Sonido
Física II
Contenido
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Velocidad de ondas sonoras
Ondas sonoras armónicas
Intensidad de ondas sonoras armónicas
Ondas esféricas y planas
Efecto Doppler
Superposición de ondas
Interferencia de ondas sonoras
Ondas sonoras en cuerdas
Ondas sonoras en columnas de aire
Pulsaciones
Velocidad de ondas sonoras
La velocidad de la ondas sonoras
depende de la compresibilidad y la
inercia del medio. Si el medio tiene un
módulo volumétrico B y una densidad
de equilibrio r, la velocidad de las ondas
sonoras en ese medio es
v 
B
r
De hecho, la velocidad de todas las
ondas mecánicas se obtiene de una
expresión de la forma general
v
propiedad
elástica
propiedad
inercial
Pulso longitudinal a través de un
medio compresible.
Ondas sonoras armónicas
Cuando un émbolo oscila senoidalmente, las regiones de condensación y
rarefacción se establecen de forma continua.
La distancia entre dos condensaciones consecutivas es igual a la longitud de
onda, l.
A medida que esta ondas viajan por el tubo, cualquier volumen pequeño del
medio se mueve con movimiento armónico simple paralelo a la dirección de
la onda.
Si s(x, t)es el desplazamiento de un pequeño elemento de volumen medido a
partir de su posición de equilibrio, podemos expresar esta función de
desplazamiento armónico como
s(x, t) = smáx cos(k x – t)
donde smáx es el desplazamiento máximo medido a partir del equilibrio, k es el
número de onda angular, y  es la frecuencia angular del émbolo.
Onda longitudinal senoidal
que se propaga en un tubo
lleno de gas.
La fuente de la onda es el
émbolo de la izquierda.
Onda de presión
Onda de desplazamiento
Onda de variación presión
La variación de la presión del gas, DP, medida desde su valor de equilibrio,
también es periódica y está dada por
DP = DPmáx sen(k x – t)
La amplitud de presión DPmáx es el cambio máximo en la presión a partir de
su valor de equilibrio. La amplitud de presión es proporcional a la amplitud
de desplazamiento, smáx:
DPmáx = r v smáx
Donde  smáx es la velocidad longitudinal máxima del medio frente al
émbolo.
La variación de la presión en un gas es
DP   B
DV
V
El volumen en un segmento del medio que tiene un espesor Dx en la
dirección horizontal y un área de sección transversal A es V = ADx.
El cambio en el volumen DV que acompaña al cambio de presión es igual a
ADs, donde Ds es la diferencia entre el valor de s en x + Dx y el valor de s
en x. Por tanto, podemos expresar DP como
DP   B
DV
 B
V
A medida que Dx se aproxima a cero, la
proporción Ds/Dx se vuelve . En
consecuencia
DP   B
A Ds
 B
A Dx
Ds
Dx
x + Dx
x
A
s
x
s
s + Ds
Si el desplazamiento es la función senoidal simple dada anteriormente,
encontramos que
DP   B

x
s máx
cos  kx   t   Bs máx ks en  kx   t 
Puesto que el módulo volumétrico esta dado por B = r v2, la variación de la
presión se reduce a
DP = r v2smáx k sen(k x – t)
Además, podemos escribir k =  / v, consecuentemente, DP puede expresarse
como
DP = r v smáx sen(k x – t)
Tomando el valor máximo de cada lado
DPmáx = r vsmáx
Intensidad de ondas sonoras armónicas
v( x, t ) 
DK 

1
2

t
1
2
s( x, t ) 
D mv 
2
r A D x  s max
Kl 
 dK 

1
2

t
s max
cos  kx   t    s max sen  kx   t 
D m  s max sen kx  
2
1
2
r A D x  s max sen kx 
2
2 sen 2 kx
l
0
1
2
r A  s max
2 sen 2 kx dx

