UPC
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
TÓPICOS DE MÁTEMATICA
MA112(EPE)
TEMA :
TRANSFORMACIONES
LINEALES
Objetivos:
• Definir el concepto de Transformación Lineal
(T.L)
• Identificar las principales propiedades de las T.L.
• Describir el concepto de Núcleo e Imagen de una
Transformación Lineal.
• Mostrar la aplicación de las Transformaciones
Lineales en las rotaciones.
Introducción:
Las transformaciones lineales tienen una gran variedad
de aplicaciones importantes, así tenemos:
• En un circuito eléctrico con m mallas y n fuentes de voltaje,
las m corrientes de malla son funciones de los n voltajes
de las fuentes.
• Las coordenadas en la pantalla del Display de un punto son
función de las coordenadas (x,y,z) del punto en el mundo
real y de las coordenadas (xo,yo,zo) del observador.
• Una empresa puede concebirse como un objeto que
relaciona un conjunto de entradas (capital, productividad
de los operarios,parámetros de operación , inventarios, etc)
con un conjunto de salidas o resultados que son función de
las entradas, entre ellas: producción de diferentes
productos, ganancias, capital acumulado, etc.
Con la graficación por computadora se dispone
de recursos en el cual se desplaza la imagen de
un diseño ,hacia la derecha ,la izquierda ,girar
la imagen para apreciar otro lado de ella ,reducirla
,ampliarla,etc.
Este recurso que posee una computadora mediante
un software se realiza a través de las transformaciones lineales.
Ejemplos de transformaciones
lineales
Ejemplo 1:
1. Reflexión respecto al eje Y. En R2
consideremos la aplicación f tal
que f(x,y)=(-x,y). Es fácil probar
que es una transformación lineal.
y
(-x,y)
Reflexión respecto
al eje Y
(x,y)
x
Ejemplo 2:
2. Operadores de proyección.
La
aplicación
definida
por:
T(x,y,z)=(x,y,0)
es
una
transformación lineal. Su función
es la de proyectar un vector del
espacio tridimensional en el plano
XY.
z
Proyección en el plano XY
(x,y,z)
y
x
(x,y,0)
TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sea T una aplicación de Rn en Rm :
T: Rn
Rm
T se llama Transformación Lineal si
se cumple:
1.
T ( V + V ) = T( V ) + T ( V )
2.
T ( c V1 ) = c T( V 1 ) , c: escalar
Ejemplos:
Probar si las siguientes aplicaciones son
Transformaciones Lineales:
1. T: R2
R2 , T(x,y) = (x , y2 )
2. T: R3
R2 , T(x,y,z) = (-2x, x+y)
Forma general de las
transformaciones lineales
1. T: R2 R2 ,
T(x,y) = (a1x+a2y, b1x+b2y)
2. T: R3 R2 ,
T(x,y,z) = (a1x+a2y+a3z, b1x+b2y+b3z)
3. T: R2 R3 ,
T(x,y) = (a1x+a2y, b1x+b2y, c1x+c2y)
4. T: R3 R3 ,
T(x,y,z) =
(a1x+a2y+a3z, b1x+b2y+b2z, c1x+c2y+c3z)
PROPIEDADES DE LAS T.L.
1)
2)
3)
T(0R n ) = 0R m
T(a V1+ b V2) = a T ( V1 ) + b T( V2)
T(a1V1+ a 2V 2+... + akVk ) = a 1T ( V1) + a 2T( V2) +
+ ... + a T ( V )
k
k
Ejemplo:
T: R2
R2
Definamos solamente:
T( i ) = (2; 3) , T( j ) = (1; 4)
Luego: T(5; 6) = T( 5 i + 6 j )
= 5 T( i ) + 6 T( j )
= 5 (2; 3) + 6 (1; 4)
= (16; 39)
Encontremos ahora, la forma
general de T :
T(x; y) = T( x i + y j )
= x T( i ) + y T( j )
= x (2; 3) + y (1; 4)
= ( 2 x + y; 3 x + 4 y )
Así tenemos: T: R2
R2
T(x; y) = ( 2 x + y; 3 x + 4 y )
Observaciones:
• Una aplicación T de Rn en Rm es
lineal si la imagen de toda
combinación lineal en Rn es una
combinación lineal en Rm.
 En
particular en 2 para b=0 y
para a=b=1 se tiene
T(a x) =a T(x)
T(x+y) = T(x)+T(y)
Ejemplo:
La aplicación f(x,y)=(x-y,y+x+2)
NO ES UNA
TRANSFORMACIÓN LINEAL
Ya que :
f(0,0)=(0,2)
TRANSFORMACIÓN LINEAL Y MATRICES
TEOREMA:
Sea A: matriz de orden m x n.
Entonces, la transformación:
n
T: R
m
R
tal que
T( X ) = A X ,
es una Transformación Lineal
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA
TRANSFORMACIÓN LINEAL
( RESPECTO A LAS BASES CANÓNICAS )
TEOREMA:
n
m
Toda T.L. de R a R se puede
representar matricialmente como
T( X ) = A m x n X
de forma única.
matriz estándar
o canónica
MATRIZ QUE REPRESENTA A UNA
TRANSFORMACIÓN LINEAL RESPECTO A LAS
BASES CANÓNICAS
Dada la transformación lineal T : Rn
A =
Rm
...
T( e j )
Las columnas de A son las coordenadas de T( ej )
relativas a la base canónica Rm
DADA LA TRANSFORMACIÓN LINEAL :
T:Rn
Rm
EL NÚCLEO o KERNEL DE T, ES:
Ker ( T ) = { v
Rn / T( v ) = 0 R }
m
LA IMAGEN DE T, ES:
Img ( T ) = { w
Rm / T( v ) = w }
T: Rn
Rm
Rn
m
R
Img(T)
Ker(T)
0
Ejemplo:
Dada la transformación lineal:
T:R2 R2 : T(x,y) = (x-2y, 4y-2x)
a) determine el núcleo o kernel de T y
dé una base,
b) determine la imagen de T y represéntela
geométricamente en el sistema de
coordenadas rectangulares XY.
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