Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
Solución Numérica
EDO- Ecuación Diferencial Ordinaria
Ecuacion Diferencial : Ecuaciones que involucran
variables dependientes y sus derivadas con respecto
a las variables independientes son llamadas
ecuaciones diferenciales .
Ecuacion Diferencial Ordinaria
:ecuaciones
diferenciales que involucran solamente UNA
variable independiente son llamadas ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Ecuación Diferencial Parcial : :ecuaciones
diferenciales que involucran dos o mas variables
independiente son llamadas ecuaciones diferenciales
parciales.
Soluciones de EDOs Analítica y
Numérica
Método de Solución Analítica
Método de Solución Numérica
y
y
t2, y2
t3, y3
t1, y1
y(0 )=b
t0 , y 0
t
t
Resolver la EDO para encontrar
una familia de soluciones.
Elije la solución que satisface
las condiciones iniciales
correctas. Encuentra una
fórmula analítica parar y(t)

t
t
t
Empieza con las condic. iniciales
Resuelve para pequeños tamaños
de paso (t).
Resuelve aprox. en cada t
Encuentra pares de puntos: (t0,y0),
(t1,y1), …

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias


La solución analítica de la ecuación diferencial
ordinaria así como ecuaciones diferenciales
parciales se llama la " solución de la forma cerrada”
Esta solución requiere que las constantes de la
integración estén evaluadas usando valores
prescritos de variable(s) independiente(s).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

En el mejor de los casos, solamente algunas
ecuaciones diferenciales se puede solucionar
analíticamente en una forma cerrada.

En la mayoría de los problemas prácticos de la
ingeniería que implican ecuaciones diferenciales
requieren el uso de métodos numéricos.
Metodos de un solo paso

El objetivo consiste en solucionar una EDO en
forma discreta, obteniendo un nuevo punto a partir
de un punto anterior
(xi+1, yi+1)=Ѳ(xi ,yi, h)
h
y
yi+1
yi
y(x)
x
xi
xi+1
Método de Taylor de orden “k”
Sea una EDO de primer orden:
y  f x, y 
y x0   y0
x  a , b 
Podemos usar la serie de Taylor para aproximar la solución de la
EDO, haciendo:
y '  x i   y 'i
Método de Taylor de orden “k”
Podemos plantear el algoritmo siguiente:
Dado : x 0 , y 0 y h
Para i  1, 2 , 3 , 
x i 1  x i  h
y i  1  y i  h y i '
h
2
2!
y i ' '
h
3
3!
y i ' ' '  
h
k
k!
Siendo E el error de truncamiento.
E 
h
k 1
 k  1 !
y
 k 1 
 
x i    x i 1
yi
k 
Método de Taylor de orden “k”
Ejemplo:- Estime y(x) para x=0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5, usando
Taylor de orden 3
y'
1
2
1  x  y 2
y 0   1
Solución
y''
1
2
y  1  x  yy '
2
y ' ' '  2 yy ' 1  x  y '   1  x  yy ' '
2
Método de Taylor de orden “k”
x0  0
y0  1
para n  0 , ..., 4
x n 1  x n  h
y n  1  y n  hy n '
h
2
2
y n ' '
h
3
6
yn '''
Método de Taylor de orden “k”
Exacto :
y x  
4
4  2x  x
2
Método de Taylor de orden “k”
Metodo de Euler

Permite resolver una EDO de primer orden de la
forma: dy
 f x, y 
dx
y x0   y0
Dado
x0 , y0  y
h
h
y
yi+1
yi
Para n  0 , 1, 2 , 
x
x n 1  x n  h
y n  1  y n  hf  x n , y n 
xi
xi+1
Valor nuevo = Valor anterior + (Tamaño del paso) x (Pendiente)
Metodo de Euler



