RAÍCES
Temario
¿Qué es una Raíz?
La Definición de Raíz como Potencia
Raíz Cuadrada
Raíz Cúbica
El Indice Igual al Exponente
Multiplicación de Raíces de Igual Indice
División de Raíces de Igual Indice
Raíz de una Raíz.
Descomponer una Raíz
Racionalización
¿Qué es una Raíz?
Una Raíz es una expresión que consta de un
INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.
¿Indice, raíz, cantidad subradical?
Indice
4
8
4
2
(-5,3)
4
 
5
2
Símbolo
de Raíz
Cantidad
Subradical
Elementos de una Raíz
Exponente del
Subradical
INDICE
m
Símbolo
de Raíz
n
a
SUBRADICAL
¿Qué significa la Raíz?
Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.
=
Raíz
4
5
2 =
Potencia
2
5
_
4
2
3
_
2
3
(-5,3) = (-5,3)
3
_
2
= (-0,6)
Ojo: El Indice 2
no se escribe.
_
6
4
 
5
7
=
=
2
 
7
7
_
6
Transforma las siguientes raíces a Potencia
3
1
 4 2
4
   
7
7
3
4  42
3
7  72
3
2
2
3
 5 3
5
   
3
3
1
3
5  5
3
1
 3 2
  
5
5
5
3
m
5
 m2
n
4
3
7
4
 73
m
d
n
 d
m
Transforma las siguientes Potencia a Raíces
1
9
 2 2
  
5
1
62 
5
0 ,3  2
6
2
 
5
2

0 ,3
5
43 
9
 76 7
 3  
 5 



7
c
3
4
2
ab 
b
a
c
7
6
5
3
En General
a
b=
n
n
b
_
a
a≥2
Importante:
a
b
0 =0
a
b
1 = 1
Lectura de una Raíz.
5
-Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej. 6
7
3
6
-Indice 3, Raíz Cúbica. Ej.
7
4
6
-Indice 4, Raíz Cuarta. Ej.
Raíz Cuadrada
4  2
ya que
22 
4
9 3
ya que
33 
9
16  4
ya que
4  4  16
25  5
ya que
5  5  25
2  1, 4142135623 7309504880 16887242 ...
Pero es solo una aproximación decimal de la
Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a
2.
2 es como
Esto sucede con muchas raíces cuadradas que
no entregan un resultado exacto
Raíz Cúbica
8 2
ya que
222  8
3
27  3
ya que
3  3  3  27
3
64  4
ya que
4  4  4  64
125  5
ya que
5  5  5  125
3
3
3
3 
1, 4422495703 0740838232 1638310779 6 ...
Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación
decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a 3 3 es como 3 3 .
Esto sucede con muchas raíces Cúbicas que
no entregan un resultado exacto.
1 - Propiedad:
El Indice Igual al Exponente.
Sabiendo que:
7
3
2 =
2
3
_
7
¿Cuál será el resultado de?
5
5
2 = 2
a
En General:
5
_
5
1
= 2 =2
a
a
_
a
n = n =n
2 - Propiedad:
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
7
Sabiendo que:
3
2 = 2
3
_
7
¿Cuál será el resultado de?
9
2 •
_9
2
7
9
2 •5
5 =
7
_
2
7
9
1_
2
1_
7 2
9
7
2 • 5 = (2 ) • (5 ) = (2 • 5 )
En General:
a
x a
n •
y
m =
a
1_
2
x
y
n •m
2 - Propiedad:
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
3
a)
8
b)
c)
3
3
3
4
2  4
9

16
g)
3
3

3
4
3
30  15
e) 3  4  2  9  6
3
3
h)
d) 3 5  3  3 6  5 
3
3
 1, 2 
5
f)   1, 2     1, 2 
6  3 36  6
i)
j)
2
4
3
5
3
m 
5
3
7
3n

