Unidad 2
FUNDAMENTOS DE
PROBABILIDAD
OBJETIVO DE LA UNIDAD 2
El estudiante resolverá problemas que incluya el cálculo de
probabilidades de diferentes tipos de eventos
SUBTEMAS
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Y EVENTOS INDEPENDIENTES
Instituto Tecnológico Superior del Sur
Oxkutzcab, Yucatán, México
Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad.
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SUBTEMA
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
OBJETIVO DE APRENDIZAJE
Que el estudiante resuelva problemas que involucre el
cálculo de probabilidades condicionales (a posteriori).
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Subtema: Probabilidad condicional
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Concepto
La probabilidad condicional que ocurra un evento A, dado
que ha sucedido un evento B, puede ser calculada con:
P A B  
P( A  B)
con
P (B)  0
“La probabilidad de un evento dado que otro evento
ha ocurrido, es igual a la probabilidad de la
intersección de ambos eventos entre la
probabilidad del evento que ha ocurrido”. Con la
restricción de que la probabilidad del evento que ha
ocurrido debe ser diferente de cero.
S: espacio muestral
,
P(B )
A
B
La probabilidad condicional es una probabilidad a posteriori, esto
es, se obtiene a la luz de nueva información.
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En corto se dice La probabilidad de A dado B:
P A B  
P( A  B)
,
con
P (B)  0
P(B )
“La probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de AB entre la
probabilidad del evento B.
S: espacio muestral
A
B
Nota: Obseve que
el evento dado, B,
se convierte en el
espacio muestral
reducido
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En la vida real (¡lo que sea que entendamos por vida real !)
A continuación tenemos algunos casos de la vida diaria donde
un evento depende de la ocurrencia de otro:
•Una alta humedad relativa aumenta las posibilidades de que
llueva en un lugar: P (llueva | humedad relativa de 80% o más)
•Un fumador tiene mayores posibilidades de contraer
enfisema pulmonar:
P (contraiga enfisema | la persona fuma 5 cigarros o más al día)
•Manejar en estado de embriaguez, aumenta la probabilidad
de sufrir accidentes.
P (la persona se accidente | ha ingerido alcohol)
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Subtema: Probabilidad condicional
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Por intuición
A
A
B
B
P(A) = 0.25
P(B) = 0.10
P(A∩B) = 0.10
P(A) = 0.25
P(B) = 0.10
P(A∩B) = 0.08
¿Cuál es la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B?
P(A|B)=0.8
P(A|B)=1
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Por intuición
A
A
B
B
P(A) = 0.25
P(B) = 0.10
P(A∩B) = 0.005
P(A) = 0.25
P(B) = 0.10
P(A∩B) = 0
¿Cuál es la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B?
P(A|B)=0
P(A|B)=0.05
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EJEMPLO
La producción diaria de 850 partes electrónicas contiene 50 que
no satisfacen los requerimientos del cliente. Del lote se eligen
“al azar” dos partes en sucesión sin reemplazo.
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte sea
defectuosa dado que la primera fue defectuosa?
Solución. Sean A el evento donde la segunda parte
seleccionada es defectuosa y B el evento donde la primera
parte es defectuosa. La probabilidad pedida puede expresarse
como P(A|B). Si la primera parte es defectuosa, entonces antes
de tomar la segunda, el lote contiene 849 partes, de las cuales
49 son defectuosas, por tanto:
P(A|B) = 49/849 = 0.0577
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Actividad de aprendizaje 1.
* Siguiendo con el ejemplo anterior,
• ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte sea
defectuosa dado que la primera no lo fue?
La solución es: ???…
* Ahora, escogiendo dos partes, en sucesión sin reemplazo,
• ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras partes
sean defectuosas?
Observe que nos pide la probabilidad de la
P(D  D) =?
intersección de los sig eventos: que salga
defectuosa la primera pieza (D) y que salga
defectuosa la segunda pieza (D), es decir,
P(DD)=(50/850) x (49/849)
La solución es: ???…
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Actividad de aprendizaje 2.
Considere los datos censales de la Comisaría de Xaya en 2005:
Hombre (H)
Mujer (M)
TOTAL
Con empleo (E)
90
60
150
Sin empleo (D)
25
15
40
TOTAL
115
75
190
