El sonido
A J Barbero. Dept. Física Aplicada. Curso 2004/2005
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1
NATURALEZA DEL SONIDO
• Onda mecánica
Las ondas sonoras están constituidas por ondas
mecánicas longitudinales que se propagan en un medio
gaseoso, líquido o sólido. Se producen cuando un
sistema físico, como una cuerda o una membrana tensa,
vibra y origina una perturbación en la densidad del
medio (compresiones y rarefacciones).
2
NATURALEZA DEL SONIDO
• Propagación
La perturbación se propaga a través del medio mediante la
interacción de las moléculas del mismo. La vibración de las
moléculas tiene lugar a lo largo de la dirección de propagación de
la onda. Sólo se propaga la perturbación; las propias moléculas
sólo vibran hacia delante y hacia atrás alrededor de sus posiciones
de equilibrio.
3
Sobrepresión
COMPRESIÓN/RARIFICACIÓN
4
FORMA DE ECUACIÓN DE ONDA
z ( x , t )  f ( x  vt )
z
f ( x  vt 2 )
f ( x  vt 1 )
x
5
ONDAS ARMÓNICAS
z ( x , t )  A cos( kx   t   0 )
v

T

2 / K
2 / 

Z

K
Perfil de la onda
armónica en t=0
X

2
2
K
K
 
2
K
6
ONDAS ARMÓNICAS
z ( x , t )  A cos( kx   t   0 )
Z
Perfil de la onda
armónica en x
t

2
2


T 
2

7
MOVIMIENTO ONDULATORIO: DOBLEMENTE PERIÓDICO

2
Elongación
k 

T
A
 
2
T
x t
Valor
instantáneo
App
Velocidad de propagación:
v
f RMS 
1
T
T
0
  f ( t )  dt
2

T

2 / K 

2 /  K
Raíz cuadrada de la suma de los desplazamientos
medios al cuadrado durante un periodo completo
8
SONIDO: ONDAS DE PRESIÓN
Presión en x, t
Presión estática
z ( x , t )  PEST  A cos( kx   t   0 )
Sobrepresión (MÁXIMA)
Máximos de presión
Mínimos de presión
9
Sistema mecánico vibrante.
Variaciones de densidad en el medio
Onda mecánica. Transporte de energía
P
Mayor amplitud de vibración
A
P
Frecuencia de vibración característica
(depende del sistema)
A
Menor amplitud de vibración
10
VELOCIDAD DEL SONIDO
Aumenta cuando aumenta la rigidez del medio
Sólidos > líquidos > gases
Figura 1
Velocidad del sonido en el aire en funcion de la temperatura
360
355
350
v (m/s)
345
340
335
330
0
5
10
15
20
T (C)
25
30
35
40
11
TONO y TIMBRE
El TONO es la cualidad del sonido asociada a su carácter
más o menos agudo. Las frecuencias altas corresponden
a tonos agudos, la frecuencias bajas a tonos graves.
El TIMBRE es la cualidad del sonido que permite
distinguir entre diversos sonidos aunque correspondan a
la misma frecuencia. Por ejemplo, se puede distinguir
entre una misma nota musical emitida por un clarinete y
por un piano.
ARMÓNICOS
12
ARMÓNICOS
En la vibración de un sistema físico no se produce una única frecuencia,
sino que la frecuencia característica viene acompañada de un conjunto de
armónicos (múltiplos enteros de la frecuencia característica, fundamental a
partir de ahora) que se superponen a ella.
El timbre viene determinado por el número e intensidad de los armónicos
de una frecuencia determinada.
Fundamental, f, A
2º armónico, 2f, A/2
3º armónico, 3f, A/4
f
13
ARMÓNICOS
1,5
Suma del fundamental y armónicos 2º y 3º
(véase transparencia anterior)
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-1
0
1
2
3
radianes
4
5
6
7
14
NIVELES
• Un NIVEL es el
logaritmo de la
razón de una
cantidad dada
respecto de una
cantidad de
referencia del
mismo tipo.
• Al definir un nivel es
preciso indicar la base
del logaritmo, la
cantidad de referencia
y el tipo de nivel (por
ejemplo, nivel de
presión sonora o nivel
de potencia sonora)
15
NIVEL DE POTENCIA
SONORA
Emisión de sonido por una fuente
W 
LW  10 log 10 

