Repaso y minutas para la
practica
PV  NkT

 
5
10
4
9
C
5
3
Esto vale en un gas
monoatomico.
Pregunta, difícil: ¿Para
un gas diatomico,
cuanto valdra gama?
Existe alguna
restriccion para gama
Presion
PV
Distintos cortes de la misma ecuación:
I. Compresión adiabática
8
3
7
2
6
1
0
0
5
5
Volumen
10
4
Constantes y variables: El ejercicio (a veces difícil) de
saber que depende de que …
W 
4
Presion
3

PV  NkT  P  const 
1
 P  f (V )
V
W 
 pdV   NkT
2
1
0
0
P  dV
5
Volumen
10
dV
V
 NkT ln(
Vb
Va
)
El experimento de Joule
¿Cuál es el balance de
energía?
¿Cambia el volumen?¿La
presión?¿La
temperatura?
¿El proceso es
reversible?
Presión del vapor es
menor que la presión de
equilibrio
Presión de vapor en
equilibrio es función de
la temperatura.
Simulaciones
IV.
Maquinas reversibles, Carnot, y
las leyes de la termodinamica.
3 ) La génesis de las ideas fundamentales:
Relacion entre calor y trabajo – reversibilidad...
Sadi Carnot (1824)
Es imposible que un sistema pueda
extraer energía en forma de calor de
una sola fuente térmica y convertirla
completamente en trabajo sin que se
Kelvin’s way produzcan cambios netos en el sistema
o en el medio que lo rodea.
Es imposible un proceso cuyo único
resultado sea transferir energía en
forma de calor de un objeto a otro mas
caliente.
Clausius
Es imposible que una maquina térmica
funcione cíclicamente sin producir
ningún otro efecto que extraer calor de
un solo foco realizando una cantidad de
A la Carnot trabajo exactamente equivalente.
Es imposible que un sistema pueda
extraer energía en forma de calor de
una sola fuente térmica y convertirla
completamente en trabajo sin que se
Kelvin’s way produzcan cambios netos en el sistema
o en el medio que lo rodea.
Q
Ergo, una cantidad pertinente
es la “eficiencia”
Clausius
Es imposible un proceso cuyo único
resultado sea transferir energía en
forma de calor de un objeto a otro mas
caliente.
W
LA MAQUINA DE CARNOT:
Entendiendo la segunda ley sin entender la primera.
(las mejores ideas “equivocadas” versión 1)
La producción de potencia motora (puissance motrice) en maquinas de
vapor no se debe al consumo de calórico sino a su transporte de una fuente
caliente a una fuente fría. Por analogía, cuanto mayor es la diferencia de
temperaturas mayor la eficiencia de la maquina. ¡Esto de hecho es cierto!
Presion
LA MAQUINA DE CARNOT:
La secuencia de ciclos
Volumen
Primer fase:
Expansión iso-termica a temperatura T1.
Se absorbe calor Q1 (del baño a T1) que se utilice para expandir el pistón.
Presion
LA MAQUINA DE CARNOT:
La secuencia de ciclos
Volumen
Segunda Fase:
Expansión adiabática. El gas se expande y la temperatura baja de T1 a T2.
El gas pierde energía interna que se convierte en trabajo mecánico.
Presion
LA MAQUINA DE CARNOT:
La secuencia de ciclos
Volumen
Tercer Fase:
Compresión isotermica. El gas se comprime temperatura T1.
El pistón entrega energía mecánica que es absorbida, en forma de calor por
el baño a temperatura T2.
Presion
LA MAQUINA DE CARNOT:
La secuencia de ciclos
Volumen
Cuarta Fase:
Compresión adiabática. El gas se comprime y la temperatura sube de T1 a
T2.
LA MAQUINA DE CARNOT:
La secuencia de ciclos
Presion
A
T1
T2
B
D
C
Volumen
Tres preguntas:
¿Cuál es el resultado del ciclo?
¿Esta maquina, puede operar al revés?
LA MAQUINA DE CARNOT:
El resultado de un ciclo
Presion
T1
T2
Volumen
El trabajo mecánico hecho por la maquina durante la fase de expansión.
LA MAQUINA DE CARNOT:
El resultado de un ciclo
El trabajo mecánico hecho por la
maquina durante el ciclo.
Presion
Q1
T1
T2
W=Q1-Q2
Q2
Volumen
El trabajo mecánico entregado a la maquina durante la compresión.
¿De donde sale la energía para realizar este trabajo? ¿Se viola la segunda ley?
LA MAQUINA DE CARNOT ES
REVERSIBLE. PUEDE FUNCIONAR AL
REVES
T1
T1
Q1
Q1
W
Q2
W
Q2
T2
El motor de Carnot
T2
La heladera de Carnot
LA MAQUINA DE CARNOT:
El resultado de un ciclo
Expansión
Isoterma
Expansión
Adiabatica
Compresión
Isoterma
Compresion
Adiabatica
W
Q1
T1
Q2
T2
Idealmente (en la situación de “eficiencia” máxima)
todo el calor de la fuente caliente es convertido en
trabajo. Se define entonces eficiencia como:
 
