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Número de Oro
Razón Divina
Autor: Lic. Yoisell Rodríguez Núñez
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Antecedentes
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Desde la antigüedad, los artistas se ocuparon
de encontrar una razón que produjera una forma
ideal para figuras y estructuras.
Un ejemplo "simple" de proporción numérica
aplicada al arte es el canon de Policleto,
escultor griego del s. V a. C. En su estatua
"Doríforo" ("el que lleva la lanza") muestra que
el cuerpo humano perfecto ha sido creado de tal
manera que su altura es ocho veces la cabeza.
Esta es una proporción conmensurable, es
decir, que emplea números enteros.
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El Doríforo de Policleto
s. V a.C. Museo
Nacional, Nápoles.
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Sin embargo, los grandes logros artísticos de
la Grecia clásica tienen que ver con la
utilización de proporciones
inconmensurables, es decir aquellas que se
expresan mediante números irracionales.
¿Existirá alguna regla fija que señale una
proporción ideal entre los elementos que
integran la obra artística? Sí. La adivinaron y
aplicaron los artistas desde la más remota
antigüedad; la fijaron los griegos en fórmula
matemática; y no fue regla arbitraria
establecida al azar, sino fruto de un
constante estudio de la naturaleza.
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Vieron, en efecto, que en la naturaleza, y
en la misma figura humana, se daba esta
proporción de líneas constante; por lo
que aseguraban que ésta era obra de
Dios al dar el ser a sus criaturas.
Los egipcios ya conocían esta proporción
mediante análisis y observación; y la
emplearon en la arquitectura de la
pirámide de Keops (2600 años a.C.)
Esta proporción pasó de Egipto a Grecia
y de allí a Roma.
Sección Áurea - Regla de Oro
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La sección áurea fue empleada por filósofos,
científicos y artistas que terminaron llamándola
en el Renacimiento la proporción divina.
Conocida como la regla de oro, esta razón
consiste en una línea dividida en dos partes tal
que la línea corta tenga la misma proporción con
la línea larga que tiene la línea larga con la línea
original.
La construcción geométrica para encontrar el
número de oro es sencilla y la veremos a
continuación.
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Bastará dividir un segmento cualquiera
en dos partes, a y b , de forma que la
razón entre la totalidad del segmento y
la parte a sea igual a la razón entre la
parte a y la parte b .
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Expresado matemáticamente:
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Donde:
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Luego, podemos despejar a en virtud de la
fórmula general de las ecuaciones de 2do
grado, teniendo en cuenta que a > 0 :
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Finalmente, dividiendo todo por b
obtenemos:
El número de Oro
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A este número inconmensurable se le llama
número de oro ó razón áurea, se representa por
el símbolo  y su valor es aproximadamente
1,61803...
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El símbolo  para la relación áurea fue
propuesto por el matemático americano Mark
Barr. La letra fue elegida en honor al escultor
griego Phidias (s.V a. C) que solía usar la
relación áurea en sus esculturas.
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El nombre de "número de oro" se debe a
Leonardo da Vinci.
Los griegos obtuvieron este número al
hallar la relación entre la diagonal del
pentágono regular y su lado. Esto hace
posible construir un pentágono regular
usando regla y compás.
AC
AB