La primera derivada proporciona un estimado
directo de la pendiente en xi
La ecuación es aplicada iterativamente, un paso
a la vez, sobre una distancia pequeña para
reducir el error
Por esto se conoce como método de un solo
paso.
EJEMPL0
Para la condición inicial y(1)=1, determine y para
h = 0.1 analíticamente y usando el método de
Euler:
dy
dx
= 4x
2
dy
 4x
2
dx
I.C. y  1 at x  1
y 
4
x C
3
3
C  
1
3
y 
4
3
x 
3
1
3
y  1.1   1.44133
dy
 4x
2
dx
y i 1  y i  h
2

y  1 .1   y  1   4  1    0 .1   1 .4


N o te :
2

y  1 .1   y  1   4  1    0 .1 


C.I..
dy/dx
Tamaño del
paso
Recordar la solución analítica fue 1.4413.Si
reducimos el tamaño del paso a 0,05 y
aplicamos Euler dos veces
Obtenemos:
2

y(1.05)  y(1)  4 1   1.05  1.00   1  0.2  1.2


2

y  1.1   y  1.05   4  1.05   1.1  1.05   1.4205


Recordar la solución analítica es 1.4413
Análisis del Error -Método de
Euler
Error de truncación - causado por la naturaleza
de la técnica empleada para aproximar los valores
de y
 Error local de truncación (a partir de la Serie de
Taylor)
 Propagación del error de truncación
 Suma de los dos es el error global
Error de Redondeo – causado por el numero
limitados de dígitos significativos que pueden ser
retenidos por computadora o calculadora
Método de Euler – Ejemplo
0.8
0.6
y'  y  1
y 0   0
0.4
y
h  0 .1
Numeri cal
0.2
Exact
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
0
t
solución Analítica y  1  e
t
Método de Euler – Ejemplo
n
tn
yn
fn= - yn+1
yn+1= yn+t fn
0
0
0.000
1.000
0.100
1
0.1
0.100
0.900
0.190
2
0.2
0.190
0.810
0.271
3
0.3
0.271
0.729
0.344
4
0.4
0.344
0.656
0.410
5
0.5
0.410
0.590
0.469
6
0.6
0.469
0.531
0.522
7
0.7
0.522
0.478
0.570
8
0.8
0.570
0.430
0.613
9
0.9
0.613
0.387
0.651
Método de Euler Mejorado o
Heun



Un error fundamental en el método de Euler es
que se asume la derivada en el principio del
intervalo para aplicarse a través de todo el
intervalo.
Una simple modificación será demostrada.
Esta modificación pertenece realmente a una clase
más grande de las técnicas de solución llamadas
Runge-Kutta que exploremos más adelante.
Método de Heun
Considere la siguiente expansión de Taylor:
Aproxime f’ con una diferencia progresiva
f '  x i , yi  
f  x i 1 , y i 1   f  x i , y i 
h
Método de Heun
Substituyendo en la expansión
 f i 1  f i  h
h

h

 2
2
y i 1  y i  f i
 f i 1  f i
 yi  
2


h

Método de Heun
Determine las derivadas para el intervalo
 Punto inicial
 Punto final (basado en el paso de Euler a partir del punto
inicial)
Use el promedio para obtener una estimación mejorada de la
pendiente para el intervalo completo
Podemos pensar en el paso de Euler como paso de prueba.
y
Evaluar la pendiente en xi
La proyección consigue f(xi+1 )
Basado en el tamaño del paso h
h
xi
xi+1
y
h
xi
xi+1
y
Ahora determine la pendiente
en xi+1
xi
xi+1
y
xi
xi+1
Tomar los promedios de estas
dos pendientes
y
xi
xi+1
y
Use esta pendiente
“promedio” para predecir
yi+1
xi
xi+1
{
y i 1  y i 
f  x i , y i   f  x i 1 , y i 1 
2
h
y
Use esta pendiente
“promedio” para predecir
yi+1
xi
xi+1
{
y i 1  y i 
f  x i , y i   f  x i 1 , y i 1 
2
h
y
y i 1  y i 

f  x i , y i   f x i 1 , y i 1
h
2
y
xi
xi+1
xi
xi+1
x
y i 1  y i 
f  x i , y i   f  x i 1 , y i 1 
h
2
y
y i 1  y i   h
xi
xi+1
x
Metodo de Euler Mejorado
(Heun)