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada
al azar sea desempleada dado que es varón?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea mujer
dado que sí tiene empleo?
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Bosquejo de solución de la actividad de aprendizaje 2
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada
al azar sea desempleada dado que es varón?
Este ejercicio nos pide calcular P(D|H)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea mujer
dado que sí tiene empleo?
Este ejercicio nos pide obtener P(M|E)
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EJEMPLOS
1. La probabilidad de que a un automóvil al que se llena el tanque de gasolina
necesite también un cambio de aceite es de 0.25; de que requiera un nuevo
filtro de aceite, de 0.40; y de que le haga falta tanto cambio de aceite como
de filtro, de 0.14.
a) Si debe cambiarse el aceite ¿cuál es la probabilidad de que necesite un
filtro nuevo?
Para obtener la solución. Sean los eventos A: que necesite cambio de aceite; B: que requiere
un nuevo filtro de aceite. Entonces, de acuerdo a los datos del problema, P(A)=0.25; P(B)=0.40
y P(AB)=0.14. Por lo tanto lo que se nos pide es la probabilidad condicional P(B|A). Use la
fórmula para obtenerla.
Respuesta=0.56
b) Si necesita un filtro nuevo ¿cuál es la probabilidad de que requiera que se
le cambie el aceite?
Para obtener la solución. Con el mismo planteamiento de la solución del inciso a), se pide
ahora obtener la probabilidad condicional P(A|B). Use la fórmula para obtenerla.
Respuesta=0.35
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EJEMPLOS
2. En México, la probabilidad de que un hombre casado vea el programa “Alma
de acero” es de 0.4 y la de que una mujer casada lo vea, de 0.5. La
probabilidad de que un hombre vea el programa, dado que su esposa lo
hace, es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que:
a) una pareja de casados vea el programa.
Respuesta: P(AB)=0.35
Solución. Sean los eventos A: que un hombre casado vea “Alma de acero”; B: que una mujer
casada vea “Alma de acero”. Entonces, de acuerdo a los datos del problema, P(A)=0.4; P(B)=0.5,
P(A|B)=0.7. En el inciso a) se nos pide calcular la probabilidad de que en un matrimonio, tanto el
hombre como la mujer vean “Alma de acero”, esto es, se nos pide P(AB). De la fórmula de
probabilidad condicional, podemos obtener por despeje que P(AB) = P(B)  P(A|B) = 0.5 x 0.7 =
0.35.
b) una esposa vea el programa dado que su esposo lo hace.
Solución. Se pide P(B|A) =[P(AB)]/ P(A)= 0.35/0.4 =0.875.
Respuesta: P(B|A)=0.875
c) al menos un integrante de un matrimonio vea el programa. Resp: P(AB) =0.55
Solución. “Al menos un integrante” significa que “o lo ve el marido o la esposa o ambos” y ésta es
la definición de unión de eventos. Esto es, nos piden P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB) = 0.4 + 0.5
 0.35 = 0.55
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Subtema: Probabilidad condicional
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Actividad de aprendizaje extraclase
• Resuelva los ejercicios 1 al 6, páginas 35 y 36 del libro de
Walpole & Myers (4ta edición de McGrawHill, ya está la 8va edición de Pearson
educación en la biblioteca del ITSY aunque esencialmente es lo mismo)
• Revise el ejercicio 11 de la pág 36 de Walpole. Sean A: que
el vehículo tenga placas de Canadá y el evento B: que el
vehículo sea para acampar. Entonces, los datos que nos
dan son P(A)=0.12, P(B)=0.28 y P(AB) = 0.09. En el inciso
a) hay que calcular P(A|B), en el inciso b) se calculará
P(B|A) y en el inciso c) se pide P(AcBc). Observe que en
el inciso c) puede aplicar la regla de De Morgan para el
calculo de la probabilidad. Respuestas a) 0.321429, b)
0.75, c) 0.91
• Resuelva los ejercicios 2-58, 2-59, 2-60 y 2-61 del libro de
Montgomery & Runger (vale $405 el libro en Mérida), páginas 80 y 81.
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Subtema: Probabilidad condicional
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SUBTEMA
EVENTOS
INDEPENDIENTES
OBJETIVO DE APRENDIZAJE
Que el estudiante resuelva problemas utilizando la regla
multiplicativa para calcular la probabilidad de la
intersección de dos eventos, tanto independientes como
dependientes.
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Subtema: Eventos independientes
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Independencia de eventos (Introducción)
P ( A B )  P ( A)



