L8.DINAMICA EN IS-LM
SE MODIFICA EL SUPUESTO DE AJUSTE
INSTANTANEO TANTO EN EL MERCADO DE
BIENES Y SERVICIOS COMO EN MERCADO DE
ACTIVOS.
3 October 2015
Macro. Roque Fernández
1
Nota de Análisis Matemático. Referencias:
Simon-Blume, “Mathematics for Economists”
Giancarlo Gandolfo, “Economic Dynamics”
• La formula del interés compuesto:
M  C (1   )
t
Si la tasa es anual pero la capitalización es n ve ces en el año :
M  C (1 

)
nt
n
E jem plo de capitalización contínua con   100 % ,
n
(1 
1
)
n
n
1
2
2
2.25
……………………….
100.000
2.71826824
10.000.000
2.718281693
3 October 2015
Macro. Roque Fernández
e  lim (1 
n 
1
)
n
n
2
• Buscamos el límite de la siguiente secuencia:
(1 

)
n
n
H acem os el sigu ien te cam b io d e variab les m 
(1 

)  (1 
n
n
1
)
m
1
 ((1 
m
m
) )
n

o, n  m 

m
E n ton ces
lim (1 
n 

)  lim ((1 
n
n
m
1
m
m
) )

 ( lim (1 
m
1
m
) )

m
lu ego ,
1
( lim (1 
m
m
) )

 e

m
E n gen eral ,
lim (1 
n 
3 October 2015

)
nt
 e
t
n
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3
Ecuación Diferencial Básica.
y(t)
y ( t )  1 .e
t
t  0  y(0)  1
1
t    y ( )  
t
A h ora ,
y ( t )  1 .e
t
t  0  y(0)  1
1
y(t)
t    y ( )  0
t
T o m a n d o lo g , y d iferen cia n d o :
d
ln y ( t ) 
dt
d
ln e
t
dt

1 dy
  
y dt
3 October 2015
y
y

   y  y  0
Para encontrar los valores
de y(t) se necesita conocer
tanto el valor de “λ” como
el valor de “y(0)”, que en
este ejemplo es: y(0)=1.
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4
S istem a d e d os ecu acion es d iferen ciales:
y1  k 11 e
1 t
y 2  k 21 e
 k 12 e
1 t
2t
 k 22 e
2t
E n form a m atricial
 t
k 12   e 1

k 22   e  2 t
 y1   k 11

 
y
 2   k 21

t
 o tam b ién y  K e

D iferen ciam os
  1 e 1
y  K
  e 2
 2


 1
 K

 0

 t
0 e 1

 2   e  2 t



ah ora ,

 1
y  K
 0
0 
K
2 
 1
y  K
 0
0 
K
2 

3 October 2015
1
1
 e 1 t
K
 e 2t




 e 1 t
*K
 e 2t


 1
 d efin ien d o A  K 
 0

Macro. Roque Fernández
0 
K
2 
1 t

e
1
;y  K
 e 2t




5
D efin ien do :
 1
 A  K 
 0
0 
K
2 
1
 e 1 t
 y  K 
 e 2t




E xpresam os el sistem a lin eal

y  Ay
 1
O b servar qu e la m atriz A es " sim ilar " a 
 0
0 

2 
y las m atrices sim ilares tien en las sigu ien tes propiedades :
1 . Ig u al fu n ción caracteristicas y eigen valu es
2 . Igu al T raza
3 . Igu al D eterm in an te
S ign ifica :
 trA   1   2  D etA   1 *  2
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M A T R IC E S S IM IL A R E S T IE N E N L A M IS M A FU N C IO N C A R A C T E R IS T IC A
Y L A S M IS M A S R A IC E S (O E IG E N V A L U E S )
A  KLK
1
 1
donde L  
 0
A   I  KLK
1
com o I  K K
1
A   I  KLK
1
0 

2 
 I
  KK
A   I  K (L   I )K
1
1
C alculam os el determ ina nte característico
A   I  K (L   I )K
1
A   I  K (L   I ) K
1
, pero com o K
1

1
K
A   I  (L   I ) K
1
K
 A   I  (L   I )
S ignifica que igual función característica e iguales raices.
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D efin ien d o lo s elem en to s d e A co m o
 a1 1
A
 a 21
a1 2 
a1 1  
 y el d eterm in an te característico
a 22 
a 21
a1 2
a 22  
q u e g en era la sig u ien te fu n ció n caracter ística:
  ( a1 1  a 2 2 )   ( a1 1 a 2 2  a 2 1 a1 2 )    ( trA )   A  0
2
2
 trA 
P ara c alcu lar las raices su m am o s y restam o s 