Permite resolver una EDO de primer orden de la
forma:
x0 , y0  y h
Dado
dy
 f x, y 
Para n  0 , 1, 2 , 
dx
y x0   y0
x n 1  x n  h
y
*
n 1
 y n  hf  x n , y n 
y n 1  y n  h

f  x n , y n   f x n 1 , y
2
*
n 1

Metodo de Euler Mejorado
(Heun)
x0  1
Ejemplo
y0  1
y '  2 xy
h  0 .1
y 1   1
x1  x 0  h  1 . 1
h  0 .1
y
y 1 . 5  ??
*
1
 y 0  hf  x 0 , y 0   y 0  h  2  x 0 y 0   1 . 2
y1  y 0  h
y1  y 0  h
y 1  1 . 232

f  x 0 , y 0   f x1 , y 1
2

2  x 0 y 0   2 x1 y 1
2
*

*

Metodo de Euler Mejorado
(Heun)
Ejemplo
Metodo de Runge-Kutta de
orden 2

A partir del método de Heun podemos deducir el
método de Runge-Kutta
dy
dx
 f x, y 
y x0   y0
Dado
x0 , y0  y
h
Para n  0 , 1, 2 , 
x n 1  x n  h
k 1  hf  x n , y n 
k 2  hf  x n  h , y n  k 1 
y n 1  y n 
k1  k 2
2
Metodo de Runge-Kutta de
orden 2

Ejemplo
x0  1
y0  1
dy
 2 xy
dx
y 1   1
y 1 . 1  ??
h  0 .1
x1  x 0  h  1 . 1
k 1  hf  x 0 , y 0   h  2 x 0 y 0   0 . 2
k 2  hf  x 0  h , y 0  k 1   h  2  x 0  h  y 0  k 1   0 . 264
y n 1  y n 
k1  k 2
 1 . 232
2
Se obtienen los mismos resultados que el método de Euler
Mejorado
Metodo de Runge-Kutta de
orden 4
Dado
x0 , y0 
y h
Para n  0 , 1, 2 , 
dy
dx
 f x, y 
y x0   y0
x n 1  x n  h
k 1  hf
xn , yn 
h
k 

k 2  hf  x n 
, yn  1 
2
2 

k3
h
k2 

 hf  x n 
, yn 

2
2 

k 4  hf
xn
y n 1  y n 
 h, yn  k3 
k1  2 k 2  2 k 3  k 4
6
Metodo de Runge-Kutta de
orden 4
x0  1
y0  1
h  0 .1
x1  x 0  h  0 . 1
dy
k 1  hf2 xy
x 0 , y 0   h  2  x 0 y 0   0 . 2
dx
h
k1 
h 
k1 




k 2y 
hf
x

,
y


h
2
x

y

1   1 0

 0
 0
  0 . 231
0
2
2 
2 
2 


k3
h
k2 
h 
k2 


 hf  x 0 
, y0 
  h  2  x 0 
 y 0 
  0 . 234255
2
2 
2 
2 


k 4  hf
x0
y1  y 0 
Valor
 h , y 0  k 3   h  2  x 0  h  y 0  k 3   0 . 2715361
k1  2 k 2  2 k 3  k 4
exacto
6
 1.23367805
 1 . 23367435
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Los métodos para solucionar una ecuacion
diferencial de primer orden pueden ser adaptados a
la solución de sistemas de primer orden.
dy 1
dx
dy 2
dx
 f 1  x , y1 , y 2 ,  , y n 
y1  x
 f 2  x , y1 , y 2 ,  , y n 
y 2 x
0 

y2
 f n  x , y1 , y 2 ,  , y n 
y n x
0 

yn
0 

y1
0 
0 

dy n
dx
0 
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Por ejemplo sea el siguiente sistema de dos
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden:
dy
dx
dz
dx
 f1  x , y , z 
y x0   y0
 f 2 x, y, z 
z x0   z0
Donde busca aproximar y(x) y z(x)
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Resolver el siguiente Problema de Valor Inicial que
consta de dos EDOs de primer orden:
dy
 x yz
dx
dz
dx
 x  yz
2
y 1   1
z 1   2
Donde busca aproximar y(1.2) y z(1.2)
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Plantearemos el algoritmo para el método de Euler:
x n 1  x n  h
y n  1  y n  hy n '
z n  1  z n  hz n '
x0  1
y0  1
z0  2
x n 1  x n  h
y n 1  y n  h  x n  y n  z n 