 W0 
Potencia de referencia: W0 = 10-12 w
LW
 W 
 10 log 10 
 (10 log W  120 ) dB

12
 10

16
NIVEL DE POTENCIA SONORA
Potencia instantánea: tasa a la cual la energía sonora
es emitida en cualquier instante del tiempo.
Potencia media
en un intervalo
Potencia máxima
en un intervalo
-8
S usurro
40 dB
10 W
A spiradora
80 dB
10 W
Tractor oruga pesado
110 dB
0.1 W
M otor reacción
160 dB
10 W
-4
4
17
VALORES MEDIOS SINUSOIDALES
z
zmáx
zRMS
zrectificado
t
z RMS 
1
T
T
0
z RMS 
z rectificad
o
  z ( t )  dt
2
z máx
2
 0 . 637  z máx
18
NIVEL DE PRESIÓN SONORA
Relacionado con la sobrepresión respecto a la presión estática
2
Lp
 P 
 P 
  20 log 10 

 10 log 10 
 P0 
 P0 
(dB)
Presión de referencia: P0 = 20 Pa
Ejemplo: nivel de presión sonora correspondiente a 200 Pa
Lp
 200 
 20 log 10 
  20 dB
 20 
19
NIVEL DE PRESIÓN SONORA
Doblar el valor de la
presión sonora
supone un aumento
de 6 dB en el nivel
de presión sonora.
L2 p
L10
p
 2P
 20 log 10 
 P0
 10 P
 20 log 10 
 P0
Multiplicar por diez
la presión sonora
supone un aumento
de 20 dB en el nivel
de presión sonora.

 P 
 P 
  20 log 10 
  20 log 10 2  20 log 10 
  6 dB

 P0 
 P0 

 P 
 P 
  20 log 10 
  20 log 10 10  20 log 10 
  20 dB

 P0 
 P0 
20
RELACIÓN ENTRE
NIVEL de POTENCIA Y NIVEL de PRESIÓN
Para sonido emitido en forma isótropa en campo libre:
L p  L w  20 log r  10 . 9  C
r : distancia a la fuente (m)
Lw : nivel potencia (dB)
(hoja siguiente)
Ejemplo. Nivel de presión sonora a 10 m de una fuente
que emite un nivel de potencia de 90 dB (temperatura
del aire 20 ºC, presión atmosférica 1000 mb).
L p  90  20 log 10  10 . 9  0  59 dB
21
0.8
Término corrección C (dB)
0.6
0.4
0.2
1100 mb
0.0
-0.2
1000 mb
-0.4
-0.6
900 mb
-0.8
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
T (ºC)
22
INTENSIDAD DEL SONIDO
La intensidad del sonido en una dirección
especificada en un punto del campo sonoro es el
flujo de energía sonora a través de una unidad de
área en ese punto (potencia por unidad de área
fluyendo a través del punto), con la unidad de área
perpendicular a la dirección especificada.
Se mide en w/m2.
23
INTENSIDAD DEL SONIDO
INTENSIDAD:
W/m2
Energía por unidad de
superficie (perpendicular
a la dirección dada) y
por unidad de tiempo
Es imprescindible
especificar la dirección
24
I 
1
R
2
R
25
NIVEL DE INTENSIDAD
SONORA
Recepción del sonido de una fuente
 I 