¿Qué significa la expresión P ( A B )  P ( A ) ?
Significa que la ocurrencia de B no afecta la ocurrencia de A.
Aquí la ocurrencia de A es independiente de la ocurrencia de B.
Ejemplo ilustrativo. Suponga los sig eventos, B: que Hillary
Clinton gane la presidencia de EE.UU en 2008 y A: que Carlos
Pérez termine su carrera en 2009 en el Tec; y que P(B)=0.49 y
P(A)=0.67. Imagine que es ya 2009 y que Hillary es presidenta,
¿cuánto vale P(A|B)? Suponiendo que el entorno cercano de
Carlos se mantuvo similar, la respuesta es P(A) = 0.67. ¿Por
qué no le afectó la ocurrencia de B? Porque A y B son eventos
independientes, esto es, la ocurrencia de uno, no alteró la
probabilidad de ocurrencia del otro (ni para bien ni para mal!).
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Subtema: Eventos independientes
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Independencia de eventos (definición)

Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia
de uno, no añade información sobre el otro.

Definición. Dos eventos A y B son independientes si y
sólo si:
P(A|B) = P(A)
y
P(B|A) = P(B)
De otro modo, A y B son eventos dependientes.
La condición P(A|B) = P(A) implica P(B|A) = P(B) y
viceversa.

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Subtema: Eventos independientes
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Reglas multiplicativas



Proposición. Si en un experimento pueden ocurrir los
eventos A y B, entonces:
P(AB) = P(A|B) P(B)
Como AB = BA, se sigue de la proposición anterior
(por un simple despeje de la fórmula de probabilidad
condicional), que:
P(AB) = P(A) P(B|A)
Proposición. Dos eventos A y B son independientes si
y sólo si:
P(AB) = P(A) P(B)
En palabras, la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes es el
producto de sus probabilidades individuales.
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Ejemplos




En el ejemplo de las dos urnas que contienen
pelotas de dos colores, resuelto en clases, se usa la
regla multiplicativa. La solución se ve claro con el
diagrama de árbol. Otra opción: resolverlo por
teorema de Bayes, ¡ya verán en la sig sección!
Estudie los ejemplos 1.32, 1.33, 1.34 y 1.35 en las
páginas 32 y 33 de Walpole & Myers (4ta ed).
Se lanza una moneda de tal forma que un sol tiene
la posibilidad de ocurrir dos veces más que una
águila. Si la moneda se lanza 3 veces al aire, ¿Cuál
es la probabilidad de obtener 2 soles y una águila?
Desarrollo de la solución en la pág 35 de Walpole
Otro ejemplo en http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/ejercicio8-2.html
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Prueba de conceptos
Para completar:
*Si A y B son eventos independientes, entonces P(A|B) =
Para seleccionar mejor respuesta:
*Si un evento no es afectado por el resultado de otro evento, se dice que ambos eventos son:
a) Dependientes.
b) Independientes.
c) Mutuamente excluyentes.
d) Todos los anteriores.
e) Sólo b) y c).
*¿Por qué los eventos resultantes de lanzar una moneda balanceada al aire dos veces
consecutivas son independientes?
a) Porque la probabilidad de obtener sol y la probabilidad de obtener águila son las mismas.
b) Porque no se pueden presentar águila y sol en el mismo lanzamiento.
c) Porque el resultado del primer lanzamiento no se ve afectado por el resultado del segundo.
d) Porque el resultado del segundo lanzamiento no se ve afectado por el resultado del primero.
e) a) y b), pero no c).
*Conteste las preguntas 2-75, 2-76 y 2-77 de Montgomery, pp. 89 y 90.
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Actividad de aprendizaje
Del libro de Montgomery & Runger: ejercicio 2-69 incisos e) y f),
páginas 85 y 86; ejercicio 2-82, pág 90.
Del libro de Walpole y Myers (4 ed de McGraw Hill): ejercicios 12, 13,
14 y 17, páginas 36 y 37.
(En la 6ta edición de Prentice Hall vienen los mismos ejercicios pero
no coincide el número de página ya está la 8va edición también)
Sugerencia para resolver el ejercicio 17. Sea A: que esté disponible el
vehículo 1; B: que esté disponible el vehículo 2; así P(A)=P(B)=0.96.
Obviamente P(Ac)=P(Bc)=0.04. En el inciso a) se requiere P(AcBc)
que se resuelve por la regla multiplicativa para eventos
independientes y en el inciso b) se pide calcular
P(AB)=1-P(AB)c=1-P(AcBc) Ésta última equivalencia deriva de las
reglas de De Morgan
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