1
4
r A  s max
2 l
La energía promedio de la capa de aire en movimiento puede determinarse por:
DE = ½ Dm( smáx)2 = ½ (r ADx) ( smáx)2
Donde ADx es el volumen de la capa. La tasa en el tiempo a la cual se transfiere la energía
a cada capa es
Potencia

DE
Dt

1
2
 Dx 
  s máx
D
t


r A
2

1
2
r Av  s máx
2
Definimos la intensidad de una onda, o potencia por unidad
de área, como la tasa a la cual la energía que es transportada
por la onda fluye por un área unitaria A perpendicular a la
dirección de propagación de la onda.
La intensidad es
I 
Potencia
área

1
2
r  s máx
2 v
Esto también puede escribirse en términos de la amplitud de
presión como
DPmáx = r vsmáx
D Pmáx
2
I 
2r v
Dado el amplio rango de valores de intensidad, es conveniente utilizar
una escala logarítmica, el nivel sonoro b se define como
b  10 log(I / I0)
La constante I0 es la intensidad de referencia.
Niveles sonoros de algunas fuentes
Avión de reacción
150
Perforadora de mano;ametralladora
130
Sirena; concierto de rock
120
Tren urbano; segadora eléctrica
100
Tráfico intenso
80
Aspiradora
70
Cenversación normal
50
Zumbido de un mosquito
40
Susurro
30
Murmullo de hoja
10
Umbral auditivo
0
Ejemplo
El umbral auditivo del ser humano a 1000Hz es 10–12 W/m2. Y
el umbral de dolor es 1.00 W/m2 . Encuentre la amplitud de
presión y de desplazamiento asociadas a estos límites. v = 343
m/s y r = 1.2 kg/m3.
D Pmáx
2
I 
2r v
DPmáx = r vsmáx
Ondas esféricas y planas
La intensidad de onda a una distancia r de la fuente es
I 
P pro

A
P pro
4 r
2
Como Ppro es la misma en cualquier superficie
esférica centrada en la fuente, vemos que las
intensidades a las distancias r1 y r2 son
I1 
P pro
4 r
2
1
y I2 
P pro
4 r2
En consecuencia, la proporción entre las
intensidades sobre las dos superficies esféricas es
2
I1
I2
2

r2
2
r1
Dado que I  s2, entonces s  1/r. Por tanto podemos escribir
 x, t  
s0
r
sen  kr   t 
donde s0 es la amplitud de desplazamiento en t = 0.
Es útil representar las ondas esféricas mediante una serie de arcos
circulares concéntricos con la fuente. Cada arco representa una
superficie sobre la cual la fase de la onda es constante. Llamamos a
dicha superficie de fase constante frente de onda.
La distancia entre dos frentes de onda
es igual a la longitud de onda, l. Las
líneas radiales que apuntan hacia
fuera desde la fuente se conocen
como rayos
Frente de
onda
Fuente
Rayo
A distancias de la fuente que son grandes si se
les compara con la longitud de onda, podemos
aproximar los frentes de onda por medio de
planos paralelos. A este tipo de onda se le
conoce como onda plana. Cualquier porción
pequeña de una onda esférica alejada de la
fuente puede considerarse como una onda
plana.
La figura muestra una onda plana que se
propaga a lo largo del eje x, lo cual significa
que los frente de onda son paralelos al plano
yz. En este caso la función de onda depende
solo de x y de t y tiene la forma
(x, t) = A sen(kx –t)
Ejemplo
Sea una fuente puntual de ondas sonoras con una salida de 80 W.
Encuentre la intensidad a 3m de la fuente.
Hallar la distancia a la cual el sonido es 10–8 W/m2
I 
P pro
A

