2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología
BC2A – BC2B
Curso 2012-2013
ÍNDICE
1)
Introducción: los conjuntos R2 y R3
2)
Espacio vectorial
3)
Vectores libres del espacio
3
V
, ,  

tridimensional
4)
Producto escalar de dos vectores
5)
Producto vectorial de dos vectores
6)
Producto mixto de tres vectores
Introducción:
los conjuntos R2 y R3
a)
El conjunto R2
b)
El conjunto R3
c)
Operaciones externas e
internas
1.a – El conjunto R2
El conjunto de pares ordenados
operaciones:
 x, y 
respecto a las
 x, y    x ', y '   x  x ', y  y '
○ Producto de un número por un par k   x, y    k  x, k  y 
○ Suma de pares
Cumple las siguientes propiedades:
1.b – El conjunto R3
El conjunto de ternas ordenadas  x, y, z  respecto a las
operaciones:
 x, y, z    x ', y ', z '   x  x ', y  y ', z  z '
○ Producto por un número k   x, y, z    k  x, k  y, k  z 
○ Suma de ternas
Cumple también las mismas propiedades anteriores:

Suma de ternas:

Producto por números:
 Asociativa
 Distributiva respecto a la suma de números
 Conmutativa
 Distributiva respecto a la suma de vectores
 Elemento neutro
 Asociativa para números
 Elemento opuesto
 Elemento neutro
1.c – Operaciones internas y externas

Operación interna sobre un conjunto

Operación externa sobre con dominio sobre escalares
Espacio vectorial
a)
Definición
b)
Ejemplos
c)
Propiedades
d)
Subespacio vectorial
e)
Combinación lineal de vectores. Sistema generador
f)
Dependencia e independencia lineal
g)
Base de un espacio vectorial. Teorema de la base.
Coordenadas de un vector
2.a - Definición
2.a - Definición
○ A los elementos de un espacio vectorial VV se les
llama
u , v , w V
y se denotan xxxx
○ A los elementos de R , en este contexto, se les
llama
y se pueden denotar h, l , t , s,  ,  
2.b – Ejemplos (I)
pares ordenados
ternas ordenadas
2.b – Ejemplos (II)
V
2
V
, , 
3
, , 


2.c - Propiedades
2.d – Subespacio vectorial
No es necesario probar que se cumplen las ocho propiedades, basta con…
O bien, con…
2.d – Subespacio vectorial - Ejemplo
2.e – Combinación lineal.
Sistema generador
2.f – Dependencia e independencia lineal
En la primera unidad estudiamos estos conceptos aplicados a las filas
y columnas de una matriz
2.f – Dependencia e independencia lineal
Ahora podemos generalizar estos conceptos, para los elementos de un
espacio vectorial cualquiera
En la práctica para determinar la dependencia o independencia lineal de
vectores, podemos usar la definición anterior o bien tener en cuenta que
2.f – Dependencia e independencia lineal
 Dependencia e independencia en V2


Ejemplo
Los vectores con la misma dirección son linealmente dependientes
Los vectores con distinta dirección son linealmente independientes
En el caso de R2 y R3 podemos estudiar la dependencia de vectores
colocándolos como filas o columnas de una matriz y recordando:
2.g –Base de un espacio vectorial.
Teorema de la base
 Definición:
 Un espacio vectorial puede tener muchas bases, formadas por
vectores diferentes, pero…
 Hay espacios vectoriales con bases muy sencillas, por ejemplo…
2.g –Base de un espacio vectorial.
 En el espacio vectorial de pares ordenados:
Ejemplos.
 En el espacio vectorial de ternas ordenadas:
2
 En V , , 

