Decisiones de Inversión
Matemática financiera
Lic. Francisco Lira
Preston University Guatemala
Interés Simple y Compuesto
La tasa de interés puede considerarse simple o
compuesta. El interés simple ocurre cuando
éste se genera únicamente sobre la suma inicial,
a diferencia del interés compuesto, que genera
intereses sobre la suma inicial y sobre aquellos
intereses no pagados, que ingresan o se suman al
capital inicial.
40
Operaciones a Interés Compuesto
 Capitalización de intereses: Es el proceso de
agregar a un capital, los intereses simples de los
periodos de uso del dinero, entre la fecha en que se
formó ese capital y la fecha elegida para agregar
intereses.
 Periodo de capitalización: Es el intervalo de
tiempo convenido para capitalizar los intereses
(meses, trimestres, años , etc.).
Operaciones a Interés Compuesto
 Tasa de interés compuesto: Es la tasa de
interés por periodo de capitalización.
 Frecuencia de capitalización: También
llamado periodo de capitalización o de
conversión. Es el número de veces en que se
capitalizan los intereses en el tiempo de uso del
dinero.
El Concepto de Equivalencia
En forma matemática:
S=P(1+i)n
donde:
S
=
Suma futura poseída al final de n
períodos.
i
=
Tasa de equivalencia, fracción, mayor
que cero y menor que 1 definida para el
período (año, mes, día,...)
P
=
Suma de capital colocada en el período
cero.
n
=
Número de períodos
Este es el concepto básico
13
Tasa de interés efectiva y nominal
Dependiendo de la forma como se liquiden los
intereses estipulados en una transacción,
entonces se presentarán diferencias entre el
interés “verdadero” y el pactado. Estas tasas se
llaman tasas de interés efectivas y tasas de interés
nominales.
87
Tasa de interés nominal
Tasa de interés nominal es una tasa de
interés que se estipula para un determinado
período (por ejemplo, un año) y que se liquida
en forma fraccionada, en lapsos iguales o
inferiores al indicado inicialmente.
88
Tasa de interés efectiva
Tasa de interés efectiva es la tasa de interés
que resulta cuando se liquida una tasa de interés
nominal en períodos menores al estipulado
inicialmente para ella. Dicha tasa puede
calcularse en virtud de que el interés es
compuesto, ya que las liquidaciones del mismo
se han acumulado.
89
Condiciones para la tasa de interés efectiva
Para estos ejemplos, es importante reiterar que
un interés efectivo implica:
liquidación de intereses en períodos de
tiempo menores al estipulado para la tasa de
interés nominal;
acumulación (real o virtual) de los intereses
generados durante el período indicado; y
interés compuesto.
92
Ejemplo
Como ya se sabe, el valor acumulado de $1,000
al 2% mensual es 1,000(1+0.02)12. Si se
considera que 2% mensual es lo mismo que
decir 24% anual liquidado mensualmente
vencido, entonces esta expresión se puede
escribir como 1,000(1+0.24/12) 12
93
Tasa de interés efectiva y nominal
Si se generaliza y se piensa que el 24% anual
liquidado mensualmente vencido es la tasa de
interés nominal, entonces el valor acumulado es
P(1+inom/n)n
El valor de los intereses en el ejemplo es
$268.24, (1,268.24-1,000). La tasa de interés es
268.24/1,000=26.82%
94
La efectiva depende de la nominal
La tasa de interés efectiva depende de la tasa de interés
nominal.
Tasa mensual
(tasa periódica)
1.0%
1.5%
2.0%
2.5%
3.0%
Tasa nominal Tasa efectiva
anual
anual
12%
12.68%
18%
19.56%
24%
26.82%
30%
34.49%
36%
42.58%
90
... y de la frecuencia de liquidación
La frecuencia con que se liquida una tasa nominal, influye
en la tasa efectiva. Esto puede verse en una tabla, a partir
de una tasa anual nominal 24% :
Período
i por período Períodos
iea
Año
24.00%
1
24.00%
Semestre
12.00%
2
25.44%
Cuatrimestre 8.00%
3
25.97%
Trimestre
6.00%
4
26.25%
Bimestre
4.00%
6
26.53%
Mes
2.00%
12
26.82%
Día
0.0658%
365
27.11%
91
Condiciones para la tasa de interés efectiva
Para estos ejemplos, es importante reiterar que
un interés efectivo implica:
liquidación de intereses en períodos de
tiempo menores al estipulado para la tasa de
interés nominal;
acumulación (real o virtual) de los intereses
generados durante el período indicado; y
interés compuesto.
92
Ejemplo
Como ya se sabe, el valor acumulado de $1,000
al 2% mensual es 1,000(1+0.02)12. Si se
considera que 2% mensual es lo mismo que
decir 24% anual liquidado mensualmente
vencido, entonces esta expresión se puede
escribir como 1,000(1+0.24/12) 12
93
Tasa de interés efectiva
Dados una tasa de interés nominal y el número de veces
por período que se liquida el interés (vencido), entonces el
interés efectivo es:
n
i
Donde:
ief
=
n
=
inom
=
ef