P pro
4 r
2
Tarea
Calcule el nivel sonoro en decibeles de una onda sonora que tenga
una intensidad de 4 mW/m2, 4 mW/m2 y 0.4 W/m2
b  10 log(I / I0)
Efecto Doppler
Se experimenta un efecto Doppler siempre que hay un
movimiento relativo entre la fuente y el observador.
Cuando la fuente y el observador se mueven uno hacia
otro la frecuencia que escucha el observador es más alta
que la frecuencia de la fuente.
Cuando la fuente y el observador se alejan uno del otro,
la frecuencia escuchada por el observador es más baja
que la frecuencia de la fuente.
v’
v
v0
v’
v0
v
v0
Cuando el observador se mueve hacia la fuente con
velocidad v0, la velocidad de la onda es v’ = v + v0. La
frecuencia es entonces
f ’ = v’ / l = (v + v0) / l
o
f ’ = f (1 + v0/v)
Si el observador se aleja de la fuente, la frecuencia es
f ’ = f (1  v0/v)
v
l’
vs
Cuando la fuente se mueve hacia el observador con velocidad vs,
durante cada vibración la fuente se mueve una distancia vs T = vs
/f. Y la longitud de onda se acorta en esa cantidad. Entonces
l’ = l  D l  l  vs /f
Entonces
f ’ = v / l’ = v /(l  vs /f ) = v /(v /f  vs /f)
o
f ’ = f /(1 vs /v)
Similarmente, si la fuente se aleja del observador se tiene que:
f ’ = f /(1 + vs /v)
Los dos resultados se pueden resumir en
f ’ = f (v  v0)/(v  vs)
Los signos superiores se refieren al movimiento de uno hacia el
otro, y los inferiores se refieren al movimiento de uno
alejándose del otro.
Cuando vs excede la velocidad del sonido, se forma una onda
de choque, como se muestra.
Frente de choque
cónico
sen q 
vS
vt
S0
S1
v
S2
SN
q
2
1
0
vS t
Ejemplo
Un tren pasa una plataforma de pasajeros a una rapidez
constante de 40.0 m/s. El silbato del tren suena a una frecuencia
característica de 320 Hz. a) ¿Qué cambio en la frecuencia
detecta una persona en la plataforma conforme el tren pasa? b)
¿Qué longitud de onda detecta una persona conforme el tren se
aproxima?
f ’ = f (v  v0)/(v
 vs )
f ’ = 320(343 + 0)/(342 – 40)
= 362
v0 = 0
vs = 40 m/s
f = 320 Hz
l’ = 343/362 = 0.95 m
Tarea
Una ambulancia emite un sonido de sirena de 450 Hz, encuentre
la frecuencia que escucha un oyente si
a) La ambulancia se mueve hacia él a 20 m/s
b) La ambulancia está en reposo y el oyente se mueva hacia
ella a 20 m/s
c) La ambulancia se mueve hacia el a 10 m/s y el se mueve
hacia la ambulancia a 10 m/s ambos respecto al piso.
d) La ambulancia se aleja a 10 m/s y el oyente está en reposo.
Superposición e interferencia de
ondas senoidales
El principio de superposición nos indica que cuando dos o más ondas se
mueven en el mismo medio lineal, el desplazamiento neto del medio en
cualquier punto es igual a la suma algebraica de los desplazamientos
causados por todas las ondas.
Podemos expresar las funciones de onda individuales como
y1 = A0 sen (kx - t)
y2 = A0 sen (kx - t - )
En consecuencia, la función de la onda resultante y es
y = y1 + y2 = A0 [sen (kx - t) + sen (kx - t - )]
Esta puede rescribirse como
y = 2A0 cos ( / 2) sen (kx - t - / 2)]
Si la constante de fase es cero, entonces la amplitud
resultante es 2A0. En este caso, se dice que las ondas
estarán
en
fase,
por
lo
que
interferirán
constructivamente.
En general, la interferencia constructiva ocurre cuando cos
( / 2) = 1, lo cual es equivalente a que  = 0, 2 , 4 , ...
rad.
Por otra parte, si  es igual a  rad, o a cualquier múltiplo
impar de , entonces cos (/2) = 0 y la onda resultante
tiene amplitud cero.
En este caso, las ondas interferirán destructivamente.
Interferencia de ondas sonoras
Dispositivo para producir interferencia en ondas
sonoras.
Cuando la diferencia en las longitudes de las
trayectorias Dr = r2 - r1 es cero algún múltiplo
de la longitud de onda l, las dos ondas alcanzan el
receptor y están en fase e interfieren
constructivamente.
Si la longitud de r2 se ajusta de manera que la
diferencia de trayectorias es l/2, 3l/2, ..., nl/2
(para n impar), las dos ondas están exactamente
180º fuera de fase en el receptor y
consecuentemente se cancelan entre sí.
La diferencia de trayectoria se puede expresar en
función de la diferencia de fase como
Dr 
l
2

