CALCULO INTEGRAL (ARQ)
Sesión 4:
• Integración de funciones racionales
• Integración por fracciones parciales
Integrales que contienen polinomios cuadráticos
Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia
negativa de un polinomio cuadrático ax2 + b x + c se pueden simplificar
mediante el proceso de completar el cuadrado.
Por ejemplo
2
2
x  2 x  2  ( x  1)  1
y por tanto, con la sustitución u = x + 1, du = dx, se obtiene
x
dx
2
 2x  2

u
du
2
1
 a tan( u )  c  a tan( x  1)  c
En general, el objetivo es convertir
ax2+bx+c en una suma o en una diferencia
2  2
2
2
o a -u
de cuadrados u  a
para que se pueda usar tablas
Integración de Funciones Racionales mediante
Fracciones Parciales
¿Cómo integrar una
función racional?
Expresándola como una suma de fracciones
más simples, llamadas fracciones parciales
Consideremos la función racional:
f ( x) 
P ( x)
Q ( x)
Integración de Funciones Racionales mediante
Fracciones Parciales
Es posible expresar f como una suma de fracciones más
sencillas, siempre que el grado de P sea menor que el
grado de Q. Esa función racional se llama propia.
Si f es impropia; esto es, si grad(P(x))  grad(Q(x)),
debemos dividir Q entre P hasta obtener un residuo
tal que
f ( x) 
P ( x)
Q ( x)
 C ( x) 
R ( x)
Q ( x)
Propia
El siguiente paso consiste en expresar la función
racional propia R (x) / Q (x) como una suma de
fracciones parciales, de la forma:
A
 ax
 b
i
O bien
ax
Ax  B
2
 bx  c

j
Caso I: El denominador. Q (x), es un producto
de factores lineales distintos.
Esto significa que podemos escribir:
Q ( x )  a1 x  b1 a 2 x  b 2 .... a k x  b k 
En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el
teorema de las fracciones parciales establece que existen
constantes, A1, A2 , ..... A k tales que
R ( x)
Q ( x)

A1
( a1 x  b1 )

A2
( a 2 x  b2 )
 ... 
Ak
( a k x  bk )
Ejercicio: Determine
5
 2 x  1 x  2  dx
4x  3x  4
2
x
3
x
 x  2x
2
1
2
4
dx
dx
Caso II: Q (x) es un producto de factores lineales,
algunos de los cuales se repiten
Considere que el primer factor lineal ( a 1 x  b1 ) se repite r
veces; esto es, en la factorización de Q (x) se obtiene
( a1 x  b1 )
Entonces, en lugar del término único
r
A1
( a 1 x  b1 )
Emplearíamos:
A1
( a1 x  b1 )

A2
( a 2 x  b2 )
2
 ... 
Ar
( a r x  br )
r
Por ejemplo:
2x  x  2
2
x  x  1
2

A
x

B
( x  1)

C
( x  1)
2
2 x  x  2  A ( x  1)  Bx ( x  1)  Cx
2
2
2x  x  2
2
x  x  1
x = -1: B = 4
x = 0: A = -2
x = 1: C = 1
2

2
x

4
( x  1)

1
( x  1)
2
2x  x  2
2

x  x  1
2
dx 
2x  x  2

2
x
dx 
x  x  1
2
1
 ( x  1) dx   ( x  1)
2

4
dx   2 ln x 
4
ln x  1

1
( x  1)
2
dx
Ejercicio: Determine
x  4x 1
2

x  x  1
dx
x  3x  4
2
 2 x  1 2 x  3  dx
2
x x
3
2
  x  6 5 x  3 
3
dx
Caso III: Q (x) contiene factores cuadráticos
irreducibles, ninguno de los cuales se repite
Si Q (x) tiene el factor ax2 + b x + c, en donde b2-4ac<0,
entonces la expresión R (x) / Q (x) tendrá un término de la
forma:
Ax  B
ax  bx  c
2
Por ejemplo:
x
x
2

1 x  4
2


Ax  B
x 1
2

Cx  D
x 4
2
x  ( Ax  B )( x  4 )  Cx  D ( x  1)
2
2
De la anterior igualdad: A = C = 0 ; B = 1/3 ; D = -1/3
1

x

1
3
3
 2
 2
2
2
x 1 x  4
x 1 x  4


1

x

1
3
3
 2
 2
2
2
x 1 x  4
x 1 x  4


1
 x
x
2

1 x  4
2

dx 


3 dx 
2
x 1

1
3 dx
2
x 4
x
 a tan( x )  a tan  
3
6
2
1
*
Ver tabla
1
*
Obs: El término
D
ax
2
se puede integrar
 bx  c
completando el cuadrado y con la fórmula (tabla)

x
dx  a tan    c
2
2
x a
a
a
1
1
Ejercicio: Determine
x 2
2
 x(x
2
 2)
dx
 (x
dx
6
x )
3
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