Movimiento sobre una superficie
parabólica
En el proyecto se
describirá el
movimiento de una
partícula de masa m,
que parte del reposo
desde la posición x0 y
se desliza a lo largo
de una superficie
parabólica en posición
vertical cuya ecuación
es y=ax2/2.
Ecuaciones del movimiento
Las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en
la posición x, moviéndose hacia la derecha son:
El peso, mg
La reacción de la superficie, N
La fuerza de rozamiento, Fr=μN, siendo μ el coeficiente de
rozamiento
Cuando la partícula en el instante t, se encuentra en la posición x,
el vector velocidad v (cuya dirección es tangente a la trayectoria)
forma un ángulo θ con el eje X.
Movimiento hacia la derecha
La partícula inicialmente en reposo, parte
de la posición x0, y se moverá hacia la
derecha si la componente tangencial del
peso es mayor que la fuerza de
rozamiento
mgsen|θ0|≥μsmgcosθ0
tan|θ0|≥μs
Siendo μs=μ el coeficiente de rozamiento
estático
Descomponemos las fuerzas, y
escribimos las ecuaciones del movimiento
a lo largo del eje X y del eje Y
Relacionamos x e y y sus derivadas respecto del tiempo t
Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento, nos queda la
ecuación diferencial
(1)
Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos,
con la condición inicial de que la partícula está en reposo
vx=dx/dt=0 en el instante t=0, cuando se encuentra en la
posición x0.
Posición de pausa
La partícula se mueve hacia la derecha,
hasta que se para momentáneamente en
la posición x1. Para calcular esta posición
trasformamos la ecuación diferencial de
segundo orden en una de primer orden.
Integramos la ecuación diferencial entre
x0 ó θ0 donde la velocidad es 0 y x ó θ
donde la velocidad de la partícula es vx.
En la posición θ=θ1 la velocidad es cero,
esta posición se calcula poniendo vx=0
en la ecuación anterior y resolviendo la
ecuación trascendente
Una vez calculado la raíz θ1, se calcula la
posición x1 a partir de tanθ1= a·x1
(2)
(3)
Movimiento hacia la izquierda
Cuando la partícula llega a la posición x1,
se para momentáneamente e inicia el
camino de vuelta si la fuerza de
rozamiento es menor que la componente
tangencial del peso
mgsenθ1≥μmgcosθ1
tan θ1≥μ
La fuerza de rozamiento cambia de
sentido, y las ecuaciones del movimiento
son
Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento nos queda la
ecuación diferencial
Es la misma ecuación que hemos obtenido anteriormente (1)
cambiando μ→-μ
La partícula sale de la posición x1 se mueve hacia la izquierda y
se para en la posición x2, que se obtiene resolviendo la ecuación
trascendente (3) en la que se ha efectuado el cambio μ→-μ
Una vez calculado la raíz θ2, se calcula la posición x2, tal que
tanθ2= a·x2
Y así sucesivamente, hasta que el ángulo tan|θn|<μ
Trabajo de la fuerza de rozamiento
Fr=μN es la fuerza de rozamiento
dr es el vector desplazamiento cuyo
módulo es ds.
Calculamos la reacción N de la superficie
La ecuación del movimiento en la
dirección normal es
donde ρ es el radio de curvatura y el
punto C el centro de curvatura
Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula (2)
vale
La reacción de la superficie N es
Calculamos el trabajo W
Balance energético
Podemos calcular el trabajo W, como diferencia entre la energía final (cuando la partícula se
encuentra en la posición x) y la energía inicial 8cuendo la partícula se encuentra en la
posición x0)
Expresamos las variables y y v en función del ángulo θ de la tangente a la curva.
Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula (2) vale
Después de realizar algunas operaciones llegamos a la misma expresión para el trabajo W.
Ejemplo
Sea la parábola y=x2, con a=2.0.
El coeficiente de rozamiento vale μ=0.1
La partícula sale de la posición x0=-2.0.
1.
Determinar la velocidad de la partícula
punto más bajo de la trayectoria x=0.0
El ángulo que forma la recta tangente a la
el punto x0=-2.0 es
tanθ0=ax0, θ0=-1.32 rad
El ángulo que forma la recta tangente a la
el punto x=0.0 es θ=0.0 rad.
Calculamos la componente X de la
continuación, el módulo de la velocidad v.
cuando pasa por el
curva con el eje X en
curva con el eje X en
velocidad
vx
y
a
2.
Posiciones de pausa
La posición de pausa se calcula resolviendo la ecuación
trascendente
como tanθ1>μ la partícula desliza hacia la izquierda, hasta que
se detiene momentáneamente en la posición que se calcula
resolviendo la ecuación trascendente en la que se ha sustituido
μ→-μ
como tan|θ2|>μ la partícula desliza hacia la derecha
y así sucesivamente, hasta que tan|θn|<0.1
3.
Efectuamos el balance energético entre las posiciones inicial
x=-2.0 y la posición x=0 .
Energía inicial cuando la partícula se encuentra en x0=-2.0
La energía final cuando la partícula se encuentra en x=0
Trabajo de la fuerza de rozamiento
Comprobamos que W=E-E0
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