2
z n 1  z n  h x n  y n  z n

Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Reemplanzado valores:
x0  1
y0  1
z0  2
h  0 .1
x1  x 0  h  1 . 1
y1  y 0  h  x 0  y 0  z 0   1 . 4


2
z1  z 0  h x 0  y 0  z 0  2 . 2
x 2  x1  h  1 . 2
y 2  y 1  h  x1  y 1  z 1   1 . 87

2

z 2  z 1  h x1  y 1  z 1  2 . 401
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Se tiene una solución aproximada en forma
discreta:
n
xn
yn
zn
0
1
1
2
1
1.1
1.4
2.2
2
1.2
1.87
2.401
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Si queremos mejorar la exactitud del resultado
podemos usar un paso h mas pequeño o usar
Taylor, por ejemplo de orden 2 sería:
x n 1  x n  h
y n  1  y n  hy n ' h / 2 * y n ' '
2
z n  1  z n  hz n ' h / 2 * z n ' '
2
x n 1  x n  h
y n  1  y n  h  x n  y n  z n   h / 2 * 1  y n ' z n ' 
2


z n  1  z n  h x n  y n  z n  h / 2 *  2 x n  y n ' z n ' 
2
2
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
También se puede hacer una adaptación del método
de Runge-Kutta 2
x n 1  x n  h
k 1  hf  x n , y n , z n 
l1  hg  x n , y n , z n 
k 2  hf  x n  h , y n  k 1 , z n  l1 
l 2  hg  x n  h , y n  k 1 , z n  l1 
y n 1  y n 
1
z n 1  z n 
1
2
2
k1  k 2 
l1  l 2 
Ecuaciones Diferenciales
orden Superior
Los problemas de valor inicial de mayor orden
pueden ser transformados en un sistema de
ecuaciones diferenciales de primer orden.
n -1

d y
dy
d y
 g  t , y ,
, ,
n
n -1
dt
dt
dt

n




Ecuaciones Diferenciales
orden Superior
Por ejemplo, sea la EDO de tercer orden:
3
d y
dt
3
2

dy d y
 g  t , y ,
,
2
dt
dt

y t 0   y 0
dy
dt
t 0  
2
d y
dt
2
y '0
t 0  
y ' '0




Ecuaciones Diferenciales
orden Superior
La EDO de tercer orden se transforma en un sistema
de 3 ecuaciones de primer orden:
dy
 z
dt
dz
 w
dt
dw
dt
 g t , y , z , w 
y t 0   y 0
z t 0  
dy
w t 0  
d y
t 0  
dt
2
dt
2
y '0
t 0  
y ' '0
Ecuaciones Diferenciales
orden Superior
Considere
una
ecuación
diferencial de segundo orden de
un sistema de masa y resorte
vibratorio
2
m
d x
dt
2
c
dx
 kx  0
dt
Las cond. iniciales son x(0) =x0
y x’(0) =0.
Ecuaciones Diferenciales
orden Superior
Re-escribir la ecuación:
2
k 
 c dx
 

