PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
Universidad Técnica
Particular de Loja
Escuela de Electrónica
y Telecomunicaciones
Carlos Carrión Betancourth
EQBYTE.INC
[email protected]
Presentación
• Objetivo general
Entender la introducción a los filtros digitales FIR a través del
aprendizaje de los filtros Moving Average (Promedio Móvil)
• Temática
 Filtros Moving Average e introducción a filtros digitales FIR.
• Metodología
Presentación general de la temática, discusión del tema por parte
de los estudiantes, realizar un laboratorio en software de Matlab, y
una introducción a herramientas de diseño hardware.
Contenido de la presentación
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Introducción a Moving Average (MA).
Ejemplo de un sistema promediador.
Filtro MA implementación por la Convolución.
La respuesta al impulso.
Reducción del ruido por MA.
Respuesta en frecuencia de un filtro MA.
Filtros relacionados a MA.
Filtros MA recursivos.
Introducción a Moving Average (MA).
• El MA es el filtro más común en DSP,
especialmente porque es el filtro más fácil
de entender y utilizar (Smith, 1999).
• Es un filtro óptimo para tareas comunes:
– Reducir ruido aleatorio, mientras mantiene la
forma de respuesta en escalón.
• Es el principal filtro para señales
codificadas en el dominio del tiempo.
Introducción a Moving Average (MA).
• Aunque el filtro MA sea uno de los “campeones”
en el filtrado de señales codificadas en el dominio
del tiempo, este es uno de los peores filtros para
trabajar con señales codificadas en el dominio de
la frecuencia.
• El filtro MA tiene poquísima capacidad para
separar bandas de frecuencia (Smith, 1999).
• Entre los principales MA tenemos Gausianos,
Blackman y MA de múltiples etapas.
Contenido de la presentación
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Introducción a Moving Average (MA).
Ejemplo de un sistema promediador.
Filtro MA implementación por la Convolución.
La respuesta al impulso.
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Reducción del ruido por MA.
Respuesta en frecuencia de un filtro MA.
Filtros relacionados a MA.
Filtros MA recursivos.
Ejemplo de un sistema promediador (Lyons,2004)
• Si tenemos un sistema que esta contando
el número de autos que pasan sobre un
puente en cada minuto, y necesitamos
saber el número promedio de autos por
minuto en intervalos de cinco minutos. Si el
resultado de nuestro sistema contador para
los primeros 10 minutos son los valores que
se muestra en la siguiente tabla:
Ejemplo de un sistema promediador (Lyons,2004)
Minutos
Número de autos/minuto
sobre el último minuto
Número de autos/minuto
promediados sobre los
últimos cinco minutos
1
10
-
2
22
-
3
24
-
4
42
-
5
37
27
6
77
40.4
7
89
53.8
8
22
53.4
9
63
57.6
10
9
52
Ejemplo de un sistema promediador (Lyons,2004)
• El número promedio de autos/minuto sobre los últimos
cinco minutos previos se muestran en la parte derecha de
la tabla
• Matemáticamente:
– (10+22+24+42+37) / 5 = 27
– (22+24+42+37+77) / 5 = 40.5
–…
• En general para este caso, si la kth muestra de entrada es
x(k), entonces la enecima salida es:
Ejemplo de un sistema promediador (Lyons,2004)
Ejemplo de un sistema promediador (Lyons,2004)
Ejemplo de un sistema promediador (Lyons,2004)
• Conclusiones importantes:
– En la gráfica anterior podemos ver la línea azul como la señal de entrada,
con cambios repentinos en la secuencia de datos. Las transiciones
repentinas en la secuencia del tiempo representan componentes de alta
frecuencia.
– En la misma gráfica se puede apreciar los valores promediados a través
de la línea en rojo, la cual tiene un trazo más suave. De ahí se puede
deducir que este filtro simple MA es un filtro del tipo pasa - bajos.
– Aunque se trate en si de un filtro FIR pasa-bajos, este no trabaja bien en
la separación de frecuencias, veremos más adelante que la respuesta en
frecuencia de un filtro MA tiene un roll-off lento y la atenuación en la
banda de rechazo es insignificante.
Contenido de la presentación
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Introducción a Moving Average (MA).
Ejemplo de un sistema promediador.
Filtro MA implementación por la Convolución.
La respuesta al impulso.
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Reducción del ruido por MA.
Respuesta en frecuencia de un filtro MA.
Filtros relacionados a MA.
Filtros MA recursivos.
Filtro MA implementación por Convolución
Ya revisamos un breve ejemplo de esta clase filtro, el cual como su
nombre lo implica, opera haciendo un promedio a un número de
puntos de la señal de entrada para producir cada punto en la señal de
salida. En forma de ecuación, tenemos:
Filtro MA implementación por Convolución
Por ejemplo, en un filtro MA de 5 puntos, el punto 80 en la señal de
salida esta dado (Smith, 1999):
Como una alternativa, el grupo de puntos de la señal de entrada se
puede elegir simétricamente alrededor del punto de salida:
Filtro MA implementación por Convolución
Basándonos en el primer ejemplo del promedio de autos, se
presentará el diagrama de bloques, para formalizar la naturaleza del
filtro digital. Ponemos la ecuación y el diagrama de bloques como:
Filtro MA implementación por Convolución
Podemos reescribir la ecuación anterior, para obtener este resultado
equivalente:
Filtro MA implementación por Convolución
Filtro MA implementación por Convolución
Repitiendo la ecuación que describe los diagramas anteriores, y
eliminando el subíndice en el término de salida tenemos:
Ya que en el futuro trataremos con filtros cuyos coeficientes no son
siempre los mismos, representaremos los valores individuales de los
coeficientes por una variable, un término como h(k), por ejemplo:
En forma más general tenemos:
Filtro MA implementación por Convolución
En forma general podemos decir que para un filtro FIR de Mponderaciones (M-tap FIR filter), la nth salida esta dada por:
Como podemos darnos cuenta la ecuación anterior, es la tan famosa
Convolución, las misma que se esta aplicando en este caso a los
filtros digitales FIR.
