Benemérita Universidad Autónoma
de Puebla
FCFM
Seminario del C.A. de P.C. y R.G.
Estudio del cambio en la topología de la imagen en
sistemas ópticos convencionales, y en el caso de la
lente de Schwarzschild
M.C. Edwin Román Hernández
02 de Junio de 2010
Objetivo
El objetivo de este trabajo es estudiar el cambio en la topología de la imagen en sistemas
ópticos convencionales, es decir, espejo y lentes simples, y en el caso de la lente de
Schwarzschild. Para lograr nuestro objetivo usamos óptica geométrica y el teorema de Berry de
la cáustica, the caustic-touching theorem. Más explícitamente, para los sistemas ópticos
convencionales se obtienen expresiones que describen a los frentes de onda asociados con los
rayos de luz reflejados por una superficie suave arbitraria después de haber sido emitidos por
una fuente puntual situada en una posición arbitraria en el espacio. Las definiciones de conjunto
crítico y conjunto cáustico del mapeo que describe la evolución de los frentes de onda reflejados
o refractados, asociados con la integral general, son usadas para encontrar la cáustica. Para
esto, obtenemos una expresión para la función k asociada con la integral general de Stavroudis
de la ecuación iconal que describe la evolución de los rayos de luz. Estos resultados son
aplicados al caso de un espejo parabólico. En la lente de Schwarzschild se obtienen las
ecuaciones que describen la evolución de los rayos de luz deflectados por una lente
gravitacional. Las cuales son vistas como una representación paramétrica de un mapeo entre
dos subconjuntos de R3. Apartir de éste mapeo se calcula la cáustica y se usa nuevamente el
teorema de Berry para estudiar el cambio de la topología de un objeto.
Introducción
•Ecuación Iconal
•O.N. Stavroudis
•D.Shealy
Integral completa
Una solución particular
Partimos de la ecuación
Y por definición, la envolvente de los frentes de onda está dada por
(7)
En donde
Y los puntos que pertenecen a la envolvente de los frentes de onda
Y entonces
(9)
Se muestra que
Y entonces, la nueva solución (solución particular) está dada por
(10)
Esta nueva solución es tal que sus frentes de onda asociados son esferas.
La integral general
Partimos de
(11)
Los frentes de onda asociados con esta familia de soluciones o integral completa
están dados por
(12)
y la envolvente de la familia de frentes de onda está dada por
(13)
Un cálculo directo muestra que
(14)
Resolviendo para
y
obtenemos que
(15)
La cual es la integral general obtenida por Stavroudis.
La Cáustica
(16)
Está dado por
(17)
En donde , un cálculo directo muestra que
(18)
En donde
Entonces, el conjunto crítico está dado por
(19)
En donde
(20)
Y entonces, la cáustica asociada con la evolución del frente de onda (Ec. 14) es
Cálculo de la función k
(21)
(22)
La longitud de camino óptico
(23)
y se puede reescribir como
(24)
de donde
(25)
con
(26)
El espejo parabólico
Intersección de algunos frentes de onda reflejados con el plano Y=0, con c=1/2415mm y
s1=0, s2=0, s3=2400mm.
Las dos ramas de la cáustica,
(a) la parte positiva y (b) la
parte
negativa,
para
s1=200mm,
s2=200mm,
s3=2400mm, y c= 1/2415mm
Intersección
de
la
cáustica con algunos
planos
Z=cte, para
s1=200mm, s2=200mm,
s3=2400mm.
Algunos frentes de onda reflejados, antes, dentro y después de la cáustica
Estudio del cambio de la topología, the
caustic-touching theorem
(27)
Sobre el eje óptico, plano z0=-710
Cáustica, para s3=1350mm
(a) Rejilla de Ronchi y cáustica, Rc=18.28mm, (b)
Ronchigrama.
Estudio del cambio de la
topología para la imagen de una
fuente lineal. Se observa que
aparece una segunda imagen
cuando la fuente toca a la
cáustica, mientras que desaprece
esta segunda imagen cuando la
fuente lineal toca el centro del
círculo, que tambien es parte de
la cáustica.
Fuera del eje óptico, plano z0=-710
(a) Rejilla de Ronchi y cáustica para
s1=500 mm, s2=0, s3= 1350 mm, (b)
ronchigrama.
Estudio del cambio de la topología de la imagen de una fuente lineal, se observa claramente
cóm aparecen y desaparecen imágenes cuando la fuente toca de manera tangente a la
cáustica.
Fuente lineal con una inclinación de  / 4
(a) Rejilla de Ronchi y cáustica para s1=500 mm,
s2=0, s3= 1350 mm, (b) ronchigrama.
(a) Rejilla de Ronchi y cáustica, (b) patrones
del tipo serpentina
Estudio del cambio de la topología de la imagen de una fuente lineal, se observa claramente cóm aparecen
y desaparecen imágenes cuando la fuente toca de manera tangente a la cáustica.
Lentes Gravitacionales
ˆ 
4 GM
2
c r

2 Rs
r
Sistema óptico
Caustica
asociada
con
una
lente
gravitacional, para un frente de onda plano y
con Rs=3km, r=300km. Se observa una
cáustica virtual(curva rosa), los rayos de luz
virtuales(línea azul), los rayos de luz
incidentes y deflectados (línea negra) y la
cáustica real (línea roja).
Estudio del cambio de la topología
El cambio en la topología de una
fuente lineal para los casos en
que T1=10km, 50km,100km y
200km,
respectivamente,
la
sombra que se observa
es
debida a que los rayos de luz que
no pueden cruzar a través de la
lente gravitacional.
Se observa el mapeo
punto a punto, cuando
T1=100km, en (a) la
fuente lineal y (b) su
correspondiente imagen
Arreglo que describe el mapeo entre puntos del espacio objeto y puntos del espacio
imagen.
El caso de una fuente elípitica, atravesando el conjunto cáustico y su correspondiente imagen
El caso de una fuente circular, atravesando el conjunto cáustico y su correspondiente imagen
Conclusiones
•
Cuando la lente puntual está situada sobre el eje óptico, el ronchigrama obtenido es
similar al que se obtiene para el caso de un espejo esférico.
•
Cuando la fuente puntual está fuera del eje óptico y una de las bandas de Ronchi “toca”
a la cáustica en una singularidad de tipo cúspide, el ronchigrama es similar al que se
obtiene para el caso en que la fuente está sobre el eje óptico.
•
Si ni una de las bandas de Ronchi “toca” a la cáustica en alguna singularidad de tipo
cúspide, entonces el ronchigrama no contiene círculos.
•
No siempre aparecen o desaparecen imágenes a partir de un solo punto aislado.
•
Se pudo determinar la configuración necesaria para obtener los patrones conocidos
como del tipo serpentina.
•
Se estudió el fenómeno en la lente de Schwarzschild
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