L I  10 log 10 
 I0 
Intensidad de referencia: I0 = 10-12 w/m2
• Umbral de audición: 10-12 w/m2 (0 dB)
• Umbral de dolor: 1 w/m2 (120 dB)
26
El órgano del oído
27
UMBRALES de AUDICIÓN: MAF y MAP
UMBRAL DE MÍNIMO CAMPO AUDIBLE (MAF)
Es el nivel de presión sonora del umbral de audición en jóvenes adultos con
audición normal, medido en un campo libre (es decir, aquel campo de
sonido en que la onda sonora se propaga a partir de la fuente sin efectos
apreciables de límites ni obstáculos).
Se determina para tonos puros, con el oyente frente a la fuente, y
escuchando con ambos oídos.
UMBRAL DE MÍNIMA PRESIÓN AUDIBLE (MAP)
Es el nivel de presión sonora del umbral de audición en jóvenes adultos con
audición normal, medido mediante la exposición de un oído al sonido a
través de auriculares (la mayoría de las medidas de umbrales se llevan a
cabo con auriculares, por ejemplo en audiometrías).
28
Sensibilidad del oído a sonidos de distintas
frecuencias
Area de sensibilidad auditiva
140
Umbral de malestar
Umbral de dolor
120
100
dB
MAF ISO
80
MAP ANSI
60
40
20
0
-20
10
100
1000
Frecuencia (Hz)
10
4
29
Sonoridad
Puesto que el oído tiene diferente sensibilidad según la frecuencia,
cuando cambia la frecuencia un sonido de una intensidad determinada
produce en el oído la sensación de un cambio de intensidad, aunque la
potencia por unidad de superficie que alcanza el tímpano no se haya
alterado. Mientras que la intensidad de un sonido es una magnitud física,
la sonoridad (sensación producida por éste en el oído) es subjetiva.
El fonio es la unidad acústica usada para medir el nivel total de
sonoridad. Un tono puro de 1000 Hz a un nivel de intensidad de
sonido de 1 dB se define como un sonido con nivel de sonoridad
de 1 fonio. Todos los demás tonos tendrán un nivel de sonoridad de n
fonios si el oído aprecia que suenan tan sonoros como un tono puro de
1000 Hz a un nivel de intensidad de n dB.
30
Curvas de igual sonoridad
Fuente: http://olmo.pntic.mec.es/~jmarti50/doncel/acustica.htm
31
EJEMPLO
¿Cuál es la sonoridad de:
a) Un sonido de 80 dB a 50 Hz?
b) Un sonido de 45 dB a 5000 Hz?
80 dB
60 fonios
45 dB
50 Hz
40 fonios
5000 Hz
32
NIVELES SONOROS
PONDERADOS:
SONÓMETROS
El sonómetro es un instrumento diseñado para
responder al sonido en aproximadamente la misma
manera que lo hace el oído humano y dar mediciones
objetivas y reproducibles del nivel de presión sonora
Micrófono
Sección de procesamiento
Unidad de lectura
Ponderación A, B, C
Ponderación A: dB(A)
Reproduce la sensibilidad del oído humano
Ponderación C: dB (C)
Respuesta más plana, guarda mayor semejanza con la presión sonora sin ponderar
33
Ponderación A
Es la que mejor reproduce la sensibilidad del oído humano
Ponderacion A (dB)
10.0
0.0
dB ( A )
-10.0
-20.0
-30.0
-40.0
-50.0
10
100
1000
Frecuencia (Hz)
10000
34
Sonómetros
1
2
3
4
5
6
7
1. O N /O F F
2. R E C : fu nc ió n de reg istro de m ed id as m á xim a y m ín im a de un perio do .
3. M A X H L D : reg istro del m á xim o ha sta ese m o m e nto , se actualiza cada vez que e l
so nó m etro registra un va lo r superio r.
4. C /A : po nderac ió n e leg id a.
5. B A M O D E : abso rc ió n de ru ido de fo ndo .
6. F/S : R espue sta le nta o respuesta rápid a.
7. D O W N : ra ngo de m ed idas se lecc io nado m a nua lm e nte (hac ia aba jo ).
8. U P P E R : rango de m ed ida s se lecc io nado m a nua lm e nte (hac ia arriba).
8
35
NIVEL DE BANDA DE
OCTAVA
OCTAVA: Intervalo de frecuencias de sonido cuya razón
de frecuencia es 2; p. ej., entre 600 Hz y 1200 Hz
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
División del espectro de frecuencias de sonido en
porciones de UNA OCTAVA de anchura: el nivel de
presión sonora dentro de una banda con una
octava de anchura se llama nivel de presión
sonora de banda de octava
(o simplemente nivel de banda de octava)
36
NIVEL DE BANDA DE
OCTAVA
EJEMPLO
90
Frecuencias centrales
de cada banda:
63 Hz
1000 Hz
125 Hz
2000 Hz
250 Hz
4000 Hz
500 Hz
8000 Hz
80
dB (referencia 20 Pa)
El nivel de banda de
octava se ha medido
en la frecuencia
central de cada
banda, y está
indicado por los
cuadrados de color
negro.
70
60
50
40
100
1000
10000
Frecuencia (Hz)
37
Tipos de ruido en función de la frecuencia
nivel
Tono puro: presenta una única componente
sinusoidal con una sola frecuencia
característica. Ejemplo: silbato.
f
nivel
Armónico: presenta componentes
sinusoidales múltiples, con frecuencias
múltiplos de una frecuencia
fundamental. Ejemplo: nota musical.
f
Fuentes:
http://www.stee-eilas.org/lan_osasuna/udakoikas/acust/acus2.pdf
http://www.arrakis.es/~avf/acustica/acustica.htm#RUI
38
Tipos de ruido en función de la frecuencia
nivel
Banda ancha: presenta espectro
continuo. Ejemplo: maquinaria.
f
nivel
nivel
-3 dB/octava
f
Ruido rosa: su nivel sonoro esta
caracterizado por un descenso de
tres decibelios por octava.
f
Ruido blanco: su nivel sonoro es
constante en todas las frecuencias.
Ejemplo: sonido generado por una
consola de grabación de baja
calidad
39
Suma de niveles de
presión sonora
40
Tabla DB-1. Niveles de presión sonora en db(A) y potencia sonora
en w/m2
2
2
2
dB(A)
0
10
20
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
dB(A)
w /m
-1 2
1,000.10
-1 1
1,000.10
-1 0
1,000.10
-9
1,000.10
-9
1,259.10
-9
1,58 5.10
-9
1,995.10
-9
2,512.10
-9
3,162.10
-9
3,981.10
-9
5,012.10
-9
6,310.10
-9
7,943.10
-8
1,000.10
-8
1,259.10
-8
1,585.10
-8
1,995.10
-8
