La comunicación y el lenguaje matemático
Abraham Arcavi
Departamento de Enseñanza de las Ciencias
Instituto Científico Weizmann
Rehovot - Israel
1. Lenguaje matemático  lenguajes matemáticos
2. Lenguajes y comunicación
3. Reflexiones
4. Desde secundaria y bachillerato
Comunicabilidad
• despeja
• general
• preciso
• conciso
• estético
1.1a x 0.9b = 0.99ab
3x  5  4x
2x  3  2
4x  6
2x  3  2
4x  6
2x + 3 = 2(4x + 6)
2x + 3 = 8x + 12
x = -1.5
-9 = 6x
Elijamos un numero impar cualquiera, elevémoslo al
cuadrado, restemos 1 al resultado. ¿Qué propiedades
tienen los números obtenidos?
4 n ( n  1)
( 2 n  1)  1
2
4n  4n
2
n ( n  1)
[ n ( n  1)]  8[
]
2
2
8
n
n 1
2
( n  1)( n  1)
Elijamos un numero impar cualquiera, elevémoslo al
cuadrado, restemos 1 al resultado. ¿Qué propiedades
tienen los números obtenidos?
¿Cómo introducir el lenguaje algebraico para
que éste mantenga una contigüidad con
nuestro sentido común?
um novo olhar
“Pensé
en un número, lo multipliqué por 3.
Le resté 10 y me dió 5”.
“Pensé en un número, lo multipliqué por 3.
Le resté 16 al resultado, y me dió el
número que había pensado.”
Solución verbal
Solución escrita
2
3
4
5
6
1 1 1 1 1
                ... 
4 4 4 4 4 4
1
2
3
4
5
6
1 1 1 1 1
                ... 
4 4 4 4 4 4
1

0<q<1,
 aq
n0
n

a
1 q
aq
1
4
1
4  1
3
3
4
2
3
4
5
6
1
1 1 1 1 1
                ... 
3
4 4 4 4 4 4
1
2
4
3
5
6
1 1 1 1 1
                ... 
9 9 9 9 9 9
1

0<q<1,
 aq
n0
aq
1
9
n

a
1 q
1
9  1
8
8
9
2
3
4
5
6
1
1 1 1 1 1
                ... 
n 1
n n n n n n
1
2
3
4
5
6
1
1 1 1 1 1
                ... 
8
9 9 9 9 9 9
1
Tanton, J. (2008) Proofs without words: Geometric series formula, The College Mathematics Journal, 39(2), p. 106
2
3
4
5
m m m m m
             
