LA INTEGRAL DEFINIDA
b
Área 
 f dx
a
Autora: Mª Soledad Vega Fernández
Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II
Departamento de Matemáticas
Ed. Anaya
ÁREA DEL TRAPECIO MIXTILÍNEO
Si f es una función continua y positiva en el intervalo [a,b]:
In
 S
n  
I (f , P )    x i  x i 1  · m i
Área  lím
n
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I (f , Pn )  lím S (f , Pn ) 
n
b
f
a
dx
ÁREA DEL TRAPECIO MIXTILÍNEO
Si f es una función continua y positiva en el intervalo [a,b]:
S (f , P )    x i  x i  1  · M i
Área  lím
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n
I (f , Pn )  lím S (f , Pn ) 
n
b
f
a
dx
SIGNO DE LA INTEGRAL
a
b
-
+
b
Área   f dx
b
a
Área   f dx
a
+
c
Área   f dx 
a
b
 f dx
c
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-
INTEGRAL DEFINIDA: PROPIEDADES
b
c
b
1 .  f dx   f dx 
a
a
 f dx
c
a
2 . Si a  b ,
 f dx
0
a
b
a
3 .  f dx    f dx
a
b
b
b
4 .  f  g  dx   f dx 
a
a
b
 g dx
a
b
b
a
a
5 .  K · f  dx  K ·  f dx
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TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL
Si f es una función continua en [a,b], existe
un punto c en el interior de este intervalo
tal que:
b
 f ( x ) dx
M
a
f(c)
m
a
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c
b
 ( b  a ) · f (c )
DEMOSTRACIÓN
M
Sabemos que:
b
(b-a) · m   f ( x ) dx 
(b-a) · M
a
m
a
c
Si dividimos entre b-a quedará:
b

m
1
b a
b
·  f ( x ) dx 
M
a
Al ser f continua, toma todos los valores comprendidos entre el mínimo
(m) y el máximo (M).
Luego existe un punto c  ]a,b[ tal que :
Despejando:
b a
b
·  f ( x ) dx
a
b
 f ( x ) dx
a
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f (c ) 
1
 ( b  a ) · f (c )
c.q.d.
FUNCIÓN INTEGRAL
Si f es integrable en [a,b], podemos calcular:
y=f(x)
x
 f (t ) dt
 x  [a, b ]
a
a
Tenemos así una función : x
x
b
x
F
 f (t ) dt
a
x
Esta función, F(x) =
 f (t ) dt
, se llama FUNCIÓN INTEGRAL
a
b
• F(a) = 0
•F(b) =  f ( t ) dt
a
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•Si f(x)>0  x, F(x) = Área de:
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Sea f continua en [a,b]. Si x

[a,b] y
x
F ( x )   f ( t ) dt
a
Entonces:
F es derivable y F´(x) = f(x)
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 x  a , b 
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
x
x+h
x
x+h
Demostración:
x h
F ´( x ) 
lím
F (x  h)  F (x )

h
h0
 f (t ) dt
lím
lím
h0
h
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
lím
h0
 f (t ) dt
 f (t ) dt

a
lím
h
h0
h · f (c )

a
Y, por el Teorema del Valor Medio:

x h
x
h0
 c  ]x , x  h[
f (c )  f ( x )
/:
c.q.d.
x
h
REGLA DE BARROW
Sea f una función continua en [a,b],
y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b];
entonces:

b
f ( x ) dx  F ( b )  F ( a )
a
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CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
y  x 2
2
-2
b
Área 
 f dx
a
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CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
6
b
Área 
 f
a
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 g  dx
CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
Área 
c
b
f
f
a
dx 
b
dx
c
Área 

a
b
f dx 
 g dx
a
c
Área 
 f
a
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 g  dx 
b
 h  g  dx
c
CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
y  x 2x
2
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CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
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