2,512.10
-8
3.162.10
-8
3,981.10
-8
5,012.10
-8
6,310.10
-8
7.943.10
-7
1,000.10
-7
1,259.10
-7
1,585.10
-7
1,995.10
-7
2,512.10
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
w /m
dB(A)
-7
3,162.10
-7
3,981.10
-7
5,012.10
-7
6,310.10
-7
7,943.10
-6
1,000.10
-6
1,259.10
-6
1,585.10
-6
1,995.10
-6
2,512.10
-6
3,162.10
-6
3,981.10
-6
5,012.10
-6
6,310.10
-6
7,943.10
-5
1,000.10
-5
1,259.10
-5
1,585.10
-5
1.995.10
-5
2.512.10
-5
3,162.10
-5
3,981.10
-5
5.012.10
-5
6,310.10
-5
7,943.10
-4
1.000.10
-4
1,259.10
-4
1,585.10
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
w /m
-4
1,995.10
-4
2,512.10
-4
3,162.10
-4
3,981.10
-4
5,012.10
-4
6,310.10
-4
7,943.10
-3
1,000.10
-3
1,259.10
-3
1,585.10
-3
1,995.10
-3
2,512.10
-3
3,162.10
-3
3,981.10
-3
5,012.10
-3
6,310.10
-3
7,943.10
-2
1,000.10
-2
1,259.10
-2
1,585.10
-2
1 ,995.10
-2
2,512.10
-2
3,162.10
-2
3,981.10
-2
5,012.10
-2
6,310.1 0
-2
7,943.10
-1
1,000.10
Fuente: http://www.windpower.dk/es/stat/unitssnd.htm#dbdist
41
Relación analítica entre niveles de presión sonora en db(A) y potencia sonora
en w/m2 (equivalente a tabla DB-1)
0
log W = -12 + 0.1 dB(A)
2
log W (W en w/m )
-2
-4
-6
-8
-10
w = 10(-12+0.1*dB(A))
-12
0
20
40
60
80
100
120
dB(A)
42
CÁLCULO DEL NIVEL DE PRESIÓN SONORA TOTAL
COMO SUMA DE DISTINTOS COMPONENTES
1) Para cada nivel sonoro en el punto que ocupa el
observador, búsquese la potencia sonora en w/m2 en
tabla DB-1, o calcúlese mediante
w = 10(-12+0.1*dB(A))
2) Súmense todas las potencias para obtener la
potencia total W en w/m2.
3) Para obtener el nivel sonoro en dB(A) emplearemos
la relación:
Lp = 10·log10(W) + 120 dB(A)
43
CÁLCULO DEL NIVEL DE PRESIÓN SONORA TOTAL
COMO SUMA DE DISTINTOS COMPONENTES
Ejemplo
Nivel de presión sonora de dos fuentes: una de 42 dB(A) y otra
de 44 dB(A)
Fuente 1:
1.585·10-8 w/m2
Fuente 2:
2.512·10-8 w/m2
Suma
W = 4.097·10-8 w/m2
Lp = 10·log10(4.097·10-8) + 120 = 46.1 dB(A)
44
CÁLCULO DEL NIVEL DE PRESIÓN SONORA TOTAL
COMO SUMA DE DISTINTAS BANDAS
Ejemplo 2
Nivel de presión sonora a partir de
los niveles de bandas de octava
f (Hz)
63
125
250
500
1000
2000
4000
8000
70
65
dB(A)
60
55
dB(A)
46,8
68,9
53,4
53,8
53,0
49,2
46,0
40,9
50
45
40
100
1000
10000
log f (f en HZ)
45
CÁLCULO DEL NIVEL DE PRESIÓN SONORA TOTAL
COMO SUMA DE DISTINTAS BANDAS
Ejemplo 2. Solución
* Cálculo de la potencia sonora asociada con cada banda: uso de la tabla
DB-1 o bien de la relación siguiente.
w(f) = 10(-12+0.1*dB(A))
f (Hz)
63
125
250
500
1000
2000
4000
8000
dB(A)
46,8
68,9
53,4
53,8
53,0
49,2
46,0
40,9
2
w(f) (w/m )
4,786E-08
7,762E-06
2,188E-07
2,399E-07
1,995E-07
8,318E-08
3,981E-08
1,230E-08
Suma de las potencias sonoras w(f)
W = w(f) = 8.604·10-6 w/m2
Nivel de presión sonora final:
Lp = 10·log10(W) + 120 = 69.3 dB(A)
46
Reducción del nivel de presión sonora en función de
la distancia a la fuente
Tabla DB-2
N ive l de presió n so no ra respecto a distanc ia de la fue nte
d (m )
9
16
28
40
50
56
63
71
80
89
 dB (A )
-30
-35
-40
-43
-45
-4 6
-47
-49
-50
-51
d (m )
100
112
126
141
159
178
200
224
251
282
 dB (A )
-52
-53
-54
-55
-56
-57
-58
-59
-60
-61
d (m )
317
355
398
447
502
563
632
709
795
892
 dB (A )
-62
-63
-64
-65
-66
-67
-68
-69
-70
-71
47
Suma niveles sonoros
Tabla DB-3. Suma de niveles sonoros de dos fuentes
dB 41
41 44,0
42 44,5
43 45,1
44 45,8
45 46,5
46 47,2
47 48,0
48 48,8
49 49,6
50 50,5
42
43
44
45 46
47
48 49 50
44,5 45,1 45,8 46,5 47,2 48,0 48,8 49,6 50,5
45,0 45,5 46,1 46,8 47,5 48,2 49,0 49,8 50,6
45,5 46,0 46,5 47,1 47,8 48,5 49,2 50,0 50,8
46,1 46,5 47,0 47,5 48,1 48,8 49,5 50,2 51,0
46,8 47,1 47,5 48,0 48.5 49,1 49,8 50,5 51,2
47,5 47,8 48,1 48,5 49,0 49,5 50,1 50,8 51,5
48,2 48,5 48,8 49,1 49,5 50,0 50,5 51,1 51,8
49,0 49,2 49,5 49,8 50,1 50,5 51,0 51,5 52,1
49,8 50,0 50,2 50,5 50.8 51.1 51,5 52.0 52.5
50,6 50,8 51,0 51,2 51,5 51,8 52,1 52,5 53,0
48
Ejemplo
Dos aerogeneradores están situados
a 200 m y 160 m del observador,
siendo los niveles de presión sonora
en las fuentes de 100 dB(A).
Determínese el nivel de presión
sonora en la posición del observador.
160 m
200 m
Solución
dB 41
41 44,0
42 44,5
43 45,1
44 45,8
45 46,5
46 47,2
47 48,0
48 48,8
49 49,6
50 50,5
42
43
44
45 46
47
48 49 50
44,5 45,1 45,8 46,5 47,2 48,0 48,8 49,6 50,5
45,0 45,5 46,1 46,8 47,5 48,2 49,0 49,8 50,6
Nivel de presión sonora aerogenerador 1:
100-58 = 42 dB(A) (Tabla DB-2)
Nivel de presión sonora aerogenerador 2:
100-56 = 44 dB(A) (Tabla DB-2)
45,5 46,0 46,5 47,1 47,8 48,5 49,2 50,0 50,8
46,1 46,5 47,0 47,5 48,1 48,8 49,5 50,2 51,0
46,8 47,1 47,5 48,0 48.5 49,1 49,8 50,5 51,2
47,5 47,8 48,1 48,5 49,0 49,5 50,1 50,8 51,5
Suma de niveles:
Resultado 46.1 dB(A) (Tabla DB-3)
48,2 48,5 48,8 49,1 49,5 50,0 50,5 51,1 51,8
49,0 49,2 49,5 49,8 50,1 50,5 51,0 51,5 52,1
49,8 50,0 50,2 50,5 50.8 51.1 51,5 52.0 52.5
50,6 50,8 51,0 51,2 51,5 51,8 52,1 52,5 53,0
49
ENERGÍA TRANSPORTADA POR UN
MOVIMIENTO ONDULATORIO
Flujo de energía:
energía transportada por unidad de tiempo a través de una unidad
de superficie perpendicular a la dirección de propagación.
J/(s·m2) = W/m2
50
ENERGÍA TRANSPORTADA POR UN
MOVIMIENTO ONDULATORIO
z ( x , t )  A cos( kx   t   0 )
Velocidad de vibración una partícula en el medio donde se
transmite el movimiento ondulatorio:
dz
dt
 A  sen( kx   t   0 )
Energía instantánea de una partícula que vibra en el
medio donde se transmite el movimiento ondulatorio:
2
1
 dz 
2 2
2
K ( x, t )  m 