Contenido de la presentación
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Introducción a Moving Average (MA).
Ejemplo de un sistema promediador.
Filtro MA implementación por la Convolución.
La respuesta al impulso.
Reducción del ruido.
Respuesta en frecuencia de un filtro MA.
Filtros relacionados a MA.
Filtros MA recursivos.
La respuesta al impulso.
Vamos a introducirnos un poco más
profundo a un término que tenemos que
tener en mente, la respuesta al impulso. La
respuesta al impulso de un filtro es
exactamente lo que su nombre implica – Es
la secuencia de salida del filtro en el
dominio del tiempo cuando la entrada es
una sola muestra de valor unitario (un
impulso) precedida y seguida de muestras
de valor cero.
La respuesta al impulso
Contenido de la presentación
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Introducción a Moving Average (MA).
Ejemplo de un sistema promediador.
Filtro MA implementación por la Convolución.
La respuesta al impulso.
Reducción del ruido por MA.
Respuesta en frecuencia de un filtro MA.
Filtros relacionados a MA.
Filtros MA recursivos.
Reducción del ruido por MA
• El filtro MA es óptimo para la reducción de ruido aleatorio
mientras mantiene la forma de onda de la señal original
(respuesta al escalón).
• La cantidad que se reduce el ruido es igual a la raíz
cuadrada del número de puntos en promedio. Por ejemplo,
un filtro MA de 100 puntos reduce el ruido en un factor de
10
• Este filtro es ideal para reducir el ruido, porque no hay que
preocuparnos mucho por los coeficientes que vamos a
introducir (recordar que un filtro MA los coeficientes son
iguales), ya que al ser una señal aleatoria es inútil hacer
un tratamiento especial a los puntos de entrada.
Reducción del ruido por MA
Contenido de la presentación
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Introducción a Moving Average (MA).
Ejemplo de un sistema promediador.
Filtro MA implementación por la Convolución.
La respuesta al impulso.
Reducción del ruido por MA.
Respuesta en frecuencia de un filtro MA.
Filtros relacionados a MA.
Filtros MA recursivos.
Respuesta en frecuencia de un filtro MA.
La respuesta en frecuencia de un filtro MA,
está matemáticamente descrita por la
transformada de Fourier de un pulso
rectangular:
Respuesta en frecuencia de un filtro MA.
Respuesta en frecuencia de un filtro MA.
Del gráfico anterior se puede desprender que esta clase
de filtro tiene un roll-off bastante lento, además podemos
darnos cuenta que la atenuación en la banda de rechazo
no es muy buena.
Aunque se trate de un filtro de tipo pasa-bajos no es
recomendado para separar bandas de frecuencia.
Al no ser recomendado para separar bandas de
frecuencia, este filtro por el contrario es ideal para la
suavización de señales en el dominio del tiempo.
Contenido de la presentación
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Introducción a Moving Average (MA).
Ejemplo de un sistema promediador.
Filtro MA implementación por la Convolución.
La respuesta al impulso.
Reducción del ruido por MA.
Respuesta en frecuencia de un filtro MA.
Filtros relacionados a MA.
Filtros MA recursivos.
Filtros relacionados a MA.
• En un mundo perfecto, solo tendríamos que
lidiar con señales codificadas en tiempo o
en frecuencia.
• Pero hay aplicaciones
dominios son importantes.
• Ej: Señales de Televisión
donde
ambos
Filtros relacionados a MA.
• Para tratar con estos problemas se han
diseñados filtros de promedio móvil de
múltiples pasadas.
• Consisten en pasar la señal por dos o más
filtros de promedio móvil.
• Después de 4 o más pasadas, el filtro se
convierte en un Gausiano.
Filtros relacionados a MA.
Filtros relacionados a MA.
• Estos filtros son mejores que el promedio
móvil en tres aspectos:
– Mejor atenuación de banda de corte.
– Sus extremos disminuyen lentamente.
– La respuesta a escalera es mas suave.
• La primera es importante, las dos siguientes
no tanto.
Filtros relacionados a MA.
• La principal diferencia es el tiempo de
ejecución del algoritmo.
• Usando un algoritmo recursivo el filtro del
promedio móvil se calcula muy rápidamente
en una computadora.
• Es el filtro más rápido existente.
Filtros relacionados a MA.
• Si usamos filtros Gauss o Blackman se
debe realizar una Convolución que es
mucho más lenta.
• Un filtro de 100 puntos que usa Gauss es
1000 veces más lento que uno de promedio
móvil.
Contenido de la presentación
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Introducción a Moving Average (MA).
Ejemplo de un sistema promediador.
Filtro MA implementación por la Convolución.
La respuesta al impulso.
Reducción del ruido por MA.
Respuesta en frecuencia de un filtro MA.
Filtros relacionados a MA.
Filtros MA recursivos.
Filtros MA recursivos.
• Imagine pasar una señal x[] a través de un
filtro de promedio móvil para formar una
señal de salida y[].
Filtros MA recursivos.
• Son aproximadamente los mismos cálculos.
• Una manera más eficiente de realizarla
sería:
• Donde:
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