x
2
dt
m 
 m dt
La primera derivada puede ser escrita:
d x
dx
dt
v y
dv
dt
2

d x
dt
2
Ecuaciones Diferenciales
orden Superior
La ecuación puede ser escrita como un conjunto
de dos ecuaciones de primer orden.
dx
v
dt
k 
 c
  v 
x
dt
m 
m
dv
Las condiciones iniciales: x(0) = x0 y v(0) = 0.
Sistemas de Valor Inicial
Problemas
Las ecuaciones pueden ser definidas:
dx
dt
 f 1 t , x , v   v
k 
 c
 f 2 t , x , v     v 
x
dt
m 
m
dv
Sistemas de Valor Inicial
Problemas
Podemos aplicar Euler:
x i 1  x i   t
dx i
v i 1  v i   t
dv
dt
dt
 x i   t f 1 t i , x i , v i 
 v i   t f 2 t i , x i , v i 
Diferenciales mayor-orden
Problemas Ejemplo
Considere una ecuación diferencial de segundo
orden para sistemas de masa-resorte vibrante.
2
d x
dt
2

k
m
2
x
d x
dt
2
 4x  0
Las condiciones iniciales son x(0) =0.2, x’(0) =0
y t = 0.02. (Solución Exacta = 0.2 cos(2t))
Problema Ejemplo
La ecuación puede ser escrita como un conjunto de
dos ecuaciones de primer orden.
dx
v
dt
dv
 4 x
dt
Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 y v(0) = 0.
Problema Ejemplo
El desarrollo del método de Euler.
t
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0,22
0,24
0,26
0,28
0,3
x
0,2
0,2
0,19968
0,19904
0,198081
0,196803
0,195208
0,193298
0,191076
0,188544
0,185707
0,182569
0,179133
0,175405
0,17139
0,167095
v
0
-0,016
-0,032
-0,04797
-0,0639
-0,07974
-0,09549
-0,1111
-0,12657
-0,14185
-0,15694
-0,17179
-0,1864
-0,20073
-0,21476
-0,22847
dx/dt
0
-0,016
-0,032
-0,0479744
-0,0638976
-0,07974404
-0,09548825
-0,11110486
-0,12656869
-0,14185476
-0,15693831
-0,1717949
-0,18640039
-0,200731
-0,21476338
-0,22847458
dv/dt
-0,8
-0,8
-0,79872
-0,79616
-0,79232205
-0,78721024
-0,78083072
-0,77319166
-0,76430327
-0,75417777
-0,74282939
-0,73027433
-0,71653073
-0,7016187
-0,68556022
-0,66837915
Valor exacto
0,2
0,19984002
0,19936034
0,19856173
0,19744546
0,19601332
0,19426759
0,19221109
0,18984708
0,18717936
0,1842122
0,18095033
0,17739898
0,17356384
0,16945102
0,16506712
Problema Ejemplo

Euler Example
Ejemplo
x i  1  x i   t * v i 

Se puede observar un
error que cada vez se
irá incrementando.
x
0.4
v
0.3
actual value
0.2
Displacement
v i 1  v i   t *  4 x i 
0.5
0.1
0
-0.1
0
0.5
1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
Time (t)
1.5
2
Problema Ejemplo
Las ecuaciones son definidas como funciones.
dx
dt
dv
dt
 f 1 t , x , v   v
 f 2 t , x , v    4 x
Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 and v(0) = 0.
Problema Ejemplo
Los componentes de Runge-Kutta:
k 1 ,1   t * f 1  t i , x i , v i 
k 1 , 2   t * f 2 t i , x i , v i 
k 2 ,1
t
1
1