mA  sen ( kx   t   0 )

2  dt 
2
1
U ( x, t ) 
1
2
m z 
2
2
1
2
mA  cos ( kx   t   0 )
2
2
2
E  K U 
1
2
mA 
2
51
2
ENERGÍA TRANSPORTADA POR UN
MOVIMIENTO ONDULATORIO
v
S
Densidad de partículas 
Masa total de partículas: M =Sv
E 
1
2
1
  m  A 2 2    Sv  A 2 2
2
Proporcional al
cuadrado de la
amplitud
52
ONDAS ESTACIONARIAS
Se producen como resultado de la superposición
de dos ondas viajeras de igual amplitud e igual
frecuencia viajando en sentidos opuestos
y1  A cos( kx   t   )  A sen( kx   t )
y 2  A cos( kx   t   )  A sen( kx   t )
53
ONDAS ESTACIONARIAS
y  y1  y 2  A sen( kx   t )  A sen( kx   t )  2 A sen( kx )  cos(  t )
y1  A cos( kx   t   )  A sen( kx   t )
Cada punto vibra siguiendo un M.A.S.
Pero no se desplaza horizontalmente
La amplitud de la
vibración depende de
la posición y vale
2 A sen( kx )
y 2  A cos( kx   t   )  A sen( kx   t )
54
ONDAS ESTACIONARIAS
Se denomina NODOS a aquellos puntos que tienen una
amplitud de vibración NULA:
2 A sen( kx )  0
kx  n 
( n  1, 2 ,3 ...)
xn

