Funciones
Funciones como relaciones
Básicamente las funciones son relaciones.
¡El mundo está lleno de relaciones !
Lo bueno que eres en una tarea -jugando a
los vídeo-juegos, bailando o jugando al
baloncesto- depende de cuánto tiempo y
esfuerzo emplees en practicarlo …
Lo lejos que llegues corriendo depende
de lo rápido que corras y del tiempo
que corras a esa velocidad
Comprar zapatos
nuevos depende
de que tus padres
tengan dinero.
Que tus padres tengan
dinero depende
de que tengan un trabajo
Que tus padres tengan un
trabajo depende de lo bien
que hagan su trabajo y de que
no les afecte la crisis
Matemáticos y científicos
intentan descubrir las
relaciones existentes en
la naturaleza porque así
comprenden cómo
funcionan las cosas y
pueden hacer nuestras
vidas mejores.
Comprender la relación entre gasolina, aire
y combustión es lo que nos permite hacer
que un coche funcione
Comprender la relación entre el calor y la
supervivencia de una bacteria nos permite
comer sin peligro
Comprender que los electrones fluyen del
polo positivo al negativo nos permite tener
mp3, teléfonos y televisión
Las matemáticas y, en
especial las funciones,
son el lenguaje con el que
expresamos estas
relaciones, así que …
¡las funciones nos ayudan a entender
cómo funciona nuestro mundo!
Funciones como máquinas
Otra forma de entender una función es como una máquina. Una
máquina tiene una entrada (la materia prima) y una salida (el
producto).
Entrada: la
materia prima (el
café)
Salida: el
producto
(una taza de
café)
Hay una relación entre la entrada y la salida:
La salida depende de la entrada. La
máquina recibe la entrada y la transforma
en la salida. Dependiendo de la entrada
que introduzcas, tendrás diferente salida.
Puedes pensar en una función como en una caja con una regla
especial…algo se mete en la caja…y algo sale de la caja.
Empecemos con la caja de las capitales de Europa.
La regla: Saca la capital del país (sólo los miembros de la
Comunidad Económica Europea nos sirven).
Entrada
Saca la
capital del
país
introducido
Francia
salida
Alemania
Saca la
capital del
país
introducido
Berlín
Saca la
capital del
país
introducido
París
¿Qué tal si intentamos esta otra?
China
Saca la
capital del
país
introducido
Uyyyyyy…China no es un
miembro de la Comunidad
Económica Europea. Entonces,
¡no la podemos introducir en la
caja!
Vamos a ver algunos términos matemáticos oficiales:
Lo que se introduce en la caja (la entrada) se llama dominio
Lo que se extrae de la caja (la salida) se llama recorrido
Francia, Alemania, España
Grecia, Rumanía…
dominio
recorrido
Saca la
capital del
país
introducido
París Berlín Madrid
Atenas, Bucarés…
Dominio cosillas que van en… recorrido cosillas que salen de
Si olvidas el orden, recuerda que es el alfabético D
R
Entonces, para esta caja…
Dominio = todos los países que son miembros de la Comunidad
Económica Europea (China no está en el dominio)
Recorrido = todas las ciudades que sean capitales de un miembro
de la Comunidad Económica Europea
Intentemos alguna caja con números dentro:
La regla: Suma 1
¿Qué podemos meter en esta
caja?
3
+1
+1

4
Podemos meter todos
los números…incluso
asquerosillos números
irracionales como
Dominio= todos los números reales

+1
 1
Recorrido= todos los números reales
Intentemos esta caja:
La regla: ¡elévalo al
cuadrado!
4
-3
 
 
2
16
2
9
7
¿Cuál es su dominio? Puedo meter
todo tipo de número, así que los reales.
 
2
7
¿Cuál es su recorrido? Sólo obtengo
números positivos, así que los reales
positivos.
Una más:
La regla: Halla el triple de la entrada y entonces réstale
cinco
-2
40
3
5
3
5
-11
115
¿Cuál es el dominio y el recorrido para esta función?
Dominio= todos los números reales =
notación de intervalos
Recorrido=
  ,  
  ,  
en
Por último:
La regla: Haz la raíz cuadrada y entonces suma
cuatro
?
4
?
¿Cuál es el dominio y el recorrido para esta función?
¡Ten cuidado! ¡Sólo manejas números reales, mira a
ver cómo te apañas!
Dominio = Los reales positivos (no existe la raíz de un
número negativo)
Recorrido = Los reales positivos (si tomamos únicamente el
signo positivo de la raíz)
Veamos la última caja:
La regla: A dos lo divides por el número que entra en la caja:
0
2/( )
¿Cuál es el dominio y el rango para esta función?
Dominio = ¿Todos los reales?
Recorrido = Todos los reales
¡Yo no sé tú, pero yo estoy fartuca de dibujar cajas!
¿Puedo decir lo mismo con
un lenguaje simbólico de
manera más abreviada?
Pues afortunadamente,
tenemos
el lenguaje algebraico.
¡Vamos a traducir nuestras cajas y máquinas a lenguaje
algebraico!
f (x) = y
entrada
caja
Se lee “efe de x igual a y”
salida
¡Comparemos simbología!
x
¡El álgebra es súper económica
para representar!
f( )
¿y la regla?
y
¿Qué nos falta?
Nos falta expresar la regla en lugar de en
castellano, en lenguaje algebraico. ¡Veamos
cómo se hace!
La regla: suma 1….x+1
La regla: elévalo al cuadrado…x2
La regla: halla el triple de la entrada y
entonces réstale cinco…3x-5
La regla: haz la raíz cuadrada y entonces
suma cuatro… x  4
Veamos cómo funciona
La regla: Súmale 5
Con nuestro nuevo lenguaje diremos:
f(x)= x + 5 = y
Bueno, pues tenemos que …
Entrada = 4
f(4) = 4 + 5 = 9
Salida=9
Entrada = 3
f(3) = 3 + 5 = 8
Salida=8
Un poco de terminología matemática:
En donde introduces la entrada, la x, como
va variando su valor, se llama variable
independiente.
En donde te da la salida, la y, como va
variando su valor dependiendo del valor
que tome la x, se llama variable
dependiente.
f(
)=
f(
)=
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