1
5
2
 1, 61803 ...
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Al trazar las diagonales de un
pentágono regular resulta la estrella
pentagonal o estrella de Italia, era el
símbolo de la escuela pitagórica y
servía a los pitagóricos para
reconocerse entre sí.
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También se halla presente la sección
áurea en una figura de resonancias
míticas y religiosas como es el
pentágono estrellado. Si se observa la
siguiente figura es evidente que las
diagonales del pentágono que dan lugar
a la estrella se cortan en la sección
áurea. El pentágono, asimismo, es la
base para construir el cuerpo sólido
perfecto, el dodecaedro. Platón en el
Timeo afirma que el dodecaedro es la
materia de la que está hecha el elemento
perfecto, el éter, y simboliza además la
perfección del Universo.
Dodecaedro
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La sección áurea se encuentra en todas
las manifestaciones del arte. Desde
Mesopotamia, Egipto y Grecia, hasta
nuestros días. Fue estudiada por
Pitágoras, Euclides y Vitrubio. En el
Renacimiento la investigaron, Uccello, De
la Francesca, Paccioli y Alberti. Miguel
Ángel, Rafael, Leonardo y Durero la
emplearon con mucha frecuencia y aún
pintores modernos, como Mondrian, la
manejan a menudo. Se emplea
igualmente, desde tiempos remotos, en la
escultura y en arquitectura.
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También está presente en el conocido
edificio de la ONU en Nueva York, el cual
no es más que un gran prisma rectangular
con una cara que sigue las citadas
proporciones.
Pero lo que quizás nos pueda resultar más
curioso es la presencia de la razón áurea
en la naturaleza. Hay enigmáticas
conexiones de la espiral de los nautilus (un
tipo de caracol) y las espirales de los
girasoles con la razón áurea.
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Se encuentra además en las
proporciones de la diferentes partes del
hombre o de varios animales, es el
patrón de crecimiento de gemas de
vegetales, de fósiles y puede
identificarse en la forma de las galaxias
y en la agrupación de los átomos de
algunas substancias. Por lo mismo
constituye un elemento técnico
importante que ofrece unidad, equilibrio,
balance y elegancia en el arte universal
Rectángulo Áureo
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Un rectángulo especial es el llamado rectángulo
áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en
sus dimensiones... de proporción divina.
Los rectángulos áureos son aquellos cuyos
lados están en proporción áurea. Este tipo de
rectángulo, como veremos más adelante, lo
empleó Phidias en la fachada del Partenón.
También podemos verlos hoy en la construcción
de muebles, en las cajetillas de tabaco, en las
tarjetas de crédito, etc.
Construcción Divina
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Primero, dibujamos un cuadrado y marcamos el punto
medio de uno de sus lados. Luego, lo unimos con uno
de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia
sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado
mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es
claro que el lado mayor del rectángulo vale
1  5 por lo que la proporción entre los dos
lados es nuestro maravilloso número áureo:
1
5
2
Presencia de  en el Arte
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El hombre de Vitrubio
de Leonardo da Vinci
En "el hombre
ideal" de
Leonardo, el
cociente entre el
lado del cuadrado
y el radio de la
circunferencia que
tiene por centro el
ombligo, es el
número de oro.
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Leonardo da Vinci estudió en
profundidad la aparición de la razón
áurea en el Cuerpo Humano.
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Si quieres comprobarlo puedes medir
desde tu hombro hasta la punta de los
dedos de la mano extendida. El
resultado divídelo por la medida desde
el codo hasta la punta extendida de los
dedos. ¿Cuánto crees que vale esta
proporción?.
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Pues naturalmente su valor es  .
Prueba a hacer lo mismo con las
medidas desde la cadera al suelo entre
la medida desde la rodilla al suelo.
También puedes probar a dividir tu
altura total por la medida resultante
desde tu ombligo al suelo. Todos estos
estudios de Leonardo son fruto de
concienzudas medidas y estudios sobre
cadáveres que desenterraba.
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Hermes con Dioniso niño
Existen relaciones
basadas en la
sección áurea en
algunas de las más
célebres estatuas
griegas como el
Hermes de
Praxíteles (390330 a. C.).

Aparece en la Venus de
Milo. En España, en la
Alambra, en edificios
renacentistas como El
Escorial ... y en la propia
Naturaleza en las
espirales de las conchas
de ciertos moluscos.
Venus de Milo
Museo del Louvre, París

El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado
en 1949, sintetiza siglos de tradición
matemática y simbólica, especialmente
pitagórica. Se trata de una filigrana
basada en la proporción áurea, pero
elaborada de tal forma que no es
evidente para el espectador. En el boceto
de 1947 se advierte la meticulosidad del
análisis geométrico realizado por Dalí
basado en el pentagrama místico
pitagórico.
Leda atómica de Salvador Dalí
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Ya vimos que el cociente entre la
diagonal de un pentágono regular y el
lado de dicho pentágono es el número
áureo. En un pentágono regular está
basada la construcción de la Tumba
Rupestre de Mira en Asia Menor.

Los griegos también la emplearon en
sus construcciones, especialmente
Phidias en El Partenón. La fachada del
Partenón está construida sobre
rectángulos áureos.
Partenón de Atenas
Presencia de  en la
Naturaleza
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En la naturaleza,
aparece la proporción
áurea también en el
crecimiento de las
plantas, las piñas, la
distribución de las
hojas en un tallo,
dimensiones de
insectos y pájaros y la
formación de
caracoles.
Suceción de Fibonacci
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Fibonacci (Leonardo de Pisa 1170-1240)
es más conocido entre los matemáticos
por una curiosa sucesión de números,
cuyos términos a partir del tercero, se
forman al sumar los dos inmediatos
anteriores.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...


