabilidad Marginal
• Si estudiamos la relación entre una serie de eventos
A,B,C, llamaremos “probabilidades marginales” a las
probabilidades no condicionales P(A), P(B) y P(C).
Regla de Bayes
• Sean A, B dos sucesos tal que P(A), P(B) > 0.
• La “Regla de Bayes” establece una relación entre las
probabilidades condicionales P(A|B) y P(B|A)
P(A|B) =
P(B| A)P(A)
P(B)
• Se sigue inmediatamente de la definición de
probabilidad condicional
Regla de Bayes
• Ejemplo.
En un hospital se tienen registros de que el 90% de los
pacientes obsesos presentan enfermedades coronarias. Si la
proporción de pacientes obesos alcanza el 45% y las
enfermedades coronarias tienen una incidencia del 55% en la
población chilena, ¿cuál es la probabilidad de que un
paciente que presenta enfermedades coronarias sea obeso?
Probabilidad Total
• Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes tal
que su unión conforma el espacio muestral
n
P(Bi ) = 1
i=1
Entonces:
P(A) = P(A |B1 )P(B1 ) +  + P(A |Bn )P(Bn )
Bayes y Probabilidad Total
• Ejemplo: En una fábrica se ha recopilado la siguiente
información (expresar como probabilidades):
•
•
•
El 25% de las piezas con fallas superficiales son
funcionalmente defectuosas.
Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallas
visibles en la superficie.
También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no
tienen fallas superficiales son funcionalmente defectuosas.
¿Cuál es la probabilidad de que una pieza
defectuosa tenga una falla superficial?
Bayes y Probabilidad Total
• Ejemplo (tomado del Canavos, pág. 45)
Probabilidad Total
B1
B2
B5
AB1
AB2
AB4
AB3
B4
B3
Probabilidad Total
• Ejemplo. Un producto se fabrica en 5 plantas que
producen el 20%, 25%, 30%, 15% y 10%
respectivamente. Las probabilidades de fallas en cada
planta están dadas por: 0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.0 ¿Cuál es la
probabilidad de que un producto venga fallado?
Probabilidad Total
• Ejemplo. Supongamos de que se elige aleatoriamente
un producto y se encuentra que está fallado. ¿Cuál es la
probabilidad que sea manufacturado en Planta B3?
Independencia
• Dos eventos A y B se dicen independientes ssi:
P(A  B) = P(A)P(B) ⇒ P(A |B) = P(A)
P(B| A) = P(B)
• Sean Ai: i  I = 1,2,3,......,k una colección de
eventos de (, , P). Se dice que los elementos
sonconjuntamente independientes para todo
subconjunto de índices J:
P( A j ) = ∏ P(A i )
j∈J
j∈J
Independencia
• Ejemplo (tomado del Canavos, pág. 42)
Independencia
• Sea (, 2, P) modelo de probabilidad.
 =  (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1) 
P(wi) = 1/4
• Sean A1, A2, A3 eventos de (, 2, P) :
A1: 1era coord. es 1
A2: 2da coord. es 1
A3: 3era coord. es 1
• Estudiar independencia conjunta y de a pares.
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