Materia Condensada. Sistemas Complejos
Problemas 1 - 3
1
Problema 1


u 1  a  xˆ  yˆ  zˆ ; u 2  a (  xˆ  yˆ  zˆ )
Los vectores
de dos de las diagonales de un cubo.
están en las direcciones
z

u2

u1
y
x

a
u 1   xˆ  yˆ  zˆ 
2

a
u 2  (  xˆ  yˆ  zˆ )
2
 
3 2
u 1  u 2  a cos  ;
4
 a  3 a cos   cos   
2
2
2
 
a
u1  u 2  
4
1
3
   109 . 47 
2
Problema 2
001 
100 
sc (100 )  intersecci ón fcc 202  " fcc " (101 )
sc ( 001 )  intersecci ón fcc 022  " fcc " ( 011 )
3
Problema 3
4
Problema 3
a
c/2
p
q
l
l=p+q
5
q
a
q
c/2
a
l
p a/2
q
a/2
a/2
 tan 30 
l
 tan 30 
a/2
l
 l 
3
p
p
1

a
2
c
2
2
q    a
2
3
2
1
3
1
 2 a2  8 2
  a
c  4  a 
3  3

2
3
ql p
2
3
l
a
c
8
a  1 . 633 ...
3
3
6
Problema 4: Red hexagonal
Los vectores de traslación primitivos de la red hexagonal pueden tomarse como
1/ 2
 3 a
a  
 2

a
 xˆ    yˆ
2


 31 / 2 a
b   
 2

a
 xˆ    yˆ
2


c  c zˆ
(a) Mostrar que los vectores a y b tienen el mismo módulo. Determinar el
ángulo que hacen entre ellos.
(b) Mostrar que el volumen de la celda primitiva es V Celda 
3
1/ 2
2
a c
2
sigue
(c) Mostrar que los vectores de traslación primitivos de la red recíproca son

 2
a *   1/ 2
3 a

 2 
ˆ
x



 yˆ

 a 

  2 
 2 
 2 
b *    1 / 2  xˆ  
 yˆ c  
 zˆ
3 a
 a 
 c 
¿A qué estructura cristalina pertenece la red recíproca? Qué puede decirse de
su orientación relativa a la red directa?
(d) Intente hacer un esquema de la primera zona de Brillouin (es la celda
unitaria de la Red Recíproca) y calcule su volumen; puede usarse la identidad
 
 
   
c  a   a  b  c  a  b a

  

Problema 5: análisis del difractograma del -Fe (bcc) tomado con radiación de
ánodo de Cu (K)
Usando la condición de Bragg
n   2 d hkl sin  ,

2 n
K hkl 
,
d hkl
el resultado

K hkl  a *
y el hecho de que para una red cúbica
con a * 
2
h k l
2
2
2
,
a
Verificar que
d hkl 
na
h k l
2
2
2
sigue
A partir del siguiente difractograma determinar el parámetro de red (a) de la
celda cúbica bcc del Fe.
Fe bcc
o
 K   1 . 542 A
( 310 )
Materia Condensada. Sistemas Complejos
Clase 3
11
Red recíproca
Vectores de la RR




K hkl  h a *  k b *  l c *
 h , k , l índices
de Miller

Los módulos de los vectores de la RR son inversamente
proporcionales a la distancias entre planos de la RD

K hkl
d hkl
planos de

2 n
K hkl 
d hkl
Bragg hkl
Estos planos se designan por los índices de Miller h, k, l, que son las
componentes del vector RR en la base a*, b*, c*.
base del espacio recíproco 3d
12
Red recíproca
En el caso de la red cúbica simple
     /2

2 ˆ
b* 
b
a

2
a* 
aˆ
a
 a * 2

K
2



 h a *  kb *  lc *


K 

2
2
 h a *   k
2
2
a
h k l
2

2
c* 
cˆ
a
 b *    c *  
2
2
a b  c
2
2
2
4
a
versor
2
2
b * 2  l 2 c * 2

4
a
2
2
h
2
k l
2

2 n
K hkl 
d hkl
13
2

Red recíproca

K 
2
a
2
h k l
2
2
2
Consideramos ahora las distancias entre planos
de algunas familias
hkl   100 
a
2
h k l
2
2
2
 a  d 100
14
Red recíproca
hkl   110 
hkl   111 
a
2
h k l
2
2
a

2
2
h k l
2
2
2
2
a

a
3
2 d 110
 d 110
 d 111
15
Red recíproca
En general:
hkl 
a
2
h k l
2

K 
2
a
2
h k l
2
2
2
2
2
 d hkl

2
K 
d hkl
16
Red recíproca
Ejemplos de Redes Recíprocas para diferentes redes directas
z
Red cúbica simple

c
Red directa

a  a uˆ a

b  a uˆ b

c  a uˆ c

b
y

*
b
y

a
x
z
*
c
Red recíproca

a *  a * uˆ a

b *  a * uˆ b
*
a

c *  a * uˆ c
x
La red recíproca de una red CS en el espacio r es también una red CS pero
en el espacio k
17
Cuanto mayor es la celda CS del espacio r menor es la del espacio k
Red recíproca
Red cúbica centrada en el cuerpo
Red directa
celda primitiva
Vectores de una
celda primitiva
para la red bcc
 a
a    xˆ  yˆ  zˆ 
2
 a
b   xˆ  yˆ  zˆ 
2
 a
c   xˆ  yˆ  zˆ 
2
18
Red recíproca
Vectores de la celda primitiva de la red recíproca de una red directa bcc
2