Considere dos ondas senoidales en el mismo medio con la
misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero viajando
en direcciones opuestas. Sus funciones de onda pueden
escribirse
y1 = A0 sen (kx - t)
y2 = A0 sen (kx + t)
donde y1 representa la onda que viaja hacia la derecha y y2
representa la onda que viaja hacia la izquierda. La suma de las
dos funciones produce la función de onda resultante y:
y = y1 + y2 = A0 sen (kx - t) + A0 sen (kx + t)
Esta expresión se reduce a:
y1 = (2A0 sen kx)cos t
que es la función de una onda estacionaria.
Superposición de dos ondas viajeras que produce
una onda estacionaria.
La amplitud máxima tiene un valor 2A0. Dicho máximo ocurre cuando las
coordenadas x satisfacen la condición sen kx = 1, o cuando
kx 
 3 5
,
2
,
2
,...
2
puesto que k = 2/l, las posiciones de amplitud máxima, llamadas antinodos,
son
x 
l 3l 5 l
,
4
,
4
,... 
4
nl
n  1, 3 , 5 ,...
4
Del mismo modo, la onda estacionaria tiene una amplitud mínima de cero
cuando x satisface la ecuación sen kx = 0, o cuando
kx = , 2  , 3 , ...
lo que produce
x 
l
2
,l ,
3l
2
,... 
nl
n  0 ,1, 2 ,3 ,...
2
Estos puntos de amplitud cero se denominan nodos.
Ejemplo
Dos ondas senoidales se describen por las ecuaciones y1=
(5.00 m) sen [2(4.00x- 1 200t)] y y2= (5.00 m) sen [2(4.00
x – 1200t – 0.250)] donde x, y1 y y2 están en metros y t en
segundos, a) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante? b)
¿Cuál es la frecuencia de la onda resultante?
y = 2A0 cos ( / 2) sen (kx - t - / 2)]
Ondas sonoras en una cuerda
Los modos de vibración normales en una cuerda corresponden
a las frecuencias:
fn 
Modos normales en
una cuerda.
n
2L
v
n
F
2L
m
Ondas estacionarias en columnas
de aire
Modos normales de
vibración en tubos
abiertos, las
frecuencias normales
son:
fn 
n
2L
v
Modos normales de
vibración en tubos
cerrados, las
frecuencias normales
son:
fn 
n
4L
v
Interferencia Espacial
Las ondas sonoras, luminosas y las ondas en el agua, presentan
patrones de interferencia en el espacio.
Si se tienen dos fuentes sonoras ligeramente espaciadas se
produce interferencia como la de la figura.
P
Pulsaciones
Las pulsaciones se producen cuando se superponen dos ondas de
frecuencias ligeramente diferentes.
Sean y1 = A0 cos 2f1t y y2 = A0 cos 2f2t, es fácil mostrar que
y = y1 + y2 = A0 cos 2f1t + A0 cos 2f2t =
2A0 cos 2f1  f2/2 t cos 2f1 + f2/2 t
Resultante dos formas de onda senoidales
de diferente frecuencia y la misma
amplitud.
Note como varía la amplitud de la
resultante.
Series de Fourier
El teorema de Fourier establece que una función periódica y(t)
puede escribirse como una suma de senos y cosenos de la forma:
y t  
  A sen 2
n
n
Síntesis de una onda
cuadrada como suma de
funciones seno.
Esta función solo utiliza
funciones seno para su
síntesis, es decir Bn = 0
para toda n.
f n t + B n cos 2 f n t 