  t * f1  t i 
, x i  k 1 ,1 , v i  k 1 , 2 
2
2
2


t
1
1


k 2,2   t * f 2  ti 
, x i  k 1 ,1 , v i  k 1 , 2 
2
2
2


k 3 ,1
t
1
1


  t * f1  t i 
, x i  k 2 ,1 , v i  k 2 , 2 
2
2
2


t
1
1


k 3,2   t * f 2  ti 
, x i  k 2 ,1 , v i  k 2 , 2 
2
2
2


k 4 ,1   t * f 1 t i   t , x i  k 3 ,1 , v i  k 3 , 2 
k 4 , 2   t * f 2 t i   t , x i  k 3 ,1 , v i  k 3 , 2 
ki,j donde i es el paso y j es la función.
Problema Ejemplo
La actualización de un sólo paso:
x i 1  x i 
1
v i 1  v i 
1
6
6
k
k
1 ,1
 2 * k 2 ,1  2 * k 3 ,1  k 4 ,1 
1, 2
 2 * k 2 ,2  2 * k 3,2  k 4 ,2 
Use los valores iniciales x(0) = 0.02 y v(0) = 0
Ejemplo Metodo de
th
Runge-Kutta de 4 Orden
t
x
v
k 11
k 12
k 21
k 22
k 31
k 32
k 41
k 42
Exacto
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,2
0,19984
0,19936
0,198562
0,197445
0,196013
0,194268
0,192211
0,189847
0
-0,016
-0,03197
-0,04788
-0,06373
-0,07947
-0,09508
-0,11054
-0,12583
0
-0,00031991
-0,00063932
-0,0009577
-0,00127455
-0,00158935
-0,00190162
-0,00221085
-0,00251653
-0,016
-0,0159872
-0,01594883
-0,01588494
-0,01579564
-0,01568107
-0,01554141
-0,01537689
-0,01518777
-0,00016
-0,00047979
-0,00079881
-0,00111655
-0,0014325
-0,00174617
-0,00205704
-0,00236461
-0,00266841
-0,016
-0,01597
-0,01592
-0,01585
-0,01574
-0,01562
-0,01547
-0,01529
-0,01509
-0,00016
-0,00048
-0,0008
-0,00112
-0,00143
-0,00175
-0,00206
-0,00236
-0,00267
-0,01599
-0,01597
-0,01592
-0,01584
-0,01574
-0,01561
-0,01546
-0,01528
-0,01508
-0,00032
-0,000639
-0,000958
-0,001275
-0,001589
-0,001902
-0,002211
-0,002516
-0,002818
-0,016
-0,016
-0,016
-0,016
-0,016
-0,016
-0,015
-0,015
-0,015
0,2
0,1998
0,1994
0,1986
0,1974
0,196
0,1943
0,1922
0,1898
dx
dt
dv
dt
 f 1 t , x , v   v
 f 2 t , x , v    4 x
Ejemplo Metodo de RungeKutta de 4th Orden

Los puntos tienen
menos error que el
método de Euler.
4th order Runge Kutta Example
0.5
v
0.4
x
0.3
actual value

La
aproximación
depende del tamaño
del paso del problema
Displacement
0.2
0.1
0
-0.1
0
0.5
1
1.5
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
Time (t)
2
2.5
Sistemas de EDO Problema Valor Inicial
Estas técnicas pueden trabajar con grandes
sistemas de ecuaciones para realizar una serie de
integraciónes del problema. Las ecuaciones se
pueden solucionar como serie de EDOs.
Sistemas de EDO Problema Valor Inicial
2
m1
d y1
dt
2
2
m2
d y2
dt
2
 c1
dy 1
dt
 k 1 y1  0
 dy 2 dy 1 
 c2 

  k 2  y 2  y1   0
dt 
 dt
Dando un conjunto de valores iniciales, y1,y2,y’1 e
y’2.
Sistemas de EDO Problema Valor Inicial
El problema es formado por 4 EDOs de primer orden
con cuatro variables y condiciones iniciales.
dy 1
dt
 v1
 c1

k1
 
v1 
y1 
dt
m1 
 m1
dv 1
dy 2
dt
 v2
 c2

k2
 v 2  v1  
 y 2  y 1 
 
dt
m2
 m2

dv 2
Sistemas de EDO Problema Valor Inicial
El problema puede ser escrito en el formato matricial
y solucionado por consiguiente
.
 dy 1
 dt
 dv
 1
 dt

dy
 2
 dt
 dv 2
 dt

  0
  k1
 

m1

 
0
  k
  2
  m 2


1
c1
m1
0
c2
m2
0
0

0
k2
m2

  y1 
0
  v 
1
 
1  y2
c2   
v 

 2
m 2 
0
Sistemas de EDO Problema Valor Inicial
Fuerzas pueden ser añadidas y fijadas para solucionar
las ecuaciones.
 dy 1
 dt
 dv
 1
 dt

