Aritmética: Propiedades y
operaciones con números
reales
Fundamentos de álgebra
Dr. Alfonso-Sosa
Dr. Edwin Alfonso Sosa
1
Primera Unidad: Números Reales
 Subconjuntos de los números Reales
 Propiedades de los números Reales
 Orden de operaciones y valor absoluto de un
numero real.
 Aplicaciones
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2
Capacitantes
 Reconocer los subconjuntos del sistema de
los números reales.
 Clasificar un numero dentro del sistema de
números reales.
 Efectuar las operaciones de adición,
sustracción, multiplicación y división en los
números reales.
 Determinar valor absoluto, potencia y raíz
enésima de un numero real.
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3
NUMEROS REALES
 Conjunto es una
REALES
IRRACIONALES
RACIONALES
ENTEROS
…-3,-2,-1,0,1,2,3,…
FRACCIONES NO ENTERAS
(POS Y NEG)
ENTEROS NEGATIVOS
…,-3,-2,-1
colección de objetos.
 Los elementos de un
conjunto se colocan
dentro de un par de
llaves
 Conjunto de
ENTEROS NO NEGATIVOS
0,1,2,3,…
números
naturales
NUMEROS NATURALES
1,2,3,…
1, 2 , 3 , 4 ,... 
CERO
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4
Conjunto: Enteros no negativos
(números cardinales)
 Los enteros positivos y el cero conforman el
conjunto de los números enteros no
negativos.
 El cero no tiene signo: no es positivo y no es
negativo.
0 ,1, 2 , 3 , 4 ,... 
Números enteros no negativos
0
1
2
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3
5
Conjunto: Enteros negativos
 Los enteros negativos son necesarios para
describir situaciones como:



Temperatura bajo cero: -10˚
Déficit en una cuenta de banco: -$40
Física: dirección de una fuerza F = -10 N
 -1 es mayor que el -3
...,  3 ,  2 ,  1
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6
Conjunto Enteros
Recta numérica (recta de los números reales)
muestra a el conjunto de los enteros
origen
Números enteros negativos
-3
-2
-1
Números enteros no negativos
0
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1
2
3
7
Conjunto: Números Racionales
 {Enteros} → {Enteros negativos; enteros no
negativos}
 Para las siguientes situaciones tenemos que
incluir fracciones



Trabajo: 8 ½ horas
Me perdí la mitad (1/2) de la película
Costo de un articulo: $1.25 = $ 1 ¼
 {Racionales} → {Enteros;fracciones no
enteras}
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8
Posición de los números racionales
Recta numérica (recta de los números reales)
ejemplo de números racionales.
origen
1/2
-3/2
-3
-2
-1
0
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1
2
3
9
Def. Numero Racional
 A un numero real se le llama racional si puede
escribirse como el cociente p / q de dos enteros,
donde q ≠ 0 (q distinto de cero).
 Ejemplos
2
2
1
1
8
,
1
 0 . 333 ... ,
3
 0 . 125 ,
y
125
 1 . 126126
111
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10
Def. Numero Irracional
 Los números reales que no pueden escribirse como
cocientes de dos enteros se denominan irracionales.
 Ejemplos
2  1 . 4142135 ... ,
  3 . 1415926 ...
y
 La representación de un numero irracional no
termina ni se repite.
 Ejemplos: solo se aproxima
2  1 . 41 ,
y
  3 . 1416
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11
Ejercicio:
 Determine los números naturales, enteros, racionales e
irracionales del siguiente conjunto.
1
3

  7 ,  3 ,  1,  , 0 , ,
5
4


2 , , 5

naturales
enteros
racionales
5
 7 ,  1, 0 ,5
1
3 

  7 ,  1,  , 0 , ,5 
5
4 

irracional es

3,
2 ,

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12
Ejercicio:
 Determine los números naturales, enteros, racionales e
irracionales del siguiente conjunto.
2
1
5