n  n   n   n   n   n 
m
Transparencia ↑
Generalidad ↓
6
 ... 
Transparencia ↑
Generalidad ↓
um novo olhar - curriculum
Generalidad
La pendiente de una recta
y 2  y1
x 2  x1
(x2,y2)
(x1,y1)
“Transparencia” del lenguaje visual
Janvier, Claude (1981) "Use of situations in Mathematics Education" Educational Studies in Mathematics, 12(1), p113-22
“Transparencia” del lenguaje visual
Distracciones pictóricas
Interferencia de conocimiento anterior
“Opacidad” de los substratos conceptuales
Transparencia ↑
Generalidad ↓
“Preservar la cercanía” conceptual
¿Qué tienen en común todas las funciones lineales
en las que el parámetro que multiplica a la variable
es igual al término independiente?
f(x) = ax + a
f(x) = a(x+1)
f(-1) = 0
(0,a)
(0,a)
a
(0,a)
a
(0,a)
a
um novo olhar
Sucesión Aritmética
S 10  65
a 10  20
a1  ?
d ?
um novo olhar
¿Qué es necesario para resolver este problema?
- Conocimiento (o reconocimiento) de las fórmulas
S n  na 1 
n ( n  1)
2
A n  a 1  ( n  1) d
- Sustitución
65  10 a1  45 d
20  a1  9 d
- Resolución de sistema de ecuaciones
¿Qué matemática se aplica?
d
um novo olhar
Sucesión Aritmética
S 10  65
a 10  20
a1  ?
d ?
um novo olhar
um novo olhar
13
13
-7 ___,
-4
-1 ___,
2 ___,
5 ___,
8 11
17 20
___,
___,
___, 14
___, ___,
65
5 arcos son 65, por eso cada arco vale
 13
5
como cada arco vale 13 y el término 10 es 20, el
primero será igual a -7
los saltos son 9 de -7 a 20,
la distancia es 27
dividimos
27
9
3
La diferencia b=3
um novo olhar
¿Qué aprendemos de esta solución?
- Contenidos vs. enfoques de los contenidos
- Símbolos vs. uso del lenguaje cotidiano
- Significados (ideas matemáticas) vs. formalismos
- Rol de la visualización
- Visibilidad de los mecanismos de control
El tratamiento simbólico nos aleja de lo conceptual,
precisamente en eso reside su poder…
Pero, a veces, se torna engorroso, y su poder puede
disminuir en comparación con otros tratamientos…
El punto A está en el eje x, el punto B está en el
eje y. O(3,-1) es el punto medio del segmento
AB. Encuentra las coordenadas de A y B.
Distancia de A a O = Distancia de O a B
( x  3 )  ( 0  1) 
2
( 0  3 )  ( y  1)
2
2
2
Distancia de A a O = 1/2 de la distancia de A a B
( x  3 )  ( 0  1) 
2
2
1
2
( x  0)  ( y  0)
2
2
x0
3
2
y0
2
 1
de Guzmán, M. (1995). Para pensar mejor. Desarrollo de la creatividad a través de los procesos matemáticos.
Arcavi, A. (2006) “Lo acádemico y lo cotidiano en matemáticas” Números 63
Mostrar que si
a + b + c = 2
y
a – b + c = -1
ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.
Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”
Mostrar que si
a + b + c = 2
y
a – b + c = -1
ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.
Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”
Mostrar que si
a + b + c = 2
y
a – b + c = -1
ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.
f(x) = ax2 + bx +c
Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”
Mostrar que si
a + b + c = 2
f(1) > 0
y
a – b + c = -1
f(1) < 0
ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.
f(x) = ax2 + bx +c
Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”
Mostrar que si
a + b + c = 2
f(1) > 0
y
a – b + c = -1
f(1) < 0
ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.
f(x) = ax2 + bx +c
El tratamiento simbólico nos aleja de lo conceptual,
precisamente en eso reside su poder…
Pero, a veces, se torna engorroso, y su poder puede
disminuir en comparación con otros tratamientos…
Y aún cuando no sea engorroso, hay tratamientos
creativos, con mucha imaginación, no menos
elegantes y queremos darles lugar…
1
1
1
1
1
…
1
1
2
2
2
2
…
2
1
2
3
3
3
…
3
1
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4
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…
4
1
2
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4
5
…
5
…
…
…
…
…
…
…
1
2
3
4
5
…
N
Barbeau, E. (1997) Power play, Mathematical Association of America, Washington DC.
1
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1
1
1
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1
1
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2
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1
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N
1
1
1
1
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…
1
2
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5
…
N
1- Notamos la regularidad en cada “gnomon”
2- (1 + 2 + … + (k-1))x2 + k = k2
1
1
1
1
1
…
1
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2
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5
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…
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1
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4
5
…
N
Aspectos de la comunicación
de los distintos lenguajes
- Generalidad
1.1a x 0.9b = 0.99ab
Aspectos de la comunicación
de los distintos lenguajes
- Generalidad
- “Transparencia” (donde se “ve” mejor)
Aspectos de la comunicación
de los distintos lenguajes
- Generalidad