3
4
2

9
3
n 
a
2
b
m
n
2n

5
 m
4

a
n
5n
3
3
6

3
b
7n
2n
 a b
3n
3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
Sabiendo que:
7
3
2 = 2
3
_
7
¿Cuál será el resultado de?
75 ÷ 57 =
5
_
2
7
_
2
7
5
7 ÷5
5
1_
2
1_
7 2
5
7
7 ÷ 5 = ( 7 ) ÷ (5 ) = (7 ÷ 5 )
En General:
a
x a
n÷
y
m =
a
1_
2
y
x
n ÷m
3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
8
a)

2
3
b)
3
c)
3
d)
3
3
3
81
3
4
e)
 3
3
m 
3
m 
3
5
2
n
8
n
2
d
4
b
3
3
5
7
5
4
f)
 5
81 
2
3
8
b
3

3
2
a
2

 mn 3

3
a
5
d
6

a
b
4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
7
Sabiendo que:
3
_
7
3
2 = 2
2
3
(3 ) 3
=
y
¿Cuál será el resultado de?
75 =
5
1
_ _
2 2
(7 )
4
7
5_ 1_
2 2
= 7
•
3
5
= 7
En General:
5
1
_ _
3 2
5_
4
b a
75 =
(7 )
n
m
=
6
75
5_ 1_
3 2
= 7
b•a
•
= 7
n
m
5_
6
6
4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
a)
16  2
b)
3
c)
3 4
7 
6
7
5 
12
5
8
d)
m n
e)
x
3
f)
3 3
2
 m n
12
y
3
4
6
x
24
x
18

 x
x
2
y
2
4
Descomponer una Raíz
m n 
Sabiendo que:
m n
Resolver lo siguiente

50 x
7

25  2  x  x
6

16  2  x  x

16  2 
x

4 
x x
25  2 
5 
2
5x
3
x
x x
x
6
3
32 x

2x
9x
3
4x
2x
3
7
2 
6
2x 

x
3
6


Son términos semejantes
Descomponer una Raíz
Otro ejemplo
45

20

80

125
9 5

4 5

4 4 5

5  25
 9 5

4 5

4 4 5 
 3 5

2 5

22 5

5 5
 3 5

2 5

4 5

5 5

5  25
Son términos semejantes
4 5
Racionalización
Racionalizar es amplificar una fracción donde el
denominador presenta una Raíz, con el fin de
que ésta no aparezca.
Ejemplos:
1
a
2

2
a
2

3
n
a
3
3n

3
2
9n
3
¿Qué es lo que hay que saber?
Amplificar:
7
2

4

4
28
8
Multiplicar Raíces
Raíz como Potencia
Potencias
Propiedad de Raíces:
n
2 8 
x 
3
x
5
2 8 

x x
3
x  x
n
16  4
5

x  x
8
4
n
n
 x
p
Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma
q a
7
1)
7

3
m
x
2
5

x
5

7
7
7

4)
n
5

1
n
p
q a

5

4
n
n
p
q a

a
a
n x
7

x

n
2
x
mx
2 7

5 7
7
7

7 3
3
m
7 7
7

n n
En General
2 

2

xx
m
7
7
4
7
3
n x

x
7 3

33
x

2 

7 3
3
n

2)
3)

3
n
m
3
2

n
p a
q a a
n
n


2 7

2
7
7 n

2
n n
p a
q a
2

7 n
n
3
p a
qa

35
Racionaliza las siguientes Expresiones
i)
7

11
ii)
15 ax

2 5a
iii)
iv)
a
3

v)
49
15 ax
ab

vi)

