Movimiento Ondulatorio
Física 2
Introducción
Consideraremos la propagación de algo que no es materia, sino energía
propagada a través de la materia.
Las ondas que estudiaremos requieren:
1.
Alguna fuente de propagación
2.
Un medio que pueda perturbarse
3.
Cierta conexión física por medio de la cual partes adyacentes del medio
puedan afectarse entre sí
Características
La longitud de onda l es la distancia mínima entre dos puntos cualesquiera
sobre una onda que se comportan idénticamente.
La frecuencia es la tasa de tiempo a la cual la perturbación se repite a sí
misma,
Cresta
Valle
Tipos de ondas
Una onda viajera es una perturbación que se propaga a lo largo
de un medio a una velocidad definida.
Una onda viajera que causa que las partículas del medio
perturbado se muevan perpendicularmente al movimiento de la
onda se conoce como onda transversal.
Una onda viajera que causa que las partículas del medio
perturbado se muevan paralelas al movimiento de la onda se
conoce como onda longitudinal.
Algunas ondas no son ni transversales ni longitudinales como las
ondas en la superficie del agua. Éstas tienen componentes
longitudinal y transversal.
Onda transversal
Onda longitudinal
Ondas viajeras unidimensionales
Una onda viajera se puede representar como una función y = f(x). Al desplazamiento
máximo del pulso se le llama amplitud.
Si la forma del pulso de onda no cambia con el tiempo, podemos representar el
desplazamiento y de la cuerda para todos los tiempos ulteriores como:
y = f(x – vt)
Si el pulso se desplaza a la derecha y por
y = f(x + vt)
Si el pulso se desplaza a la izquierda.
Donde v es la velocidad de desplazamiento del pulso. A la función y se le llama a veces
función de onda.
ejemplo
Un pulso de onda se mueve hacia la derecha y se representa por
y x, t  
Graficar en t = 0, 1, 2 s.
y x, t  
y x, t  
2
x 1
2
y x, t  
2
 x  6 2  1
2
 x  3 . 0 t 2  1
2
 x  3 2  1
Tarea
Una onda se describe por
y  x , t   5 . 00 e
  x5t 
2
Encuentre a) la dirección de movimiento de la onda, b) la
rapidez, c) la amplitud máxima, d) la amplitud cuando t = 0.5
en x = 1.5.
Superposición e interferencia de
ondas
El principio de superposición establece que:
Si dos o más ondas viajeras se mueven a través de un medio, la función de
onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones
de ondas individuales.
Las ondas que obedecen este principio son llamadas ondas lineales. Las que
no lo cumples son ondas no lineales.
La combinación de ondas independientes en la misma región del espacio
para producir una onda resultante se denomina interferencia.
La interferencia es constructiva si el desplazamiento es en la misma
dirección y destructiva en caso contrario.
La velocidad de ondas en cuerdas
La velocidad de ondas mecánicas lineales depende exclusivamente de las
propiedades del medio por la cual viaja la onda. Si la tensión en la cuerda es
F y su masa por unidad de longitud es m, la velocidad de la onda es:
v
F
m
F r  2 F sen   2 F 
m  m s  2m R
Fr 
mv
2 F 
2
R
2m R v
R
2
Ejemplo
Una cuerda tiene 0.300 kg de peso y una longitud de 6 m. la
cuerda pasa por una polea y sostiene un objeto de 2 kg. Calcule
la rapidez de un pulso viajando a lo largo de la cuerda.
5m
1m
2 kg
Reflexión y transmisión de ondas
Pulso incidente
Reflexión de un pulso de onda
viajera en el extremo fijo de
una cuerda alargada.
El pulso reflejado se invierte,
pero su forma permanece igual.
Pulso reflejado
Pulso incidente
Reflexión de un pulso de onda
viajera en el extremo libre de
una cuerda alargada.
El pulso reflejado no se
invierte.
Pulso reflejado
Pulso incidente
Un pulso viaja hacia la
derecha en una cuerda ligera
unida a una cuerda pesada.
Parte del pulso se refleja y
parte del pulso se transmite a
la cuerda más pesada.
Pulso transmitido
Pulso reflejado
Un pulso viaja hacia la
derecha en una cuerda pesada
unida a una cuerda ligera.
Parte del pulso se refleja y
parte del pulso se transmite a
la cuerda más ligera.
Pulso incidente
Pulso reflejado
Pulso transmitido
Los resultados anteriores pueden resumirse en lo siguiente:
Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B
y vA > vB (es decir, cuando B es más denso que A), el pulso
se invierte en la reflexión.
Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B
y vA < vB (es decir, cuando A es más denso que B), el pulso
no se invierte en la reflexión.
Ondas senoidales
Una onda senoidal es aquella cuyo
desplazamiento y en función de la
posición está dado por:
Esta sería una instantánea de la
onda senoidal en t = 0.
La función para todo t es:
 2 
y  A sen 
x
 l 
 2