- “Transparencia” (donde se “ve” mejor)
- “Cercanía conceptual”
f(x) = ax + a
f(x) = a(x+1)
f(-1) = 0
Aspectos de la comunicación
de los distintos lenguajes
- Generalidad
- “Transparencia” (donde se “ve” mejor)
- “Cercanía conceptual”
- Eficiencia vs. tratamiento simbólico engorroso
Aspectos de la comunicación
de los distintos lenguajes
- Generalidad
- “Transparencia” (donde se “ve” mejor)
- “Cercanía conceptual”
- Eficiencia vs. tratamiento simbólico engorroso
- Soluciones alternativas, riqueza y creatividad
Aspectos de la comunicación
de los distintos lenguajes
- Generalidad
- “Transparencia” (donde se “ve” mejor)
- “Cercanía conceptual”
- Eficiencia, rapidez vs. torpeza simbólica
- Soluciones alternativas, riqueza y creatividad
¿Qué podemos hacer?
• Reducir el autoritarianismo
Autoritarismo
Augustus De Morgan
Siglo XIX
“En el año x2
mi edad era x”
Autoritarismo
Catalina, La Grande
(1729-1796)
Leonhard Euler (1707-1783)
Denis Diderot (1713-1784)
Autoritarismo
!Monsieur “
a  bn  x
n
Donc Dieu existe,
Repondez!”
Autoritarismo
“Diderot, to whom algebra was Hebrew, was
embarrassed and disconcerted; …
He asked permission to return to France at once,
which was granted”
De Morgan, A Budget of Paradoxes
The Open Court Publishing Co. 1915, Vol II, p.4
Autoritarismo
¿Qué ilustra esta anécdota?
¿Son nuestras prácticas de aula
autoritarias, en algún sentido?
¿Qué podemos hacer?
• Reducir el autoritarianismo
¿Qué podemos hacer?
• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir “pericia”
Ser experto implica un cierto oportunismo
¿Qué podemos hacer?
• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir “pericia”
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
Dada la función f(x)=1/x. P es un punto
en el gráfico de la función (en el primer
cuadrante). La recta tangente al gráfico
en P crea, con los ejes cartesianos, un
triángulo rectángulo. ¿Cuáles deben
ser las coordenadas de P, para que la
hipotenusa de ese triángulo tenga
longitud mínima/máxima?
IA – Proceso de solución:
- Trazado del gráfico
- Cálculo de la derivada de f(x), f ’(x)= -1/x2
- Formación de la ecuación de la tangente
y-y0=(-1/x02)(x-x0)
- Cálculo de las coordenadas de los puntos
de intersección con los ejes
(2x0, 0) and (0, 2/x0)
- Formación de la función longitud
g ( x) 
4 x0 
4
2
2
x0
- Se pregunta: max o min?
“Tengo un amigo que siempre hace eso [juega
con el problema para encontrarle algún
sentido], después de tal esfuerzo, en general
no tiene ni tiempo ni energías para embarcarse
en una solución simbólica, no se le reconoce lo
que pudo haber hecho, y fracasa en los
exámenes. Si no tengo necesidad, yo me
ocupo solamente de los símbolos, que es lo
que la maestra y el exámen quieren.”
¿Qué podemos hacer?
• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir “pericia”
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas “ricos”
• Se prestan para reflexiones metamátematicas
‫‪5.40‬‬
‫מ׳‬
x<5.40
y<5.40
0
5.40
¿Qué podemos hacer?
• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir “pericia”
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas “ricos”
• Se prestan para reflexiones metamátematicas
• Se prestan para soluciones alternativas
• Aplicaciones “plausibles”
Arcavi, A. (2006) “Lo acádemico y lo cotidiano en matemáticas” Números 63
¿Qué podemos hacer?
• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir “pericia”
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas “ricos”
• Se prestan para reflexiones metamátematicas
• Se prestan para soluciones alternativas
• Aplicaciones “plausibles”
Arcavi, A. (2006) “Lo acádemico y lo cotidiano en matemáticas” Números 63
¿Qué podemos hacer?
• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir “pericia”
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas “ricos”
• Se prestan para reflexiones metamátematicas
• Se prestan para soluciones alternativas
• Aplicaciones “plausibles”
• Invitan diseño
diSessa A. et al. (1991) “Inventing graphing: metarepresentational expertise in children” Journal of
Mathematical Behavior 10, pp. 117-160
¿Qué podemos hacer?
• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir “pericia”
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas “ricos”
• Tratar distinto los problemas tradicionales
¿Qué podemos hacer?
• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir “pericia”
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas “ricos”
• Tratar distinto los problemas tradicionales
• Estimular procesos metacognitivos
¿Qué podemos hacer?
• Reducir el autoritarianismo
• Redefinir “pericia”
• Legitimizar diversas voces/maneras de pensar
• Usar problemas “ricos”
• Tratar distinto los problemas tradicionales
• Estimular procesos metacognitivos
•Y…
formalizar sin sacrificar el sentido común
La comunicación y el lenguaje matemático
Abraham Arcavi
Departamento de Enseñanza de las Ciencias
Instituto Ciéntifico Weizmann
Rehovot - Israel
Muchas
gracias
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