Este problema apareció por primera vez en una obra árabe del siglo XIII.
Llegaron a un oasis dos beduinos, Musa y
Masa, que venían del desierto. Se
disponían a almorzar cuando vieron aparecer
a un peregrino con cara de hambre, movidos
a compasión decidieron repartir sus
pertenencias.
Musa tenía cinco panes y Masa tres.
Sacaron los ocho panes y los repartieron
entre los tres, comiendo todos lo mismo.
Al final el peregrino dijo agradecido:
-“Por las barbas del Profeta, yo, que tantas
veces he comido en bellos palacios, jamás
hallé tanto placer como hoy. Así que os
pagaré con generosidad”
- y les dio ocho monedas de oro, a la vez
que desaparecía.
Masa se apresuró a coger tres monedas,
diciendo:
-“Como he puesto tres panes, estas
monedas son para mí”.
¿Quién tenía razón?
Pero Musa le replicó:
- “Masa, no me gusta tu reparto, lo justo
es que yo me lleve siete monedas y tú una”.
Comprender y utilizar los distintos conceptos de fracción.
Reconocer y calcular fracciones equivalentes
Aplicar la equivalencia de fracciones para facilitar los
distintos procesos matemáticos
Operar con fracciones.
Resolver problemas con números fraccionarios.
Identificar, clasificar y relacionar los números racionales y
los decimales.
Calcular potencias de exponente entero.
Utilizar las potencias de base diez para expresar números
muy grandes o muy pequeños.
Reducir expresiones numéricas o algebraicas con potencias.
Una fracción es una división indicada
Consta de dos partes:
Denominador: son las partes en las que
dividimos la unidad.
Numerador: son las partes que
tomamos de la unidad
Partes en que hemos dividido a la unidad… 8
Partes que tomamos… 5
Numerador
Raya de la fracción
Denominador
Fracción propia: La que tiene el numerador
menor que el denominador.
-
Representación en la recta racional
1/4
-1
0
3/4
2/4
1
Fracción propia: La que tiene el numerador
menor que el denominador.
-
Representación en la recta racional
1/3 2/3
-1
0
1
Fracción propia: La que tiene el numerador
menor que el denominador.
-
Representación en la recta racional
-3/5 -1/5
-1-4/5 -2/5
0
1
Fracción impropia: es la que tiene el
numerador mayor que el denominador
Y cogemos
cinco
¿Cómo?
No es posible, necesitamos
otra unidad
Dividimos
la unidad en
tres partes…
Por tanto una fracción impropia la podríamos
descomponer en dos partes, una entera y una
fraccionaria.
Representa en tu
En este caso una unidad más 2/3
cuaderno las siguientes
fracciones:
=
+
2/5, 6/5, 9/4, 2/4 y 8/3
Una Fracción es una división indicada.
La mayor parte de las veces puedes deducir
mentalmente lo que vale la fracción. (Si es menor o
mayor que uno, mayor que dos o tres o…)
Vamos a decir mentalmente el valor que
tienen las siguientes fracciones:
2/3 ,
Entre
0 y 1
7/5 ,
Entre
1 y 2
1/4 ,
Entre
0 y 1
6/2 ,
3
8/3 ,
25/4 ,
Entre
2 y 3
Entre
6 y 7
3/2
Entre
1 y 2
Dos fracciones son equivalentes cuando su
representación gráfica coincide. (tienen el mismo valor)
También decimos que dos fracciones son
equivalentes cuando es igual su producto cruzado.
8EXTREMOS
x 3 = 24
6
MEDIOS
x 4 = 24
De siempre se ha llamado a esta particularidad
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES
Y se define como el producto de
medios es igual al producto de extremos
Hemos dicho que dos fracciones son equivalentes si
el producto de medios es igual al producto de extremos.
Pero vamos a utilizar una estrategia para encontrar
rápidamente fracciones equivalentes a una dada: FÍJATE
Para hacer fracciones equivalentes, basta con
multiplicar el numerador y el denominador por un mismo
número.
La
partesencilla
de
las de
veces
preferible
trabajar
Para
simplificar
fracciones
seesdividen
el numerador
La mayor
forma
más
hacerlo
es buscar
el m.c. y
con
números
sobre
todo si tantas
tenemos
en cuenta
que
el
por el por
mismo
veces
como sea
d. denominador
de
ambos pequeños,
y dividir
él. número
las
fracciones
tienen
mismo
valor. entre si.
posible
hasta que
ambos
sean primos
Veamos
cómo
seelhace
Descomposición
Factorial
24
12
6
3
1
2
2
2
3
Factorización
60
3
24 =23.3
20
4
2
1
5
2
2
60=22.3.5
24 =2.2.2.3
XX X
60=2.2.3.5
XX X
Definición
m.c.d.=22.3 = 12
Para comparar fracciones, la mayor parte de las
veces, necesitamos que las partes sean iguales…
El procedimiento más rápido para hacer que las
partes sean iguales es el mínimo común múltiplo de los
denominadores. Veamos en la diapositiva siguiente cómo lo
hacemos.