10
,

5
,

,

,
0
,
,
1
,
3
,
4
,
2

,
6


3
4
8


racionales
naturales
enteros
1, 4 , 6 
 10 , 0 ,1, 4 , 6    10 ,  2 ,  1 , 0 , 5 ,1, 4 , 6 

3
4

8
irracional es

5 , 3 , 2

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13
Orden
Si el numero real a esta a la izquierda del numero real b sobre
la recta numérica, entonces decimos que a es menor que b o de
otra manera a < b.
origen
a
-3
b
-2
-1
0
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1
2
3
14
Distancia
Si a o b son dos números reales tales que a ≤ b, entonces la
distancia entre a y b es:
(distancia entre a y b)= b - a
a
-3
origen
b
-2
-1
0
1
2
3
Ex: Determine la distancia entre -3 y -1
Distancia entre -3 y -1 = -1-(-3)=-1+3=2
determine la distancia entre 0 y 4
Edwin Alfonso Sosa
Distancia entre 0 y 3 = 3 -Dr.0=
3
15
Ejercicios
 Ej. 5: Dibuje el siguiente conjunto en una
recta numérica.

origen
{-1/2,3/4,5/3,7/2}
-1/2
-3
-2
-1
3/4
0
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1
5/3
2
7/2
3
4
16
Ejercicios
 Diga si es verdadero o falso








Cierto. -2 esta a la izquierda de -1
-2 < -1
Falso. -15 esta a la derecha de -20
-15 ≤ -20
Cierto. -8 ≤ 4
-8 ≤ -(-4);
Cierto 6 > 2
6 > -(-2)
F
Todo numero racional es un entero.
Todo numero entero es un numero racional. C
Algunos números racionales son irracionales.
Algunos números racionales son enteros. C
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17
F
Valor absoluto
 A la distancia entre un numero real a y 0 (el
origen) se le llama valor absoluto de a. Un
par de barras verticales sirven para indicar el
valor absoluto.
 El valor absoluto de un numero real a se
define como la distancia entre a y 0 sobre la
recta numérica.
 Regla


Si a ≥ 0 entonces |a|=a. ex: |3|=3
Si a < 0 entonces |a|=-a. ex: |-2|= -(-2)=2
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18
Simplifique
 |3|= 3
 -|7|= -7
 |7-4|= 3
 -|-(5-1)|= - | -4 |= -4
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19
Propiedades de la adición: signos iguales
 Suma de números reales


Primer caso: signos iguales. Para sumar dos
números con el mismo signo, deben sumarse sus
valores absolutos. El signo de la suma (+ o -) es
el mismo que el signo de los dos números.
Ej. Para sumar -12 y -8, necesitamos sus valores
absolutos
 |-12|=12 ; |-8|=8
 Como ambos tienen signo negativo, usamos la
regla anterior. Por lo tanto sumamos los
valores absolutos: 12+8=20. Luego dé a la
suma el signo de los dos números. Como
ambos números son negativos la suma es
negativa.
 -12 + (-8) = -20
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20
Propiedades de la adición: signos diferentes
 Suma de números reales