W
Q1
(es menor que 1 – cuanto mas
cercano a 1, mayor conversión
del calor de la fuente caliente a
trabajo)
Pregunta practica pertinente (que fue de hecho la motivación
de Carnot): ¿qué determina la eficiencia?
LA MAQUINA DE CARNOT:
Calculando la relación entre calor y trabajo
Presion
A
Q1 
 pdV   NkT
dV
1
 NkT 1 ln(
V
Vb
)
Va
B
T1V b
 T 2V c
 1
Q1
T1
D
C
Volumen
 1

Q2
T2
bbb
ccc
Para una maquina de Carnot operando en un gas
ideal, puede calcularse explícitamente la relación
entre calor y temperatura.
Q1
Q2

T1
T2
W
Q1
Q2
T1
T2
Si esta maquina es una maquina de Carnot operando
en un gas ideal, entonces:
 
W
Q1

Q1  Q 2
Q1
 1
Q2
Q1
Definición, vale siempre,
simplemente reordenar términos
 1
T2
T1
Vale, según acabamos
de “probar” para una
maquina de Carnot
opearndo en un gas
ideal.
W
Q1
Q2
T1
T2
De hecho, para cualquier maquina reversible, se tiene
que:
Q1
T1

Q2
T2
 
W
Q1
 1
T2
T1
Este es uno de los resultados mas RESPUESTA A LA PREGUNTA DE
fuertes de la termodinámica (EL
CARNOT:
CENTRO DEL UNIVERSO
LA EFICIENCIA QUEDA
TERMODINAMICO – SEGUN
DETERMINADA POR EL
FEYNMAN).
COCIENTE DE TEMPERATURAS!
V
Demostraciones termodinámicas por
composiciones (lógicas) de Maquinas de
Carnot.
+
El motor y la
heladera de Carnot
=...
Álgebra de maquinas
de Carnot
T1
Q
Q1
Q1
-Q
W
Q
=
W=Q1-Q
Q
T2
Supongamos que C no se cumple, es decir que existe una heladera
que no consume trabajo
Clausius
Kelvin’s way
¿Existe alguna relación entre los calores absorbidos y entregados
por dos maquinas trabajando a iguales temperaturas?
T1
T1
Q1(a)
Q1(b)
Wa
Wb
Q2(b)
Q2(a)
T2
Si A y B son maquinas de Carnot
operando con gases ideales
entonces ...
T2
Q1 ( a )
Q2 (a )
???
Q1 ( b )
Q 2 (b )
¿Existe alguna relación entre los calores absorbidos y
entregados por las dos maquinas?
T1
T1
Q1(a)
Q1(b)
Wa
Wb
Q2(b)
Q2(a)
T2
Si A es reversible entonces
T2
Q1 ( a )
Q2 (a )
???
Q1 ( b )
Q 2 (b )
¿Existe alguna relación entre los calores absorbidos y
entregados por las dos maquinas?
T1
T1
Q1(a)
Q1(b)
Wa
Wb
Q2(b)
Q2(a)
T2
A es una Maquina Reversible
T2
(4 vueltas)
Q1(b) Ciclos
(de refrigeracion de A)
(5 vueltas)
Q1(a) Ciclos
(de motor de B)
T1
T1
Q1(a)
5 Joules
4 Joules
Q1(b)
Wa
Wb
Q2(b)
Q2(a)
T2
T2
¿cómo hacer para que opere a una unica temperatura... Para
luego usar algun argumento de la ley C”
Q1(b) Ciclos
Q1(a) Ciclos
(de refrigeracion de A) (de motor de B)
T1
T1
Q1(a)
Q1(b)
Wa
?
Q2(b)
Q2(a)
T2
T2
Q1(b)*Q2(a)
Wb
+
Q2(b)*Q1(a)
¿cuál es el resultado de esta maquina compuesta?
¿qué podemos decir de esto?
T1
Q1 ( b )  Q 2 ( a )  Q 2 ( b )  Q1 ( a )
?
Q1 ( b )
Q 2 (b ) 
T2
Q1(b)*Q2(a)
Tienen que ser iguales (por
primera ley) y en este sentido
(por segunda)
+
Q2(b)*Q1(a)