4
1
Al
Nume
rador 2
4 = 2
4
Al
Nume
rador
9
Compara
ahora las
Descomponemos
5 Fracciones
Colocamos
el
m.c.m.
equivalentes
factorialmente
los
fracciones:
como
denominador
Al
denominadores:
Nume
¿Fácil, no?
12
Ayúdate de esta tabla para
encontrar
los numeradores
¿Por cuánto
he ¿Por
cuánto
he
2
m.c.m.
= 22.3
}
rador
También
También ¿Por cuánto he
También
al
4
multiplicado
al 9 FACTORES M.C.M
9 = multiplicado
32
Por
Por
M.
multiplicado
al 12
Por
m.c.m.
=
36
C. 36?
2
para
que
de
36?
para
que
de
4
3
12 9= 2 . 3
M
2
para
que
de2 36? 3
16
15
9
<
<
36
36
36
3
F
A
C
1
Deno
2
2
X
X Por9 9
2
Deno
X
X
3
3 Por4 4
3
Deno
2
2
3
X
Por3 3
Para sumar o restar fracciones es condición
indispensable que tengan igual denominador
(las partes han de ser iguales)
Reducimos a común denominador por el m.c.m. y
hacemos las fracciones equivalentes utilizando el
procedimiento de la diapositiva anterior
9 = 32
3
7
1
4
2 .3
2 . 32. 5
12
=
2
m.c.m
=
2
+
+
18 = 22 . 32
18
15
9
12
= 180
18 = 3 . 5
2 2 3 3 5
Denom
170 + 12
3 – 70 2067
3137
80
+
45
–
70
80
45 12 =
Denom 2
=
=15
+
+
Denom
180 3
180 10180
180
180
180
180
Denom 4
12
denominadores
Una fracción
3
4
de
9
otra es el producto de ambas
3
4
.
=
12
de
9
=
12
12
1
108
9
Reducimos
=
Por 12
Se multiplican los numeradores y los denominadores
Fracción de un número
3
4
de
72
=
3 . 72
4
Esto es una fracción que
tiene denominador 1
=
48
16 16
72
16 16
Fracción inversa
3
Es la que se obtiene si volteamos sus términos
Para dividir fracciones multiplicamos al dividendo
12
por la inversa del divisor
3
4
:
9
3
4
.
12
9
=
12
48
16
27
9
Reducimos
=
Por 3
Para ahorrar tiempo
puedes 4
dividir multiplicando en
9
cruz
3
:
12
48
Reducimos
Por 3
27
16
9
En tal caso,
A veces un
A la hora de “atacar” un problema, debes tener en cuenta
el siguientete voy
felicidades,
dibujo
esquema:
a valorar el
soluciona el
Incógnitas
hallazgo, pero no
¿Qué
me pide?
problema,
ecuacionescon
que de
como suele Igual númerotedeconformes
menos mejor.
ello. Intenta
suceder en incógnitas y cuantas
Lee
Si puedes,
juega
resolverlo
estos
ejercicios
Cuando
ya
lo
ecuaciones
¿Qué
detenidamente
el se yo?
matemáticamente
con
objetos
te
de fracciones…
tengas
todoque
enunciado y trata
simulen
la situación
claro,
puedes
de
ponerte
e la
del problema,
contestar
a estas
“situación”
que
dibuja,
dos
COMPROBACIÓN
sepreguntas:
plantea
experimenta,…
(EN EL ENUNCIADO)
SOLUCIONES
PLANTEO
RESOLUCIÓN
He gastado 2/5 de mi dinero en un bocadillo y aún me
quedan 3,6 euros. ¿Cuánto dinero tenía al principio?
Vamos
¿Lo hasa leído
representar…
bien? ¿Podemos comenzar?
Luego
O sea estas
que cada
tresuna
partes
son son
1,2
Las
cinco
partes
El
El
que
(2/5)
tenía 6 €
3,6
€bocadillo
ydinero
euros…
las cinco
juntas
1,2 1,2 1,2 1,2 1,2
TENIA 6 € AL PRINCIPIO
He gastado 2/5 de mi dinero en un bocadillo y aún me
quedan 3,6 euros. ¿Cuánto dinero tenía al principio?
En el enunciado
El
Luego
Los
La
bocadillo
unidad
3/5
nos quedan
son
eran
tiene
3,6los
los
5/5
euros
2/5
3/5
Pasemos esto a una ecuación
3/5 de x son 3,6 euros
3
x = 3,6
5
3x
= 3,6 ; 3x = 3,6 . 5 ;
5
¿Dónde?
Debemos
comprobar
3x= 18
;x =18/3; x
= 6
Y el resto, hasta el extremo de su
antena, son diez metros y medio.
Calcula la altura total del crucero.