40 a b


a
3


49

b a
8
vii)
2

2
10 a
a a
7

11
2
10 a
a a
7
2 5a
2
40 a b
7
y
x x
viii)
xy
xy
y

p
Racionalizar Raíces Cuadradas de la Forma
7
1)
3

4
n
2)
m
3
3)
4
a 
3
3
4

3
4
m


7
4 4
x
En General
3
q a
n


3
4
x
3
a

4
n4 x

m


3

k
n
a
a
4 
2


mx
a 
a 3 a
x
2
3

3
3 a

3
4
p
n
a
4 
2
k
3
nk
nk

3

a 
3

3
4
p
a3 a
3a
3
7
q  a a
n
n4 x
4
4
2
nk
nk
m

7
n
n4 x
a 3 a
7
k
4

3 a a


x x
a 
n
74 4
3
3
4
3
4 3 4
a
3
2
6
n
73 4
a
p
q
44
x
3
2

k
3
a
6
p
73 4


3 a
3
4
2
a 
3

2
4
4
3
7
4
n
2
7
4)
3
a
a
3

x
3
7
q a
n
q
4
2
4
2
a
n
.....
nk
a

n
p
n
a
nk
q a
Racionaliza las siguientes Expresiones
7
i)
3

3
11
15 ax
ii)
7
3
2 5a
2
3
3
iv)
2
ab
3
a
2
a b

vi)
b a
4

vii)
3
3
a
2
a b

11
4
10 a
ab
3

2
2
3
49
3
2
40 a b

3

ab
2
10 a
3
v)
11
2 5a
2
iii)

15 ax

40 a b
7
viii)
7
3
49

5

2
4
2
7

3
x 7 x y
2
7

9
x y
6
6

Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradas
e Indice Par
Como, por ejemplo,
4  2 ya que 2  2  4
y así para todas las Raíces Cuadradas
de Números Positivos
entonces
NO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZ
CUADRADA DE NÚMEROS
NEGATIVOS
Es decir:
4
No Existe
 0,2
No Existe

25
36
No Existe
En General, Esta condición es propia
de todas las Raíces de INDICE PAR.
4
8
 0 ,12

25
36
No Existe
No Existe
Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas e
Indice Impar
Las Raíces que tienen INDICE IMPAR
NO tienen restricción
Es decir:
3
3
 27   3 ya que  3   3   3   27

8
27
7
ya que  2   2   2   8
 8  2
3

2
3
ya que

2
3

2
3

2
3
 
8
27
 128   2 ya que  2   2   2   2   2   2   2   128
Ecuaciones con Irracionales.
Una Ecuación Irracional es determinar el valor de
la incógnita que se encuentra bajo raíces.
Ejemplo de Ecuaciones Irracionales:
x3 7
Para resolverlas hay que seguir
dos pasos muy sencillos:
i)
x3 
x3
3
1 2x
4  x  7 3x  1
2 x  1  5  7 3x  1
Si hay más de una raíz, se
debe aislar en uno de los lados
de la ecuación.
ii) Elevar al cuadrado ambos
lados de la ecuación.
Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
2x  4  6
Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada
en uno de los dos lados de la ecuación.
2x  4  6 /

2x  4

2
6
2 x  4  36
x  20
2
2
Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
lados de la igualdad
a 2.
2 ,   
El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen.
Se resuelve como una ecuación de primer
grado con una incógnita.
OJO. En estricto rigor la solución de la
ecuación debe estar en el siguiente
conjunto:
Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
x8 
x  8  1

x8
Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos
lados de la ecuación.
3 x 1
3 x
  1 
2
3 x
/
2

2
x  8  1 2 3  x  3  x
2
4  2 3 x
/

4  2 3 x
2

16  4 3  x 
16  12  4 x
1 x
2
Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
lados de la igualdad a 2.
El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen y en el otro
lado de la igualdad tengamos que realizar el
cuadrado de un binomio.
Debemos volver al paso i), raíz aislada y
elevamos al cuadrado ambos lados de la
igualdad.
Aquí en adelante la Ecuación Irracional se
transforma en una Ecuación de Primer Grado
con una Incógnita
Curiosidades
1)
2) Algoritmo para determinar una raíz.
1
2  1
1
2
1
2
2
1
2  ...
Links
http://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htm
http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.php
http://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327
Descargar

Raices