Q1 ( a )
Q2 (a )
Ninguna maquina es
mas eficiente que
una maquina
reversible.
Q1 ( b )
Q 2 (b )

Q1 ( a )
Q2 (a )
Jugando el mismo juego al reves (si ahora la maquina B es reversible) se
tiene que, si ambas son reversibles entonces
Q1 ( b )

Q 2 (b )
Q1 ( a )
 f (T 1, T 2 )
Q2 (a )
Es decir que el cociente de calores (y por ende la eficiencia...) es solo una
funcion de la temperatura, para cualquier maquina reversible.
¿¿qué funcion de la temperatura??
Q1
Q2
 ¿¿ cos(
3
log( T1  T 2 ) ??
Q1
 ¿¿ cos(
Q2
3
log( T1  T 2 ) ??
El ultimo paso hacia “el centro del universo termodinámico” es mostrar
que esta función ex exactamente T1/T2 y que por lo tanto, tal como ya
habiamos visto para el caso de los gases ideales, es cierto que para
cualquier maquina reversible:
Q1
Q2

T1
T2
Independientemente de los infinitos elementos que puedan distinguir a
todas las maquinas reversibles. Carnot descansa en paz.
T1
T1
Q1
Q1
W’’
W
Sabemos que:
Q1
 f (T 1, T 2 )
Q2
Q2
T2
T2
Q2
W’
Q0
Q0
Q2
 f (T 1, T 0 )
 f (T 2 , T 0 )
Q0
Q0
T0
Q1
Q1
T0
Q2
f (T 1, T 2 ) 
f (T 1, T 0 )
f (T 2 , T 0 )
f (T 1, T 2 ) 
 (T 1)
 (T 2 )
f (T 1, T 2 ) 
T1
T2
 f (T 1, T 2 )
Q1
Q2

T1
T2
W
Q1
Q2
T1
T2
De hecho, para cualquier maquina reversible, se tiene
que:
Q1
T1