3
y en V , , 
 se llaman bases canónicas a …
2.g –Base de un espacio vectorial.
Coordenadas de un vector en una base.
 Definición:
Se escribe entonces: w  t1, t2 , t3 , , tn  V , aunque generalmente
se utiliza la misma letra para las coordenadas que para el vector.
Es decir, suele escribirse: u   u1, u2 , u3 ,
, un  V
 IMPORTANTE: Las coordenadas de un vector son…
 Únicas para cada base
 Diferentes para cada base
2.g –Base de un espacio vectorial.
Coordenadas de un vector en una base.
 EJEMPLO:
Vectores libres del espacio
3
tridimensional
V , , 

Pg. 108
a)
Vector libre
b)
Operaciones con vectores libres
Pg. 109
c)
Dependencia e independencia de
vectores. Bases.
Pg. 110
Producto escalar
a)
Definición y propiedades
b)
Proyección de un vector sobre otro
c)
Interpretación geométrica
d)
Expresión analítica
e)
Aplicaciones
4.a – Definición
 Definición:
 NOTACIÓN:
Aunque en el libro de texto se utiliza la misma
notación para el módulo de un vector que para
el valor absoluto de un número real, nosotros
usaremos la siguiente notación:
Módulo de v  v
Por tanto el producto escalar se escribiría:
 
v  w  v  w  cos v , w
4.a –Propiedades
 Propiedades:
1. Dd
2. Dd
3. Dd
4. Dd
5. Dd
4.b –Proyección de un vector sobre otro
Proyección del vector v sobre el u = proyu  v 
v2
v  v1  v2
v
v1
u
v1 u  v2  u
v1 = proyu  v     u
u  v  u   v1  v2   u  v1  u  v2 
u v u v
 

2
u

u
u
 u  v1  0  u  v1  u     u     u  u 
 Conclusión:
u v
u v
proyu  v   v1    u 
u 
u
2
u u
u
4.c – Interpretación geométrica
del producto escalar de dos vectores (I)
PQ = proyv  w
v  w  v  PQ  v  PQ  cos0  v  PQ
PQ' = proy w  v 
v  w  PQ'  w  PQ'  w  cos0  PQ'  w
4.c – Interpretación geométrica
del producto escalar de dos vectores (II)
PQ = proyv  w
w
(v, w)
Q
P
v


cos 180  (v , w) 
v  w  v  w  cos(v , w)   v  PQ
PQ
w
  cos(v , w)
De otro modo…
v  w  v  PQ  v  PQ  cos180   v  PQ
4.c – Interpretación geométrica
del producto escalar de dos vectores (III)
En resumen:
v  w  v  proyv  w  proy w  v   w
4.d – Expresión analítica
 En una base ORTONORMAL, es decir, de vectores unitarios y
perpendiculares entre sí, el producto escalar se calcula con la
expresión siguiente:
u  u1i  u2 j  u3k   u1, u2 , u3 
v  v1i  v2 j  v3k   v1, v2 , v3 
u  v   u1 , u2 , u3    v1 , v2 , v3  
 u1  v1  u2  v2  u3  v3
4.e – Aplicaciones (I)
 Módulo de un vector:
u  u  u  u1  u1  u2  u2  u3  u3 
 u1 
  u2    u3 
2
2
2
 Vectores unitarios: son los que tienen módulo igual a 1.
Cualquier vector dividido por su módulo es unitario.




u1
 u1 
2
  u2    u3 
2
2
,
u2
 u1 
2
  u2    u3 
2
2
,
u3
 u1 
2
  u2    u3 
2
2




u
1
u
 Ángulo de dos vectores: A partir de la definición de producto escalar…
 
u uv v
u1  v1  u2  v2  u3  v3
cosu ,uv, v 
cos

u u v v u12  u22  u32  v12  v22  v32
4.e – Aplicaciones (II)
 Vectores ortogonales o perpendiculares. Si no son vectores nulos…
u, v   90º  cos u, v   0