a* 
a
 yˆ  zˆ 

2
 xˆ  zˆ 
b* 
a
2

 xˆ  yˆ 
c* 
a
La red recíproca de una red
directa bcc es una red fcc
19
Red recíproca
Red cúbica centrada en las caras
Red directa
Vectores de una
celda primitiva
para la red fcc
 a
a   yˆ  zˆ 
2
 a
b   xˆ  zˆ 
2
 a
c   xˆ  yˆ 
2
20
Red recíproca
2

  x  y  z 
a* 
a

2   
x  y  z 
b* 
a
2   

x  y  z 
c* 
a
La red recíproca de una red
directa fcc es una red bcc
21
Análisis de Fourier
La periodicidad de la red




t m  m1a  m 2 b  m 3c
implica que la densidad electrónica es una función periódica de r con períodos
a, b y c en las tres direcciones cristalinas principales.
 

n r  t m   n r 
Tal periodicidad brinda una situación ideal para el análisis de Fourier.
22
Análisis de Fourier
Un desarrollo de Fourier de una función periódica es una serie infinita de
términos. Cada término viene dado por una función “base” del mismo período
multiplicada por un factor de peso. Son comunes los desarrollos en series de
senos y cosenos. Por ejemplo, en una dimensión:
n  x  ma   n  x 
1d
nx  
 n
c
j
período a

cos k j x   n sin k j x 
s
j
j
k j  2 j / a  ja *
j  1,  Z
El conjunto de n j  es único , es decir cada función posee un desarrollo único
Alternativamente puede usarse una expresión compleja
nx  
n
j
j
exp ik j x 
exp ik j x   e
ik j x
 cos k j x   i sin k j x 
23
Análisis de Fourier
a
ejemplo 1d
j 1
nx  
n
j
exp ik j x 
j
k j  2 j / a
k j  ja *
j2
j3
j3
x
“vector” de la red recíproca
24
Análisis de Fourier
Ejemplo 1d
f x  
g
i
K
e
2  px
a
p
1d
index.html
gK 
1
a

a
0
dxf  x e
i
2  px
a
25
Análisis de Fourier
densidad electrónica tridimensional
3d
 

n r  t m   n r 
a n(r) le corresponde el desarrollo en serie:

n r  
n

K

K
e
 
iK r
1 
Desarrollo en serie de Fourier (3d)
26
Análisis de Fourier

n r  
n

K

K
e
 
iK r
1 

Los vectores K  K x , K y , K z ,  red recíproca
 
n r  t m  
n

K

K
e
  
iK   r  t m


n

K

K
e
 
iK  r
e
 
iK  t m

n

n  r  tiene la periodicidad de ambas
redes.

K

K
e
 
iK  r

 n r 
27
Análisis de Fourier

n r  
n

K

K
e
 
iK r
1 
Los nK vienen dados por:
n K 
1
V celda

celda
  i K  r
dVn  r e
2 
28
Transformada de Fourier
Definimos la transformada de Fourier por

 k 
  
 
r , k continuos
 i k  r 
  r e d r ;
TF
Donde  es cualquier función bien comportada del espacio directo, no
necesariamente periódica. Por ejemplo puede ser la distribución de carga
electrónica n(r) en un átomo, una molécula, un líquido o un cristal.
La transformada inversa o antitransformada se define por


1
 r     k 
  
1
2 
3
 


 ik r
  k e dk
 
ATF
Cada estructura tiene su inversa o recíproca, por ejemplo si (r) describe la
red directa, entonces (k) es la red recíproca. Ambas descripciones
contienen la misma información.
29
Transformada de Fourier
generalizando
Para una red directa 3d




R  m1a  m 2 b  m 3 c

 
 r    ( r  R )
Se tiene una TF



 k   k  K hkl
 


Que corresponde a una red recíproca 3d





k  K hkl  h a *  k b *  l c *
Con
Condiciones
equivalentes
 
 
 
a  a *  b  b *  c  c *  2
ó

a *  2
 
b c
V
b *  2
 
c a
V

c *  2
 
a b
V
  
V  a  b c

30

Fin Clase
31
Red recíproca
La red recíproca es la transformada de Fourier de la red directa
Habíamos mostrado que


K hkl  t m  2   m 1 h  m 2 k  m 3 l 
e
 
iK t m
1
entonces
 
n r  t m  
n

K

K
e
  
iK   r  t m


n

K

K
e
 
iK  r
e
 
iK  t m

n

K

K
e
 
iK  r

 n r 
Es decir, n(r) tiene la periodicidad de la red.
Cada estructura cristalina tiene dos redes asociadas: la “directa” y la “recíproca”.
El patrón de difracción es un mapa de su red recíproca. Una imagen de
microscopía electrónica de alta resolución es un mapa de la red directa.
La red recíproca es una red en el espacio de Fourier asociado al cristal.
ex-28
Transformada de Fourier
Supongamos una sucesión de puntos equiespaciados a lo largo de una recta
en el espacio directo. Podemos describir la densidad de puntos de la red como


0
si
r

m
a

 



1
 r    ( r  m1 a )  

  ; a  a xˆ
   si r  m 1 a 
delta de Dirac
A partir de la definición de la TF se demuestra que

  2

 k  k 
h xˆ 
a



ex-29
Transformada de Fourier
Por lo tanto

  2

ˆ
 k  k 
hx 
a



Esta función corresponde a un conjunto de planos perpendiculares al eje x
equiespaciados en 2/a.
y
y
z
a
Red directa
x
kx
z
2 / a
Red recíproca
ex-30
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