Q2
T2
 
W
Q1
 1
T2
T1
Este es uno de los resultados mas RESPUESTA A LA PREGUNTA DE
fuertes de la termodinámica (EL
CARNOT:
CENTRO DEL UNIVERSO
LA EFICIENCIA QUEDA
TERMODINAMICO – SEGUN
DETERMINADA POR EL
FEYNMAN).
COCIENTE DE TEMPERATURAS!
Ejercitando la segunda ley
Pensando el equilibrio y la
reversibilidad
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Que todo sea lento ... Que no hayan cambios abruptos ...
Estar todo el tiempo en equilibrio ... Que corresponda a un
punto bien definido en el plano P,V ... Que no haya fricción
...
Que pueda volver ¿Por donde? ¿por qué tiene que ser por
el mismo camino? ¿tiene que ser por el mismo camino?
Empecemos por la mecánica, que es mas sencillo.
Mi ejemplo favorito.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa
apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 1:
Polea con contrapeso de la misma masa. Velocidad inicial
(pequeña), viscosidad del aire y de las poleas despreciables.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa
apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 1:
Polea con contrapeso de la misma masa. Velocidad inicial
(pequeña), viscosidad del aire y de las poleas despreciables.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa
apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 2:
Bungee jumping con un resorte que se frena justo en el piso y
un gancho que ahí la sostiene.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa
apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 2:
Bungee jumping con un resorte que se frena justo en el piso y
un gancho que ahí la sostiene.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa
apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 3:
Caída libre.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa
apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 3:
Caída libre.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa
apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 3:
Caída libre.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa
apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 4: La gran Charly.
Salto a la pileta, la masa se frena por rozamiento con el agua.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa
apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 4: La gran Charly.
Salto a la pileta, la masa se frena por rozamiento con el agua.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
¿cuáles son reversibles? ¿Según que noción de reversibilidad?
¿cuál es la primer version termodinámica de este asunto?
“Fricción Térmica”: Dos experimentos de transferencia de calor de una fuente
caliente a una fuente fría
T1
Q1
W
Q2
T1
T1-x
T2
T1+x
T2
REVERSIBILIDAD COMO UN PROBLEMA DE CONSERVACION: ¿DE QUE?
SOLUCION (A CASI TODOS LOS PROBLEMAS): ENTROPIA
Entrega de energía cinética
(ordenada)
El experimento arquetípico, versión 1:
La expansión isotérmica de un pistón
W
Q
EL RESULTADO NETO ES:
El medio entrego calor.
El pistón genero trabajo (Q=W) E se conserva
El gas se expandió (aumento la entropía)
Podemos utilizar el trabajo generador para
“reinstalar el orden”, comprimiendo el gas
El experimento arquetípico, versión 1:
Expansion irreversible
El experimento arquetípico, versión 1:
Expansion irreversible:
En este momento P no cambia, T no cambia y V cambio, el gas no esta en equilibrio
El experimento arquetípico, versión 1:
Expansión irreversible
Energia ordenada:
EL RESULTADO NETO ES:
Este orden se pierde
sin ganar nada a
cambio
El gas se expandió (aumento la entropía)
No hubo intercambio de energía. No hubo paso de
calor a trabajo que permita restaura el orden.
La entropía de todo este proceso no se conserva.
De Carnot a la entropia y de ahí
a Boltzman
W
Q1
Q2
T1
T2
De hecho, para cualquier maquina reversible, se tiene
que:
Q1
T1

Q2
T2
 
W
Q1
 1
T2
T1
Este es uno de los resultados mas RESPUESTA A LA PREGUNTA DE
fuertes de la termodinámica (EL
CARNOT:
CENTRO DEL UNIVERSO
LA EFICIENCIA QUEDA
TERMODINAMICO – SEGUN
DETERMINADA POR EL
FEYNMAN).
COCIENTE DE TEMPERATURAS!
LA MAQUINA DE CARNOT ES
REVERSIBLE. PUEDE FUNCIONAR AL
REVES
En este ciclo Q1-Q2=W y por ende, se
conserva la cantidad
T1
Q  W
Q1
W
Esto es la primer ley y nos dice que la
energía se conserva.
¿Se conserva alguna otra cantidad?
Q2
Q1
T2
El motor de Carnot
T1

Q2
  (Q / T )  0
T2
Estamos en camino a la conservación de la entropía
T1
Q1
Q1
T1