 1
i nom
n







1
tasa de interés efectiva
número de veces que se liquida o capitaliza
el interés nominal durante el período
tasa de interés nominal por período,
liquidada por período vencido
95
Tasa de interés efectiva en Excel
En Excel se utiliza la función
=INT.EFECTIVO(int.nominal;num. períodos al año)
96
Tasa de interés continua
Cuando n es muy grande se dice que tiende
a(infinito) y en ese caso, la expresión queda reducida
a
i nom
ef
i
e
1
donde:
e
= base de logaritmos naturales
inom
= tasa de interés nominal anual
A esta expresión se llama tasa de interés continua.
97
Cuando la nominal es anticipada...
Cuando la tasa de interés nominal se liquida
anticipada, la fórmula de la tasa de interés efectiva se
convierte en






ief  1
inom
n






n
1
Excel no tiene una fórmula diseñada para este caso.
100
Tasa de interés nominal
La tasa interés nominal a partir de la tasa de interés
efectiva anual es:
i
nom



 


 n  1 i
1
n

ef 

1






Donde:
ief
= tasa de interés efectiva anual
n
= número de veces que se liquida durante el
período
inom = tasa de interés nominal por período,
liquidada vencida
101
Tasa de interés nominal en Excel
En Excel
=TASA.NOMINAL(interés efectivo;num. períodos)
interés efectivo = tasa de interés efectiva anual
num. períodos = número de veces que se liquida
durante el año.
Esta tasa nominal anual, liquidada vencida.
102
Relación entre tasa periódica y nominal
Tasa de interés periódica es igual a tasa de
interés nominal dividida por el número de
períodos
ip = inom/n
y viceversa
inom =n x ip
103
Transformaciones entre tasas nominales
En las transformaciones entre tasas de interés
nominales
debe
distinguirse
entre
transformaciones con períodos de liquidación
iguales y desiguales.
Para el caso de períodos de liquidación iguales:
104
Transformaciones entre tasas nominales
T asa
n o m in al
C álculo d e
tasa
p eriódica
E q uivalen cia N u eva tasa
n o m in al
A n ticip ad a
i a = i no m /n
i v = i a /(1 -i a )
n x iv
V en cid a
i v = i no m /n
i a = i v /(1 + i v )
n x ia
105
Transformaciones entre tasas nominales
Para períodos de liquidación diferentes: Con la
inom v con período de liquidación n1 se calcula la
tasa efectiva y con esta última se calcula la
nueva inom n2. Para llegar a la tasa nominal
vencida si se tiene una anticipada se utiliza
primero el procedimiento para convertir de tasa
anticipada a vencida con igual período.
106
Transformaciones entre tasas nominales
inom a n1 
inom a n2 = iaxn2
ia = inom a/n1 
ia = iv/(1+iv) 
iv = ia/(1-ia) 
iv = inom v/n2 
inom v = ivxn1 
ief 
inom v n2 
107
Ejemplo
T a s a n o m in a l a n t ic ip a d a
d e 2 4 % a n u a l t r im e s t r e
a n t ic ip a d o 4 p e r ío d o s
S e c o n v ie r t e a t a s a d e
in t e r é s n o m in a l a n t ic i p a d a n 2 p e r ío d o s in o m a

= 1 1 ,6 4 0 % x 2 = 2 3 , 2 8 0 %
T a s a d e in t e r é s p e r ió d ic a
a n t ic ip a d a

S e c o n v ie r t e a t a s a d e
in t e r é s p e r ió d ic a n t ic i p a d a ia =
ia = 2 4 % / 4 = 6 %

1 3 , 7 4 3 % / (1 + 1 3 ,7 4 3 % )= 1
1 ,6 4 0 %
S e c o n v ie r t e a t a s a d e
in t e r é s p e r ió d ic a v e n c id a

S e c o n v ie r t e a t a s a d e
in t e r é s p e r ió d ic a v e n c id a
2 p eríod os
iv = 6 % / (1 -6 % )= 6 ,3 8 3 %

iv = 2 6 ,3 4 7 % / 2 = 1 3 ,1 7 3 %
S e c o n v ie r t e a n o m in a l
v e n c id a
in o m v =
6 ,3 8 3 % x 4 = 2 5 ,5 3 2 %

S e c o n v ie r t e a h o r a a t a s a
d e in t e r é s e fe c t iv a c o n la
fó r m u la o c o n la fu n c ió n
de Excel
ie f= 2 8 , 0 8 2 %


S e c o n v ie r t e a t a s a n o m in a l v e n c id a c o n la
fó r m u la o c o n la fu n c ió n
d e E x c e l c o n 2 p e r ío d o s
26,34 7% sem estre v en c id o
108
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tasas de interés nominales.