2


2
2
2
2
2
trA 
 trA 
 trA 

 trA 


A

0










  A
2 
 2 
 2 

 2 
  ( trA )   
2
L u eg o ,
1, 2 
trA
2

2
3 October 2015
 trA 

  A
 2 
Macro. Roque Fernández
8
2
 trA 
E l caso de soluciones com plejas se da cu ando 
  A <0
 2 
porque la raiz de un núm ero negativo nos induce a trabajar con num eros im aginari os.
P ara sim plificar el tem a supongam os que el com ponente rea l es cero de m anera tal
que la trA = 0, y el determ inante es uno
1, 2    A    1   i 1
1, 2   i .1
A qui se aplica la ecuacion de E uler,
e
 it
 cos t  i sin t
C on la expresión anterior se pueden gene rar trayectorias osci lantes.
S i la parte real en lugar de ser cero es positiva el sistem a es inestable y la t rayectoria
de las variables es oscilante y se apart a del punto de equilibrio.
S i la parte real es negativa el sist em a es estable la trayectoria es oscilan ante y converge al equilibrio.
C uando la parte real es cero, la trayect oria es oscilante y el equilibrio es neu tral pudiendo ser
una órbita alrededor del equilibr io.
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D E R IV A C IO N D E L A E C U A C IO N D E E U L E R
U n a ex p an sió n en series d e T aylo r d e u n a fu n ció n f: R  R alred ed o r d e x = 0 , es
1
f (0 ) 
1
f (0 ) x 
'
1!
1
f (0 ) x 
''
2
2!
f (0 ) x  ......
'''
3
3!
1
f (0 ) x  ...
n
n
n!
P rim ero , d ad o q u e ( sin x )  co s x , (co s x )   sin x , sin 0  0 y co s 0  1,
'
'
la ex p an sió n en T aylo r d e la fu n ció n sin (x ) alred ed o r d e x = 0 es
x
1
1
x 
3
3!
1
x 
5
5!
1
x 
7
7!
x 
9
9!
la ex p an sió n en T aylo r d e la fu n ció n co s (x ) alred ed o r d e x = 0 es
1
1
1
x 
2
2!
1
x 
4
4!
1
x 
6
6!
x 
8
8!
S eg u n d o , la ex p an sió n en T aylo r d e e
e
x
x
 e 
0
.e 
0
1!
e
x
 1
x

1!
x
2
e 
0
2!
x
2

2!
x
x
x
3
e  .............
0
3!
alr ed ed o r d e x = 0
x
n
0
e ........
n!
3
x
 ............. 
3!
n
 .........
n!
S i x es u n n ú m ero im ag in ario p u ro d e la fo rm a x = b i
e
ib
ib
 1

( ib )
1!
2

2!
( ib )
3
 ............. 
3!
( ib )
n
 .........
n!
C o m o i   1, i  i , i  1, ......
2
e
ib
 (1 
3
b
2
2!
e
ib

b
4
4
 .....)  i ( b 
4!
b
3
3!

b
5
 .....)
5!
 co s b  i sin b
3 October 2015
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SUPUESTOS DE AJUSTE EN IS-LM.
• EN EL MERCADO DE BIENES Y SERVICIOS SE SUPONE
QUE SE AJUSTA SOLAMENTE EL PRODUCTO EN
REPUESTA A UN EXCESO DE DEMANDA.
• EN EL MERCADO DE ACTIVOS SE SUPONE QUE LA TASA
DE INTERES SE AJUSTA EN BASE A UN EXCESO DE
DEMANDA POR DINERO.
• EL ANALISIS DINAMICO PERMITE DETERMINAR LA
ESTABILIDAD DEL MODELO BAJOS SUPUESTOS
RAZONABLES DE AJUSTE.
• TAMBIEN PERMITE INFERIR LOS SENDEROS POR LOS
CUALES LAS VARIABLES DEL MODELO TRANSITAN DE
UN EQUILIBRIO A OTRO EQUILIBRIO EN REPUESTA A
IMPACTOS EXTERNOS O CAMBIOS DE POLITICA.
3 October 2015
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CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ
•
•
•
•
•
ESTE CRITERIO APLICA A SISTEMAS ORDINARIOS DE
ECUACIONES DIFERENCIALES AUTONOMOS, LINEALES, Y
HOMOGENEOS.
EN SISTEMAS NO LINEALES SE TRABAJA CON
APROXIMACIONES LINEALES . SE UTILIZA TAYLOR PARA
LOGRAR UNA PARTE LINEAL DEL SISTEMA QUE ES OBJETO
DEL ANALISIS PRINCIPAL, Y UN RESIDUO NO LINEAL DEL
SISTEMA QUE SE ANALIZA OCACIONALMENTE.
LA PRINCIPAL CONVENCIENCIA DEL CRITERIO DE ROUTHHURWITZ FRENTE A OTROS METODOS ALTERNATIVOS PARA
ANALIZAR PROBLEMAS DE ESTABILIDAD CONSISTE EN QUE
NO ES NECESARIO COMPUTAR EIGENVALUES O LAS RAICES
DE LA ECUACION CARACTERISTICA.
EN UN SISTEMA DE 2X2 LA TRAZA DE LA MATRIZ DE
DERIVADAS PARCIALES ES IGUAL A LA SUMA DE LAS RAICES,
Y EL DETERMINANTE ES IGUAL AL PRODUCTO.
TIENE UNA FACIL INTEGRACION CON DESCRIPCIONES QUE
USAN DIAGRAMAS DE FASES.
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12
EL MODELO DINAMICO
dy

 y  α .(g  f(i, y)  y)
dt
di

 i  β .(l(i, y)  m)
dt
SE EVALUA LA SIGUIENTE MATRIZ DE DERIVADAS PARCIALES:


d y

 dy
A  

d
i

 dy




di 
 
d i 
di 

d y
PARA QUE EL SISTEMA SEA LOCALMENTE ESTABLE SE
NECESITA QUE LA PARTE REAL DE LAS RAICES SEAN
NEGATIVAS. ESTO OCURRE CUANDO LA TRAZA DE “A” ES
NEGATIVA Y SU DETERMINANTE POSITIVO.
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CONDICION DE TRAZA Y DETERMINANTE
A
α