segundo caso: signos diferentes. Para sumar dos
números con signo diferente debe restarse el
valor absoluto mas pequeño del mas grande. La
suma es positiva si el numero positivo tiene el
valor absoluto mas grande. La suma es negativa
si el numero negativo posee el valor absoluto mas
grande.
Ej. Para sumar -17 +11, necesitamos sus valores
absolutos
 |-17|=17 ; |11|=11
 Restando 17-11=6
 De al resultado el signo del numero con mayor
valor absoluto. Por lo tanto, será -6.
 Conclusión:
-17+11=
-6
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21
Ejemplos
 (-6)+(-3)= - (6+3)=-9
 (-12)+(-4)= -(12+4)=-16
 4+(-1)=3
 -9+16=7
 -16+12=-4
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22
Sustracción o diferencia de números
reales
 Definición.
 Para todos los números reales a y b,
a - b = a + (-b)
O sea cambie el signo del segundo numero y
sume.
6 – 8 = 6 + (-8) = -2
Cambie a suma y cambia el signo del segundo
numero. Cambie a suma y busque el inverso
aditivo.
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23
Ejemplos
 -12 – 4 = -12 + (- 4) = -16
Cambia a suma
Signo cambiado
(inverso aditivo)
-10 – (-7) = -10 + 7= - 3
Cuando se resuelve un problema con sumas y restas,
las sumas y las restas se realizan en orden de
izquierda a derecha.
15 – (-3) – 5 – 12 = 15 + 3 + (-5) + (-12) =
= (15 + 3) + (-5) + (-12) = 18 + (-5) + (-12) =
= (18 + (-5) ) + (-12) =
= 13 + (-12) = 1
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24
Multiplicación de números reales
 Razonamiento Inductivo
4 • 5 = 20
4 • 4 = 16
4 • 3 = 12
4•2=8
4•1=4
4•0=0
4 • (-1) = ?
= -4
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25
Multiplicación de números reales
 Razonamiento Inductivo
4 • (-1) = -4
4 • (-2) = -8
4 • (-3) = -12
4 • (-4) = -16
 De la misma manera
-4 • 2 = -8
-4 • 3 = -12
-4 • 4 = -16
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26
Multiplicación de números reales
 Caso 1: signos iguales. Para multiplicar dos números
con el mismo signo, multiplique sus valores
absolutos. El producto es positivo.
 Caso 2 : signos diferentes. Para multiplicar dos
números con signos diferentes, multiplique sus
valores absolutos. El producto es negativo.
 Ejemplos



- 9 • 7= -63
-14 • (-5) = 70
-8 • (-4) = 32
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27
División de números reales
 El resultado que se
consigue al dividir
dos números reales
se conoce con el
nombre de cociente.
Para números
reales a, b y c,
donde b ≠ 0, a/b= c
significa que a=b • c.
Para ilustrar esto,
considere.
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10
2
 5
ya que
- 2  - 5  10
28
División de números reales
 Signos iguales. Para
dividir dos números con
el mismo signo, deben
dividirse sus valores
absolutos. El cociente
es positivo.
 Signos diferentes. Para
dividir dos números con
signos diferentes, hay
que dividir sus valores
absolutos. El cociente
es negativo.
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15
5
 3
 100
 25
 60
3
4
 20
29
División con cero
 Si 0 se divide entre un
numero diferente de
cero, el cociente es 0.
 Siempre que se realiza
una división, queremos
obtener un solo
cociente.
 ¿Que numero
multiplicado por cero
resulta en 7?
 ¿Que numero
multiplicado por cero
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resulta en 0?
7
?
0
0
?
0
NINGUNO
NUMERO
INFINITO DE
RESPUESTAS
30
Exponentes enteros positivos
n un entero positivo y a un numero real.
Entonces el producto de n factores de a esta
 Sea
dado por
Exponente
an= a • a • a … • a.
BASE
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31
Ejemplo: Calculo de expresiones
exponenciales
 Cuidado (-a )n ≠ -an
 (-3)4=(-3)(-3)(-3)(-3) = 81
 -34= - (3)(3)(3)(3) = - 81
 - (-3)4= - (-3)(-3)(-3)(-3) = - 81
3
8
2
 2  2  2 
       