2

x




2
, ,
3
2

,... 


 /2
55
ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA (longitud L)
Cuerda con extremos fijos:
Las distintas frecuencias naturales de vibración del sistema
se denominan MODOS NORMALES
Ambos extremos son nodos, porque están fijos

Primer modo normal (fundamental) :
L
Segundo modo normal (2º armónico) :
L
Tercer modo normal (3º armónico) :
L
Modo normal n-ésimo:
n  2 L
n
L
2
3
2
n n
2
56
ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA (longitud L)
Primer modo normal (fundamental) :
L

2
Segundo modo normal (2º armónico) :
L
Tercer modo normal (3º armónico) :
L
3
2
57
ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA (longitud L)
Cuerda con extremos fijos: frecuencia del modo n-ésimo
* Velocidad de propagación de las ondas:
v
* Frecuencia del modo normal n-ésimo:
  f
T
fn 
n
v
2L
Relación entre velocidad de propagación de
las ondas y características físicas del sistema:
v
T

T  tensión de la cuerda
  densidad lineal de masa
58
ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA
Ejemplo
Determinación de los tres primeros modos de vibración
de una cuerda de 10 g y 4 m de longitud, sometida a una
tensión de 25 N

m
L
fn 
n
v
2L

10
2
 2 . 5 10  3 kg / m
4
f1 
1
100  12 . 5 Hz
24
f2 
2
100  25 Hz
24
f3 
3
100  37 . 5 Hz
24
v
T


25
2 . 5 10
 100 m / s
3
1  2  4  8 m
1
n  2 L
n
2  2  4  4 m
2
3  2  4  2 . 67 m
3
59
BIBLIOGRAFÍA
Harris: Manual de medidas acústicas y control del ruido. McGraw-Hill
Fishbane, Gasiorowicz y Thornton: Física para ciencias e ingeniería
(Vol. I). Prentice-Hall
Kane y Sternheim: Física. McGraw-Hill. Reverté
Ángel Franco: Ondas estacionarias en una cuerda
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/estacionarias/estacionarias.html
Ángel Franco: Velocidad del sonido
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/acustica/veloc_sonido/veloc_sonido.htm
60
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