Poniendole signo (aquí no
queda a otra) a los calores
según su sentido:
Positivo – Calor entregado
a la maquina.
Negativo – Calor que vierte
la maquina al medio (que
pierde, que ensucia…)
Q2
T2
W
Q1
Q2
T1

 Q2
0
T2
T2
De hecho (con una demostracion
muy parecida a las anteriores,
puede probarse que)
Para un ciclo reversible que
intercambia calores q(i) con
temperaturas Ti se tiene:

Qi
i
Ti
0
T1
Q1
Q1

T1
Q2
T2
W
Q1
Q2
T1

 Q2
0
Poniendole signo (aquí no
queda a otra) a los calores
según su sentido:
Positivo – Calor entregado
a la maquina.
Negativo – Calor que vierte
la maquina al medio (que
pierde, que ensucia…)
T2
T2
T1
¿Y si la maquina
no fuese
reversible?
Q1
W* Q2*>Q2
W*>W
Q2*
T2
Q1
T1

 Q2
T2
0
S 
Q
S 
T1
T2
Q1
¿cuánto aumenta
la entropía si
inyecto calor Q1?
Q
Q1

Desordenar (calentar) un cuarto (gas) limpio (a baja temperatura) aumenta
mas el desorden del mundo (la entropia) que desordenar un cuarto que ya
estaba desordenado.
SI HAY FRICCION Y POR ENDE
CONVERSION DE ENERGIA
MECANICA A CALOR
S 
Q
0
T1
SI DOS FUENTES TERMICAS A
TEMPERATURAS DISTINTAS SE
PONEN EN CONTACTO
T1
Pierde Entropía
Q
T2
Gana Entropía
S 
Q
T2

Q
T1
0
T1
Igual que antes, esto puede
generalizarse a:
Q1
W
Q2
T2
Donde la igualdad vale solo si el
ciclo es reversible.

Qi
i
Ti
0
Tres diapos difíciles, tres.
B1
P

A1
dQ
A2

T

B2
dQ
T


dQ
0
T
B
C1
B1
C2

A
A1
dQ
T
A2


B2
dQ
T
B2


A2
V
B
Ergo – el cambio de

A
dQ
T
a lo largo de cualquier camino
reversible que une A y B, es el
mismo.
dQ
T
P
Esto permite definir la
entropía como la
diferencia de
p
p
S(p)=

B

A
dQ
T
Entre un punto de
referencia (0) y
cualquier estado
termodinámico.
dQ
0
T
0
V
B
Ergo – el cambio de

A
dQ
T
a lo largo de cualquier camino
reversible que une A y B, es el
mismo.
B
P
S(B)-S(A)>
I
A
¿Si el sistema
es cerrado?
dQ
dQ=0
S(B)>S(A)
T
La entropia de un
sistema cerrado
aumenta
B
S(B)-S(A)=
dQ
R T
A
Enrico Fermi
(Capitulo de Entropía)
0
V
B
Ergo – el cambio de

A
dQ
T
a lo largo de cualquier camino
reversible que une A y B, es el
mismo.
dS 
dQ
T
En un gas ideal, esta ecuación puede integrarse y el
resultado es bastante ilustrativo.