5
 5   5   5  125
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32
Orden de las operaciones
 Si hay paréntesis o corchetes:
 Paso 1: Resuelva arriba y debajo de las
rayas de fracciones por separado.
 Paso 2: Utilice las reglas siguientes dentro de
cada conjunto de paréntesis o corchetes.
Inicie con el conjunto mas interno y trabaje
hacia fuera.
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33
Orden de las operaciones
 Si hay paréntesis o corchetes:
 Paso 1: Resuelva arriba y debajo de las rayas de
fracciones por separado.
 Paso 2: Utilice las reglas siguientes dentro de cada
conjunto de paréntesis o corchetes. Inicie con el
conjunto mas interno y trabaje hacia fuera.
 Si no hay paréntesis o corchetes
 Paso 1: aplique todos los exponentes
 Paso 2: Haga las multiplicaciones o divisiones en el
orden en que aparezcan, trabajando de izquierda a
derecha.
 Paso 3: Haga las sumas y restas en el orden en que
aparezcan, trabajando de izquierda a derecha.
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34
Propiedades de la suma y la
multiplicación de números reales
 Para los números reales, a, b y c,
se cumplen las siguientes
propiedades.
 Propiedades de cierre
 Si a y b son números reales,
entonces a + b y ab son números
reales.
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35
Propiedades de la suma y la
multiplicación de números reales
Propiedades conmutativas
a+b=b+a
Ej.
ab = ba
4 + (3 + 9) = 4 + (9 + 3)
4 + 12 = 4 + 12
16 = 16
4(5)=5(4)=20
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36
Propiedades de la suma y la
multiplicación de números reales
Propiedades asociativas
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
Ej.
5 + (6 + 8) = (5 + 6) + 8
(5•2)3 = 5(2•3)=30
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37
Propiedades de la suma y la
multiplicación de números reales
Propiedades distributiva de la
multiplicación con respecto a la
suma
a(b+c) = ab + ac
(b+c)a = ba + ca
Ej.

5(x + y) = 5x + 5y
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38
Propiedades de la suma y la
multiplicación de números reales
 Propiedades de la identidad
 Existe
un numero real 0 tal que
a + 0 = a y 0 + a = a
 Existe un numero real 1, tal que
 a • 1= a y 1 • a = a
 Ej.
8+0=8
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39
Propiedades de la suma y la
multiplicación de números reales
 Propiedad del inverso aditivo: La suma de un
numero real y su opuesto es cero.


a + (-a) =0
Ej. 5 + (-5) =0
 Propiedad del inverso multiplicativo: El
producto de un numero real diferente de cero
y su reciproco es 1.

a • 1/a = 1, a ≠ 0
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40
Ejercicios
 Identifique la propiedad ilustrada en cada una
de las siguientes proposiciones.
Conmutativa de la suma
6 + 9 = 9 + 6
 7 + (2 + 5) = (7 + 2 ) + 5
 9 • 6 + 9 • 8 = 9 • (6 + 8)
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Asociativa de la suma
distributiva
41
Ejercicio
b + 2 = 6 Ecuación dada
(b + 2) + (-2) = 6 + (-2) Propiedad aditiva de Igualdad
b + [2 + (-2)] =4 Propiedad asociativa de la suma
b + 0 = 4 Propiedad del inverso aditivo
b=4
Propiedad de identidad aditiva
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42
Aplicaciones
 El record de temperatura mas alta , de 134˚F,
en Estados Unidos fue registrado en el Valle
de la Muerte, California, en 1913. El record
de temperatura mas baja fue de – 80 ˚F en
Prospect Creek, Alaska, en 1971. ¿Cual es la
diferencia entre la temperatura mas alta y la
mas baja?
 134 – (-80) = 134 + 80 = 214
 La diferencia es 214 ˚F
Dr. Edwin Alfonso Sosa
43
Aplicaciones
 El área del rectángulo de la figura puede representarse de dos
formas: como el área de un solo rectángulo, o como la suma de
dos rectángulos. Encuentre el área de ambas formas.
El area de un solo rectangulo
x
2
A  3( x  2 )
El area del rectangulo
3
A1
A2
es la
suma de los dos rectangulo
s
A  A1  A 2
3( x  2 )  3( x )  3( 2 )
 3x  6
Esto es un ejemplo
Dr. Edwin Alfonso Sosa
de propiedad
distributi
va
44
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Fundamentos de Algebra