Problema nº 6. π-RATAS DEL CARIBE
El pirata Malapata controla todo el Mar de los Números y
los tesoros que se encuentran en sus doce islas. En las islas hay
desde 1 tesoro hasta 12 tesoros, de forma que dos islas no
pueden tener el mismo número de tesoros. Cada semana,
Malapata hace distintas expediciones cuadradas y expediciones
triangulares para comprobar que sus tesoros no han sido
robados (como se muestra en los dibujos A, B y C).
Malapata llama botín de una expedición al número total de
tesoros que hay en una expedición. Sabe que el botín de
cualquier expedición cuadrada es siempre el mismo, y el botín de
cualquier expedición triangular es el mismo botín de su
expedición opuesta (véase el dibujo C). Además sabe que existe
una diferencia de 3 tesoros entre el botín de una expedición
triangular y cualquiera que no sea su opuesta.
Ayuda a Malapata y completa el dibujo adjunto, donde se
muestra el número de tesoros de cada isla. Razona cómo lo
has hecho.
Solución
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Solución:
Para poder referirnos a las islas sin equívocos,
nombramos a cada una de ellas con la letra I (de
isla) y como subíndice el número de la posición que
ocupa (visualizando las 12 islas como la esfera de
un reloj)
Empecemos analizando las expediciones cuadradas
Hay 3 posibles expediciones cuadradas que pasan
por las 12 islas sin que una isla pueda estar en dos
expediciones distintas. Por tanto el botín de las 3
expediciones cuadradas será la suma de los números
del 1 al 12: 1+2+3+….+10+11+12=78. Y como las tres
tienen el mismo botín, cada expedición cuadrada
tendrá un botín de 26 tesoros.
Enunciado
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Solución:
Seguimos con las expediciones cuadradas, veamos qué información podemos
obtener de cada una de ellas
I3 + I12 = 14
I7 + I10 = 13
I5 + I11 = 10
Los tesoros que nos faltan por colocar son 2, 4, 6, 7, 8 y 10. Por tanto en
I7 e I10 estarán el 6 y el 7, en I3 e I12 estarán el 4 y el 10 y en I5 e I11 el 2 y el 8
VEAMOS COMO QUEDA GRÁFICAMENTE
Enunciado
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Solución:
La única forma
de conseguir el 13 con
los números sin colocar
es usando el 6 y el 7.
También es
fácil hallar los
otros
Enunciado
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Solución:
Estudiemos las expediciones triangulares para decidir:
Empezaremos usando la pareja (expedición triangular y opuesta) de la
que tengamos más datos.
Como el botín de las dos expediciones triangulares opuestas debe de ser
igual.
I10 +14 = I12 +17.
Es decir, I10-3=I12.
La única posibilidad es que I10=7 e I12=4. Y por tanto I7=6 e I3=10
Enunciado
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Solución:
Utilizamos otra de las expediciones triangulares y su apuesta para
determinar la única duda que nos queda
I11+16=I5+10. Es decir, I11+6=I5, por los que I5=8 e I11=2
Enunciado
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Solución:
No hemos necesitado usar que existe una diferencia de tres tesoros entre una expedición
triangular y cualquier otra que no sea su opuesta.
Pero podemos comprobar que se cumple: las islas 1, 5 y 9 suman 18 tesoros (al igual que
las islas 3, 7 y 11) y las islas 2, 6 y 10 suman 21 tesoros (lo mismo que las islas 4, 8 y 12)
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá más formas de calcularlas?
Enunciado
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