Esta es la llamada "sucesión de Fibonacci "
la cual fue concebida a partir del siguiente
"problema de los conejos" que aparece en su
gran obra Liber Abaci. El problema en
lenguaje actual diría así:
"Una pareja de conejos tarda un mes en
alcanzar la edad fértil, a partir de ese
momento cada vez engendra una pareja de
conejos, que a su vez, tras ser fértiles
engendrarán cada mes una pareja de
conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de
un determinado número de meses?."

La sucesión de Fibonacci permite construir la
espiral de Durero, que es una forma
geométrica omnipresente en la naturaleza.
Alberto Durero no fue un matemático, sino un
artista alemán del Renacimiento,
especialmente conocido por sus grabados. La
espiral de Durero es útil para investigar las
conchas de algunos moluscos, los cuernos de
algunos animales, las hileras de piñones en la
piña, las semillas de una flor de girasol... Tiene
como característica principal el que los puntos
sobre los que se traza se corresponden con
rectángulos cuyos lados son dos números de
la sucesión de Fibonacci.
De un rectángulo de Fibonacci se deriva la espiral logarítmica, y de ella los
caracoles
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Esta sucesión de números aparece en
la Naturaleza en formas curiosas.
Cualquier variedad de piña presenta
siempre un número de espirales que
coincide con dos términos de la
sucesión de los conejos de Fibonacci,
8 y 13; ó 5 y 8.
Verdes – 5, Naranjas –8
Verdes – 8, Rojas –13
Otra espiral de Fibonacci
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En las ciencias naturales, es bien conocida
la estructura de Fibonacci en la disposición
de las semillas en los girasoles. Las semillas,
ubicadas en la gran parte central de las
flores, tienen una implantación en espiral:
hay dos grupos de espirales, gobernadas por
dos funciones logarítmicas. Un grupo gira en
sentido horario y otro en el antihorario. La
cantidad de espirales logarítmicas en cada
grupo sigue números de Fibonacci
consecutivos. ¿Sorprendido? Comprúebelo
usted mismo.
Disposición de Fibonacci de las semillas del girasol
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La sucesión de Fibonacci es la pauta que
siguen determinados fenómenos de la
naturaleza. Puede aprovecharse para
explicar el crecimiento de las hojas a lo largo
del tallo de una planta o el número de pétalos
de algunas flores: por ejemplo, el lirio tiene
tres y las margaritas o girasoles suelen
contar con 13, 21, 34, 55, o bien 89.
Sucesión de Fibonacci vs
Regla Áurea
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A partir de la sucesión de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
Si consideramos la sucesión de las
razones entre dos términos consecutivos
 1 2 3 5 8 13 21

 n    , , , , , ,
, 
 1 1 2 3 5 8 13

Límite Divino
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Llegamos a la maravillosa conclusión
de que:
l im  n  
n
Y hay más…
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A partir de dos números cualesquiera, si se
considera la sucesión de Fibonacci
correspondiente así como la de sus razones,
siempre arribaremos a este límite divino.
El número áureo en la música
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Como ya sabemos, la sucesión de Fibonacci
está muy relacionada con el número áureo. El
cociente de un término de la sucesión con el
anterior tiende al número áureo.
El compositor húngaro Bela Bartok y el francés
Olivier Messiaen utilizaron esta serie para
determinar la duración de las notas de algunas
de sus obras.
El compositor mexicano Silvestre
Revueltas(1899 -1945) utilizó también el
número áureo en su obra Alcancías, para
organizar las partes (unidades formales).


En varias sonatas para piano de Mozart, la
proporción entre el desarrollo del tema y su
introducción es la más cercana posible a la
razón áurea. ¿Intuición?
Tampoco se sabe si fue consciente de ello,
pero en su Quinta Sinfonía Beethoven
distribuye el famoso tema siguiendo la
sección áurea.
Conclusiones
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Las extrañas apariciones de la sucesión de
Fibonacci y de la razón áurea han dado lugar
a interminables especulaciones y análisis y,
por supuesto, a una abundante bibliografía.
Sabemos que se rigen por ella variados
patrones naturales, así como ciertas
proporciones de la anatomía humana, animal
y vegetal.
También se han hallado manifestaciones de
estas entidades en las artes plásticas, la
arquitectura y la música.

Las peculiaridades de estas maravillosas
razones matemáticas son, en apariencia,
infinitas.

Son tan atractivas que es fácil caer
encandilados bajo su hechizo.

Por lo pronto, espero y deseo que el presente
ayude de alguna manera a entender el por
qué la matemática nunca debe ser un
obstáculo en nuestras vidas.
La matemática es la ciencia del orden y la
medida.
René Descartes
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