dy
 2
 dt
 dv 2
 dt

  0
  k1
 

m1
 
0
  k
  2
  m 2


1
c1
m1
0
c2
m2
0
0

0
k2
m2

  y1 
0
  v 
1
  
1  y2
c2   
v 

 2
m 2 
0
0




 F1 sin  1t 


0


 F sin  t 
2 
 2
Sistemas de EDO Problema Valor Frontera
Cuando las condiciones la EDO se dan por lo menos
en algún punto diferente del valor inicial de la
variable independiente.
y" 
M x 
EI
Condiciones de Frontera
Condiciones Iniciales
y(0)=0
y(0)=0
y(L)=0
y’(0)=0
Método de Diferencias
Finitas
Sea la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:
y ' '  p  x  y ' q  x  y  r  x 
x  a , b 
y a   
y b   
Dividiendo el intervalo en (n+1) partes iguales
h 
ba
n 1
x0  a
x1  a  h
y x0   y0  
x 2  a  2 h  x n 1  b
y  x1   y 1  y  x n   y n
y  x n 1   y n 1  
73
Método de Diferencias
Finitas
Sean las fórmulas de diferenciación numérica para la primera
y segunda derivada
y 'i 
y ' 'i 
y i  1  y i 1
2h
y i  1  2 y i  y i 1
h
2
74
Método de Diferencias
Finitas
Reemplazando en la ecuación diferencial para cada nodo i=1, 2, …, n:
y ' 'i  p  x i  y 'i  q  x i  y i  r  x i 
75
Método de Diferencias
Finitas
Se tendrá un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:
Para i  1 : n
y i  1  2 y i  y i 1
h
2
 y i 1 
 y
 p  x i  i  1
  q  xi  yi  r  xi
2h



y0  
y n 1  
76
Método de Diferencias
Finitas
Agrupando:
Para i  1 : n
h


2
 1 
p  x i   y i 1  2  h q  x i
2



 y i
h


2
 1 
p  x i   y i 1   h r  x i
2



y0  
y n 1  
77
Método de Diferencias
Finitas
Luego:
h
h




2
2
 1 
p  x1   y 0  2  h q  x1  y 1   1 
p  x1   y 2   h r  x1 
2
2






h


2
 1 
p  x 2   y1  2  h q  x 2
2



 y 2
h


2
 1 
p  x2  y3   h r  x2
2




h


2
 1 
p  x n   y n 1  2  h q  x n
2



 y n
h


2
 1 
p  x n   y n 1   h r  x n
2



y0  
y n 1  
78
Método de Diferencias
Finitas
Expresado en forma matricial tenemos un sistema tridiagonal:

2
 
 2  h q x1

h
p x2 
 1 
2


0






0

1
h
2
p  x1 
2  h q x2
2
1
h

0

1
h
2
p  x3 
p x2






2  h q  x n 1 

0
2

h


2
p  x 1  
  h r  x1    1 
2



2
 h r x2 

 


2
 h r  x n 1 


h


2
p  xn  
 h r xn   1 
2



2
1
h
2












 y 
1



  y2 
   
0


  y n 1 
h
1
p  x n  1 
 y 
2
n 

2
2  h q xn  

0
p xn

79
Método de Diferencias
Finitas
Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:
y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e
y(0.5)=0.283. considere h=0.1.
Solucion.Discretización:
x0
x1
x2
x3
x4
X5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
y0
y1
y2
y3
y4
y5
0.1
??
??
??
??
0.283
80
Método de Diferencias
Finitas
Se usarán las siguientes fórmulas de diferenciación numérica:
y 'i 
y i  1  y i 1
y ' 'i 
2h
y i  1  2 y i  y i 1
h
2
Sea la ecuación diferencial para cada nodo “i”:
y " i  y 'i  2 y i  0
Para
i  1: 4
y i  1  2 y i  y i 1
h
2

y i  1  y i 1
2h
 2 yi  0
81
Método de Diferencias
Finitas
Reemplazando para cada nodo:
y 2  2 y1  y 0
h
2
y 3  2 y 2  y1
h
2
y4  2 y3  y2
h
2
y5  2 y4  y3
h
2