 u1  v1  u2  v2  u3  v3  0
u v
0
u  v
 u v
 Cambio fundamental respecto a la situación en el plano:
Ahora no hay sólo un vector perpendicular a otro (salvo proporcionales)
u   2,5
 v   5,2
u  1,2,5
 v   0, 5,2
 u v
 w   5,0,1
 u w
 u v
4.e – Aplicaciones (II)
 Vectores ortogonales o perpendiculares. Si no son vectores nulos…
u, v   90º  cos u, v   0

 u1  v1  u2  v2  u3  v3  0
u v
0
u  v
 u v
 Cambio fundamental respecto a la situación en el plano:
Ahora no hay sólo un vector perpendicular a otro (salvo proporcionales)
u   2,5
 v   5,2
u  1,2,5
 v   0, 5,2  u  v
 x   2,1,0  u  x
 w   5,0,1  u  w
 z  cualquier combinación lineal de los anteriores
 u v
Producto vectorial
a)
Definición y propiedades
b)
Interpretación geométrica
c)
Expresión analítica
d)
Aplicaciones
5.a – Definición
 Definición:
 NOTACIÓN:
De la misma forma que en el producto escalar,
nosotros escribiremos:
 
v  w  v  w  sen v , w
5.a –Propiedades
 Propiedades:
1. Dd
2. Dd
3. Dd
4. Dd
5. Dd
5.b – Interpretación geométrica
 Conclusión:
5.c – Expresión analítica
 En una base ORTONORMAL, es decir, de vectores unitarios y
perpendiculares entre sí, el producto vectorial se calcula con la
expresión siguiente:
u  u1i  u2 j  u3k   u1, u2 , u3 
v  v1i  v2 j  v3k   v1, v2 , v3 
u  v   u1 , u2 , u3    v1 , v2 , v3  

u2
u3
v2
v3
i
u1 u3
v1
 Simbólicamente,
se suele escribir:
¡Ojo, no es un
determinante!
v3
j
u1 u2
v1
v2
i
k
j
k
u  v  u1 u2 u3
v1 v2 v3
5.d – Aplicaciones
 Área de un paralelogramo: según la interpretación geométrica…
 Área de un triángulo: teniendo en cuenta que…
 Cálculo de un vector perpendicular a dos conocidos:
según la definición…
vwv
vw w
Producto mixto
a)
Definición y propiedades
b)
Interpretación geométrica
c)
Expresión analítica
d)
Aplicaciones
6.a – Definición
 Definición:
 OBSERVACIÓN: El resultado de esta operación es un número real:


u , v , w V 
 u   v  w 
3
v  w V 

3
u V
3
6.a –Propiedades
 Propiedades:
1. Dd
2. Dd
3. Dd
4. Dd
u, v, w  u  v  w  0  u, v, w son linealmente dep.
5. Dd
6.b – Interpretación geométrica
α
w  v  h  w  v  u  cos 




 w  v  u  cos u , w  v  u  w  v  cos u , w  v  u , v , w
6.c – Expresión analítica
 En una base ORTONORMAL (vectores unitarios y perpendiculares
entre sí) el producto mixto se calcula con la expresión siguiente:
u  u1i  u2 j  u3k   u1, u2 , u3 
v  v1i  v2 j  v3k   v1, v2 , v3 
w  w1i  w2 j  w3k   w1, w2 , w3 
 v2
u , v , w  u   v  w    u1, u2 , u3    w
 2
 u1
v2
w2
v3
v
 u2 1
w3
w1
v3
v
 u3 1
w3
w1
v3
v1
,
w3
w1
u1
u2
 v1
w2
w1
v2
w2
v2
v3 v1
,
w3 w1
u3
v2 
 
w2 
v3  det  u , v , w 
w3
6.d – Aplicaciones
 Volumen del paralelepípedo: según la interpretación geométrica…
Valor absoluto
 Volumen del tetraedro: teniendo en cuenta que…
 1 paralelepípedo = 2 prismas triangulares
 1 prisma triangular = 3 pirámides triangulares o tetraedros
Por tanto:
Valor absoluto
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Unidad 9: Derivadas