VECTORES EN EL PLANO
IES LOS PEDROCHES
(Pozoblanco – Córdoba)
Curso 2003-04
Vectores en el plano
El concepto de vector está motivado por la
idea de desplazamiento en el espacio
Si una partícula se mueve de P a Q determina
un segmento de recta dirigido con punto
inicial P y punto final Q

PQ
P
Q
Vectores en el plano
La magnitud del vector es la longitud de ese
desplazamiento y se denota por

PQ
S
R
P
R
Q
S


Vectores de la misma magnitud PQ  RS
Vectores en el plano
La dirección del vector viene dada por el
punto inicial y el punto final. En este sentido


RS  SR
Q
S
R
Q
P
Vectores de la
misma dirección
P
R
R
S
S
Vectores en
direcciones distintas
Vectores en el plano
Vectores Equivalentes

Tienen la misma
magnitud y dirección

PQ  RS
Q
P
S
R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los
segmentos dirigidos equivalentes
Vectores en el plano
Eje y
O
Eje x
Representante del vector por el origen de
coordenadas
Vectores en el plano
A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:
Eje Y
P(a,b)
b
u  OP  (a, b)
u
O

a
Eje X
(a,b) son las coordenadas del vector u y
también del punto P
Vectores en el plano
Dado (a,b)2 se le asocia el vector u así:
Eje Y
u=(a,b)
b
O
P(a,b)
u
a
Eje X
Definición algebraica
Un vector es un par ordenado de
números reales
Vectores en el plano
Punto P
Vector u=OP
en el plano
desde el origen hasta P
(a,b)2
Esta correspondencia se llama:
Sistema de coordenadas rectangulares
Vectores en el plano
Dirección  de u
Magnitud o módulo
de un vector u
u 
2
a b
Angulo positivo que
forma con el eje X
2
tag  
b
a
Eje Y
Un vector de
módulo uno se
llama unitario
(a,b)
b
u

El vector nulo (0,0)
no tiene dirección
O
a
Eje X
Vectores en el plano
Operaciones con vectores
Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el
plano y  un número real. Se define el
vector:
 suma u+v como
u+v= (x+a, y+b)
 producto por un escalar  u como
 u=(x, y).
Vectores en el plano
Operaciones con vectores
Eje Y
u
u+ v
v
O
Eje X
Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe
gráficamente que u+v=(x+a,y+b)
Vectores en el plano
Operaciones con vectores
Eje Y
b
y
b
y
u+ v
u
b
x
v
O
x
a
Eje X
a
x
u+v=(x+a,y+b)
Vectores en el plano
Operaciones con vectores
Eje Y
u
>0
u
<0
u
O
Eje X
Si u=(x,y),  pruebe
gráficamente que u=(x, y)
Vectores en el plano
Operaciones con vectores
Eje Y
?
y
Triángulos semejantes
u
y
¿
u
O
x
x
u=(x, y)
u
u

?
x
Eje X

¿
y
Vectores en el plano
Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los
vectores unitarios en la dirección de los ejes
coordenados
Eje Y
y
yj u
xi
j
O
i
x
Eje X
Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es
combinación lineal de los vectores i,j
Vectores en el plano
Producto escalar
Primero se define en los vectores canónicos
i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1 i.j=j.i=0
u  xi  yj
v  ai  bj
u.v  xai.i  xbi. j  yaj.i  ybj. j
u.v  xa  yb
Vectores en el plano
Producto escalar
Se define el producto interior o producto
escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b)
como:
u.v=ax+by

Se define el ángulo entre
dos vectores u y v como
el ángulo  no negativo
mas pequeño entre u y v.
Vectores en el plano
Producto escalar
Eje Y
Eje X
Dos vectores son
paralelos
si
el
ángulo entre ellos
es 0 o .
Dos vectores son ortogonales si
forman un ángulo de /2
Vectores en el plano
Propiedades del producto escalar
Teorema: Sean u,v
vectores en 2 y  un
número real, entonces:
 u.0 = 0
 u.v = v.u (propiedad conmutativa)
 (u).v = (u.v) = u.( v)
 u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva)
 u.u  u 2
Vectores en el plano
Teorema:
Sean u y v vectores no nulos y  el ángulo
entre ellos, entonces u.v  u v cos 
Interpretación
geométrica:
u

ucos
w=
u.v
v
2
v
v
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