y2  y0
2h

y 3  y1
2h

y4  y2
2h

y5  y3
2h
 2 y1  0
 2 y2  0
 2 y3  0
 2 y4  0
82
Método de Diferencias
Finitas
Teniendo en cuenta que: y0=0.1, y5=0.283 y h=0.1
100 0 . 1   200 y 1  100 y 2  5 0 . 1   5 y 2  2 y 1  0
100 y 1  200 y 2  100 y 3  5 y 1  5 y 3  2 y 2  0
100 y 2  200 y 3  100 y 4  5 y 2  5 y 4  2 y 3  0
100 y 3  200 y 4  100 0 . 283   5 y 3  5 0 . 283   2 y 4  0
83
Método de Diferencias
Finitas
Planteando y resolviendo el sistema tridiagonal:
  202

105

 0

 0
95
0
 202
95
105
 202
0
105
 y 1   0 . 1238
  y 1    10 . 5 
  
  

y2
y
0
0
0 . 1527
   
   2  
 y 3   0 . 1879

95   y 3  
0
  
  

 202   y 4    26 . 885 
 y 4   0 . 2308
0






84
Método del Disparo
Sea la ecuacion diferencial de segundo orden con condiciones de frontera:
u "  g t , u , u ' 
u t 0   u 0
u b   B
Consiste en transformar el problema de valor frontera en un problema de
valor inicial, suponiendo una pendiente s, luego se desarrolla un método
numérico para encontrar uN(s), se compara con B, si estos valores no son
aproximados se sigue suponiendo pendientes hasta dar en el blanco B.
85
Método del Disparo
El problema de valor inicial resultante:
u "  g t , u , u ' 
u t 0   u 0
u ' t 0   s
86
Método del Disparo
87
Método del Disparo
88
Método de Disparo
Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:
y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e
y(0.5)=0.283. considere h=0.1.
Solución.-
b  0 .5
B  0 . 283
s0 
B  y0
b  x0

0 . 283  0 . 1
0 .5  0
 0 . 366
Luego debemos resolver el Problema de Valor Inicial:
89
Método de Disparo
Mediante un cambio de variable tendremos un sistema de dos
ecuaciones diferenciales de primer orden:
y' z
z' z  2 y
y 0   0 . 1
z 0   0 . 366
El cual lo resolvemos por Runge-Kutta de orden 4, como se puede
ver en la siguiente tabla:
90
Método de Disparo
Resultados mediante Runge-Kutta de orden 4:
s0
i
xi
yi
zi=y’i
0
0.0
0.1
0.36600
1
0.1
0.13966
0.42952
2
0.2
0.18643
0.50876
3
0.3
0.24204
0.60706
4
0.4
0.30861
0.72849
5
0.5
0.38867
0.87803
y 5 s 0 
Método de Disparo
Calculando una nueva pendiente aproximada s1:
s1  s 0 
B  y 5 s0 
b  x0
 0 . 366 
0 . 283  0 . 38867
0 .5  0
s1  0 . 15466
s1
i
xi
yi
zi=y’i
0
0.0
0.1
0.15466
1
0.1
0.11736
0.19369
2
0.2
0.13901
0.24090
3
0.3
0.16587
0.29815
4
0.4
0.19905
0.36770
5
0.5
0.23991
0.45232
y 5  s1 
Método de Disparo
Mediante interpolación lineal obtenemos la tercera pendiente s3:
s 2  s 0   s1  s 0 
B  y 5 s0 
y 5  s1   y 5  s 0 
 0 . 366  0 . 15466  0 . 366

0 . 283  0 . 38867
0 . 23991  0 . 38867
s 2  0 . 21588
s2
i
xi
yi
zi=y’i
0
0.0
0.1
0.21588
1
0.1
0.12382
0.26200
2
0.2
0.15274
0.31849
3
0.3
0.18793
0.38763
4
0.4
0.23078
0.47221
5
0.5
0.28300
0.57564
y 5  s 2   B  3 x10
6
y 5 s 2 