 x  vt 
y  A sen
 l


El tiempo que tarda en recorrer una distancia de una longitud de onda
recibe el nombre de periodo, T. La velocidad de onda, la longitud de onda
y el periodo se relacionan por medio de
l
v
T
El número de onda angular k y la frecuencia angular w se definen como:
k 
Otras relaciones son:
2
w 
l
2
T
f 
1
T
v
w
k
v  fl
Si la fase inicial no es cero la onda senoidal se expresa por:
y  A sen  kx  w t   
Ejemplo
Una onda senoidal que viaja en la dirección de x positivas tiene
una amplitud de 15 cm, una longitud de onda de 40 cm y una
frecuencia de 8 Hz. El desplazamiento en t = 0 y x = 0 en
también 15 cm. Encuentre a) el número de onda angular k, el
periodo T, la frecuencia angula w y la rapidez de la onda. b)
determine la constante de fase  y escriba la expresión general
para la onda.
Tarea
Un tren de onda senoidal se describe por
y = (0.25 m) sen (0.30x – 40t)
Donde x se mide en metros y t en segundos. Determine a) la
amplitud, b) la frecuencia angular, c) el número angular de
onda, d) la longitud de onda, e) la rapidez de la onda y f) la
dirección del movimiento.
k 
2
l
v
l
T
w 
2
T
f 
1
T
v
w
k
v  fl
Ondas senoidales en cuerdas
Un método para para producir un tren de pulsos de onda
senoidales en una cuerda continua.
La forma de la onda se puede expresar como:
y  A sen ( kx  w t )
El punto P se mueve solo en sentido vertical con una
velocidad y una aceleración dada por:
vy 
ay 
dy
dt

x  constante
dv y
dt

x  constante
y
t
y
t
  w A cos  kx  w t 
 w
2
Los valores máximos son:
v 
a 
y máx
y máx
w A
w A
2
A sen  kx  w t 
Energía transmitida por ondas
senoidales en cuerdas
x
m
Onda senoidal que viaja en una cuerda. Cualquier
segmento se mueve verticalmente y cada uno tiene
la misma energía total.
U 
La energía potencial elástica es
m = m x
Usando la relación w2 = k/m
U 
Para una masa m:
U 
Dado que m = m x
Si x -> dx
U 
dU 
1
2
1
2
1
2
2
ky
mw y
2
mw y
2
m xw y
2
1
2
2
2
2
mw y dx
2
1
2
2
Sustituyendo y = sen(kx – wt)
dU 
1
2
mw A sen
2
2
2
 kx  w t dx
Integrando en t = 0 sobre una longitud de onda:
Ul 


1
2
l
0
1
2
mw A sen kx dx 
2
mw A
2
2
2
2
 12 x 
1
4k
1
2
mw A
2
2

l
2
sen kx dx
0
sen 2 kx 0 
l
1
4
mw A l
2
2
Similarmente se puede calcular la energía cinética:
Kl 
1
4
mw A l
2
2
La energía total es:
El  K l  U l 
1
2
mw A l
1
2
mw A
2
2
La potencia es:
P
El
T

1
2
mw A l
2
T
2

2
2
l
T

1
2
mw A v
2
2
La rapidez de transferencia de energía de cualquier onda
senoidal es proporcional al cuadrado de la frecuencia angular y al
cuadrado de la amplitud.
Ejemplo
Una cuerda para la cual m = 5 x 10–2 kg/m se somete a una
tensión de 80 N ¿Cuánta potencia debe aplicarse a al cuerda
para generar ondas senoidales a una frecuencia de 60 Hz y una
amplitud sw 6 cm?
Tarea
Una cuerda tensada tiene una masa de 0.180 kg y una
longitud de 3.6 m ¿Qué potencia debe proporcionarse para
generar ondas seniodales con una amplitud de 0.100 m y una
longitud de onda de 0.300 m y para que viaje a una rapidez
de 30 m/s?
Ecuación de onda
La fuerza resultante en la dirección y es:
F
y
 Fsen 
B
 Fsen 
A
 F  sen 
B
 sen 
A

Para ángulos pequeños se cumple:
F
O sea

y
 F  tan 
B
 tan 
A
De aquí obtenemos:
m  y
  y 
 y  
F y  F  
 
 

x

x
B 
A 

2
F t
2

 y
 x  B   y  x  A
x
m  y
2
La 2a. Ley de Newton:


 y
F y  ma y  m  x  2
 t
2



Por lo tanto
o
F t
 y
2
2
t
2
 y
2

x
2
1  y
2

v
2
x
2
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