TEOREMA DEL
LIMITE CENTRAL
DR. JORGE ACUÑA A., PROFESOR
TEOREMA DEL LIMITE
CENTRAL
“Si se toman sucesivas muestras (k) de tamaño n de
una población que puede o no ser normal, la
distribución de probabilidad de esas muestras,
conforme n se vuelve grande, se aproxima a una
distribución normal con:
x  x  


x

x

Z 
x  
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
n
x 

x
CONCEPTOS


Distribución muestral es una lista de todos los
valores posibles para un estadístico y la probabilidad
asociada con ese valor.
Error estándar de la distribución muestral de medias
es:
2
2
2
x 


n
x 
2

n

n
  x



Factor de corrección para poblaciones finitas
x
2

x 
2

N n

*

n  N 1 
2
Estimaciones mejores con muestras más grandes
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TEOREMA DEL
LIMITE CENTRAL
n1
N
x1
x2
n2
n3
x
x3
x
x 4 ........ x k
k :# de muestras
k
n4
x 
2
nm
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 x  x 
k
2
EJEMPLO
El valor nominal de la resistencia de una lámina de
un metal compuesto es de 8500 psi. Por estudios
pasados se conoce que la desviación estándar de
esta resistencia es 1950 psi. Se tiene una
muestra de 100 láminas. ¿Cuál es la probabilidad
de que la media de esa muestra:
a.
Sea mayor a 8900 psi?
b. Sea menor a 8000 psi?
c.
Esté entre 8200 y 8700 psi?
d. ¿Que valor de la media tiene una probabilidad de
ocurrencia menor a 16.35%?
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SOLUCION
Solución: =8500 =1950
a. Media mayor que 8900
n=100
P ( x  8900 )  1  P ( x  8900 )
 8900  8500 
P ( x  8900 )  1  N 
  1  N ( 2 . 05 )
 1950 / 100 
P ( x  8900 )  1  0 . 9798  0 . 0202
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SOLUCION
b. Media menor que 8000
 8000  8500 
P ( x  8000 )  N 
  N (  2 . 56 )  0 . 0053
 1950 / 100 
c. Media entre 8200 y 8700
 8700  8500 
 8200  8500 
P ( 8200  x  8700 )  N 
 N

 1950 / 100 
 1950 / 100 
P ( 8200  x  8700 )  N (1 . 03 )  N (  1 . 54 )  0 . 8485  0 . 0618  0 . 7867
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SOLUCION
d. Xbarra para P(xbarra=XBar)=0.16
P ( x  x i )  0 . 16
 0 . 98 
Z 0 .1635   0 . 98
x i  8500
1950 / 100
x i  195 * (  0 . 98 )  8500  8308 . 9
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PROPORCIONES
MUESTRALES
n1
N
pi 
n2
n3
n4
xi
ni
p 1 p 2 p 3 p 4 ........
p 

p
k
nk
Z 
p 
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
p
pk
k :# de muestras
DISTRIBUCION DE LAS
PROPORCIONES MUESTRALES

Error estándar de la distribución muestral de
proporciones es:

p

sp 

 * (1   )
n
p * (1  p )
n
Factor de corrección para poblaciones finitas
 
 * (1   )
N n
n
N 1
sp 
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p * (1  p )
N n
n
N 1
EJEMPLO
Si se afirma que lotes de productos son 8%
defectuosos. Al inspeccionar un lote de
producto sobre la base de una muestra de
1098 unidades se encuentran 102 que no
reúnen los requisitos planteados. ¿Qué
probabilidad de ocurrencia tiene un
porcentaje igual o menor al encontrado en
esta muestra?
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SOLUCION
=0.08
p= 102/1098= 0.0929
Probabilidad pedida?
Z 

p
0 . 0929  0 . 08



0 . 0929  0 . 08
 1 . 47
0 . 00875
p
0 . 0929 (1  0 . 0929 )
1098
N (1 . 47 )  0 . 9292
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 0 . 00875
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