1
1
+
3
5
8
5
3
+
=
=
15
15 15
Representamos
La
Esos
Reducimos
parte
7/15
desconocida
miden
a común
10,5
denominador
son
metros
8/15
La
La
unidad
parte
son
conocida
15/15
son
7/15
Por tanto 1/15 mide 1,5 metros
Y los 15/15 medirán 22,5 metros
10,5 m.
Este crucero tiene 1/3 de su altura
por debajo de la línea de flotación.
1/5 hasta la línea roja
1
5
1
3
SOLUCIÓN:
El crucero
mide 22,5
metros de alto
2
2,
5
m
.
Y el resto, hasta el extremo de su
antena, son diez metros y medio.
Calcula la altura total del crucero.
10,5 m.
En el enunciado
Este crucero tiene 1/3 de su altura
por debajo de la línea de flotación.
1/5 hasta la línea roja
x
Llamamos x a la altura total del crucero
Multiplicamos
por elTRANSPOSICIÓN
1x
8x
5x 3x
+
denominador
15
= de términos
+
=
SOLUCIÓN:
3
5CADA SUMANDO
15
15 15
1x
1x
5
1x
3
El crucero
¿Dónde?
8x
Debemos comprobar
mide 22,5
+ 10,5 = x ; 8x + 157,5 = 15x; 157,5 = 15x - 8x ;
metros de alto
15
157,5 = 7x ; 157,5/x = x ; 22,5 = x
He gastado1/5 de mi dinero en comida.
3/4 de lo que me quedaba en un libro.
Aún me sobran 2 €.
¿Cuánto dinero tenía al principio?
Veamos con una ecuación
Mi
dinero
2 TOTAL
2 2 22
10 Euros
En el enunciado
He gastado1/5 de mi dinero en comida.
3/4 de lo que me quedaba en un libro.
Aún me sobran 2 €.
Realizamos el
¿Cuánto dinero tenía
al principio?
producto
indicado
1x
3 4x
;
por el
+
+ 2 = xMultiplicamos
5
4 5
m.c.m. 20 CADA
1x
12x
SUMANDO
2
e
Mi u
dinero r
o
s
x
1x
5
3 4x
4 5
SOLUCIÓN:
+
El dinero que
5
20
tenía al
¿Dónde?
12x
16x
40
4x +
40 = 20x;
- 16x
+ 40 = 20x ;
+Debemos
= 20x
comprobar
principio
eran
40 = 4x;
40/4 = x; 10 = x;
10 €
+ 2 = x;
El número decimal es el resultado de realizar la
división indicada en una fracción
Al realizar una división podemos obtener tantos
restos diferentes como indique el divisor (como
máximo)
Si no obtenemos ningún resto cero entonces han
de repetirse tanto el resto como el cociente.
Veamos esto con ejemplos:
Número entero
6/3
Decimal exacto 6/4
6:3=2
puro
8/3
Número decimal
Decimal
periódico
6:4=1,5
2,6
8:3=2,66…
La parte periódica comienza
con la primera cifra decimal
mixto 1,43
43/30 43:30=1,4333…
La parte decimal tiene una parte
no periódica y otra periódica
2,35
2,35 = f;
235 = 100f;
235/100 = f; Reduce
1,35
1,35 = f
135,35 = 100f
Restamos
134 = 99f; 112 = 99f; 134/99 =f;
Se pone la parte entera seguida de la parte
periódica, se le resta la parte entera y se
divide por tantos nueves como tenga el periodo
Reduce
1,12362
1,12362 = f; 112,362 = 100f; 112362,362 = 100000f
Colocamos para restar
112350 = 99900f;
restamos
Se pone la parte entera seguida de la parte
no periódica y la periódica se le resta la
parte entera seguida de la periódica y se
divide por tantos nueves como tenga el
periodo seguidos de tantos ceros como tenga
el no periodo.
112350/99900 = f;
Reduce
Ejercicios básicos de fracciones con hotpotatoes
Ejercicios con fracciones para realizar en tu cuaderno
Teoría: unidades
Problemas en formato doc
http--www.educa.aragob.esiescinca-pagmates-PROBLEMAS
DE FRACCIONES.doc
http--www.granada.escolapios.esdocumentos-colegio-seminarios-mates2esoejercicios_fracciones_problemas.pdf
DESCARTES
http://descartes.cnice.mec
d.es/1y2_eso/fracciones/in
dex.htm
Se evaluarán los siguientes aspectos:
El comportamiento en el aula: Atiendes, participas, te interesas,
intervienes individualmente o en grupo (1 pto.)
El trabajo personal en casa: realizas los deberes, haces tus
trabajos, …(1 pto.)
Las anotaciones de aula a lo largo del tema, por hacer bien los
ejercicios en la pizarra o contestar bien a la teoría. (1 pto.)
El cuaderno de actividades: Presentación, contenido de lo realizado
en clase y en casa,… (1 pto.)
La prueba escrita de la unidad (6 ptos.)
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Diapositiva 1