.(f y  1)
β .l y
α .f
β .l
i
i






Tr(A)  α .(f y  1)  β .l
i
A  α .(f y  1).β .l  β .l y .α .f
i
i
SI LA PROPENSION MARGINAL AL GASTO ES MENOR QUE UNO LA
TRAZA DE A ES NEGATIVA Y EL DETERMINANTE DE A ES POSITIVO. EN
EL CASO QUE LA PROPENSION MARGINAL A GASTAR SEA MAYOR QUE
UNO SE NECESITAN CONDICIONES ADICIONALES PARA ASEGURAR
LOS SIGNOS NECESARIOS EN LA TRAZA Y DETERMINANTE.
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PROPENSION AL GASTO MENOR QUE UNO
f y  1  α .(f y  1)  0

A  0, Tr(A)  0
PARA ILUSTRAR CON DIAGRAMA DE FASES SE OBSERVAN LOS
ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL DE “A”.
LM
i
X
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IS
y
15
PROPENSION AL GASTO MAYOR QUE UNO
SE REQUIERE DETERMINAR LAS CONDICIONES QUE ASEGUREN QUE LA
TRAZA RESULTE NEGATIVA Y EL DETERMINANTE POSITIVO.
T r(A )  α .(f y  1)  β .l  0 
i
A.
(f y  1)
l
i

β
α
1
 (f y  1).l  l y f  0
i
i
αβ

(f y  1).l  l y f  0  (1  f y )l  l y f  0
i
i
i
i
CON PROPENSION A GASTAR MAYOR QUE UNO LA IS ES
POSITIVAMENTE INCLINADA, Y LA CONDICION DEL DETERMINANTE
SIGNIFICA QUE LA IS CORTA A LM DESDE ARRIBA.
(1  f y ) di
l y di
(1  f y ) l y
di
di

,





dy IS
f
dy LM
l
dy IS dy LM
f
l
i
i
i
i
(1  f )l  l f
y i
y i
di
di


SI SE CUMPLE CONDICION DEL DETERMINANTE
dy IS dy LM
f l
EL NUMERADOR ES MENOR QUE CERO.
i i
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DIAGRAMA CON IS CORTANDO POR ARRIBA
i
LM
IS
X
y
EL SENDERO DIBUJADO ES UNO DE LOS TANTOS POSIBLES. EL
DIAGRAMA TAMBIEN ADMITE TRAYECTORIAS OSCILANTES
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DIAGRAMA CON IS CORTANDO POR ABAJO
i
IS
LM
y
CUANDO LA IS CORTA DESDE ABAJO LA CONDICION DEL DETERMINANTE NO
SE CUMPLE Y SIGNIFICA QUE UNA DE LAS RAICES ES POSITIVA Y LA OTRA ES
NEGATIVA. EN EL CASO MUY ESPECIAL EN QUE SALIENDO DEL EQUILIBRIO LA
CONDICION INICIAL ANULE LA RAIZ POSITIVA (PROBABILIDAD CERO) ES
POSIBLE DEFINIR UNA TRAYECTORIA HACIA EL PUNTO DE EQUILIBRIO QUE
SE DENOMINA “SADDLE PATH” Y EL EQUILIBRIO SE DENOMINA “SADDLE
POINT”.
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SINTESIS
• CON AJUSTE GRADUAL EN EL MERCADO DE BIENES Y
SERVICIOS COMO EN EL MERCADO DE ACTIVOS SE
PUEDEN CONJETURAR POSIBLES SENDEROS O
TRAYECTORIAS QUE ILUSTRAN ASPECTOS DE
DINAMICA MACROECONOMICA.
• EL DIAGRAMA DE FASE AYUDA A ILUSTRAR EN
TERMINOS GENERALES LOS ASPECTOS DINAMICOS.
• LAS TRAYECTORIAS NO NECESARIAMENTE TIENEN
UNICIDAD, ES DECIR, PUEDE HABER MAS DE UNA
TRAYECTORIA HACIA EL EQUILIBRIO.
• EN UN SISTEMA INESTABLE CON UNA RAIZ POSITIVA Y
UNA NEGATIVA SE DA LA POSIBILIDAD DE LOGRAR UN
PUNTO DE EQUILIBRIO (SADDLE POINT).
3 October 2015
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L8.DINAMICA EN IS-LM - UCEMA | Universidad del CEMA