1
S  Nk  ln( V ) 
ln tT )   a
(   1)


¿qué pasa con la entropía si se quita el separador?
Un brevísimo racconto sobre
entropía e información.
Claude Shannon
Ludwig Boltzmann
Entropía y volumen: Otro puente entre lo microscópico y lo macroscopico
¿Cuál esta mas ordenado? ¿qué es orden?
¿Cuál esta mas ordenado? ¿cuál mas probable?
(y siguen...)
Todos los:
“Cuatro Seis”
Todos los: “Un uno, un
dos, un tres un cuatro”
Intuición del “desorden”: El estado macroscópico mas probable.
S  S 1  S 2  f ( p1 )  f ( p 2 )  f ( p1  p 2 )
La entropia es aditiva
y las probabilidades
multiplicativas
Cantidad de microestados
combinaciones compatibles
con un estado macroscopico
150
Hipótesis
S=f(p)
100
f ( p )  k  ln( p )  S
50
0
0
5
10
15
20
25
Suma de 4 dados (“Estado termondinamico”)
¿Cuál esta mas ordenado? ¿cuál mas probable?
La tumba de Ludwig, en Viena
Segundo ejemplo trivial, otra motivación del logaritmo (Versión grafica)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
x > 16
x > 8 (mod 16)
x > 4 (mod 8)
x > 2 (mod 4)
x > 0 (mod 2)
Incerteza es:
log(32)=5.
25
26
27
28
29
30
31
32
Segundo ejemplo trivial, otra motivación del logaritmo (Versión grafica)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
x > 16
x > 8 (mod 16)
x > 4 (mod 8)
x > 2 (mod 4)
x > 0 (mod 2)
Incerteza es:
log(16)=4.
25
26
27
28
29
30
31
32
Segundo ejemplo trivial, otra motivación del logaritmo (Versión grafica)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
x > 16
x > 8 (mod 16)
x > 4 (mod 8)
x > 2 (mod 4)
x > 0 (mod 2)
Incerteza es:
log(8)=3.
25
26
27
28
29
30
31
32
Segundo ejemplo trivial, otra motivación del logaritmo (Versión grafica)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
x > 16
x > 8 (mod 16)
x > 4 (mod 8)
x > 2 (mod 4)
x > 0 (mod 2)
Incerteza es:
log(4)=2.
25
26
27
28
29
30
31
32
Segundo ejemplo trivial, otra motivación del logaritmo (Versión grafica)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
x > 16
x > 8 (mod 16)
x > 4 (mod 8)
x > 2 (mod 4)
x > 0 (mod 2)
Incerteza es:
log(2)=1.
25
26
27
28
29
30
31
32
Segundo ejemplo trivial, otra motivación del logaritmo (Versión grafica)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
x > 16
x > 8 (mod 16)
x > 4 (mod 8)
x > 2 (mod 4)
x > 0 (mod 2)
Incerteza es:
log(1)=0.
25
26
27
28
29
30
31
32
Segundo ejemplo trivial, otra motivación del logaritmo (Versión grafica)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
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19
20
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22
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25
26
27
28
29
30
31
32
x > 16
x > 8 (mod 16)
x > 4 (mod 8)
x > 2 (mod 4)
x > 0 (mod 2)
Cada una de
estas
dos preguntas
tenia probabilidad
½ de cada
respuesta (divide
el espacio de
posibilidades en
dos)
Segundo ejemplo trivial, otra motivación del logaritmo (Versión grafica)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Incerteza: 5 bits
x > 16
x={1,2,3,4}
4 bits
SI
(Afortunado)
2 bits
Segundo ejemplo trivial, otra motivación del logaritmo (Versión grafica)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
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21
22
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24
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26
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28
29
30
31
32
¿Cual es la incerteza esperada luego de haber
hecho el experimento?
I(r1)*p(r1)+I(r2)*p(r2)=sum(-p*log(p))
2*(1/8)+4.8*(7/8) = 4.45 > 4
Incerteza: 5 bits
x > 16
x={1,2,3,4}
4 bits
SI
NO
(Afortunado)
2 bits
log(28)
4.8 bits
Taken “as is” from MacKay
Algunas funciones clásicas
7
6
5
-log(p)
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
El contenido de informacion de Shannon de un
evento con probabilidad x.
La informacion diverge a medida que la
probabilidad de x se acerca a 0.
Algunas funciones clásicas
0.7
0.6
0.5
-p*log(p)
+
-(1-p)*log((1-p))
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
LA ENTROPIA: El valor esperado de la
información en un ensamble de dos elementos
con probabilidad p y 1-p. LA ENTROPIA ES
MAXIMA CUANDO p=1/N., cuando todos los
elementos de X son equiprobables.
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IV. Maquinas reversibles, Carnot, y las leyes de la