Universidad Simón Bolívar
Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas
Coordinación de Carrera de Ingeniería de Producción
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Ingeniería Económica
Sartenejas
2009
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
De la asignatura
INGENIERÍA ECONÓMICA
•Programa(s) por el(los) que se ofrece: Ingeniería de Producción
•Código: CE3114
•Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas: [email protected]
•Créditos: 03
•Horas semanales: Tres (3)
•Día: Viernes. Horas: 1-3
•Profesor Autor: César Ríos. (correo-e: [email protected] )
•Profesor que dicta el curso: César Ríos
•Fecha de elaboración: 20/04/09
•Fecha de última actualización: 20/04/09
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
De los objetivos
General
Proporcionar al estudiante una introducción al conjunto de herramientas necesarias
para el análisis microeconómico que permitan comprender el proceso de toma de
decisiones relativas a la inversión, privada y pública, asociadas y vinculadas con el
desarrollo y éxito de la actividad productiva.
Específicos
Se aspira a que los estudiantes adquieran conocimientos clave sobre las teorías que
explican el comportamiento de los agentes económicos racionales (consumidores y
los productores), el fenómeno del intercambio y la toma de decisiones económicofinancieras. En particular, se ofrece una introducción al análisis del entorno
económico y las decisiones estratégicas , haciendo énfasis en lo relativo a los temas
exclusivos de la ingeniería económica, tales como el papel dinero en el tiempo, los
tipos de interés, el análisis del punto de quiebra y el análisis de proyectos, bajo
incertidumbre y riesgo, entre otros. A lo largo del curso el estudiante desarrollará
competencias para construir e integrar modelos teóricos y empíricos sencillos que le
permitan validar algunos de los modelos presentados a lo largo del curso.
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
De los tópicos
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
1.
2.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.
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17.
18.
19.
20.
Introducción
Fundamentos de ingeniería económica
Factores: cómo afectan el tiempo y el interés el dinero
Factores combinados
Tasas de interés efectivas y nominales
Análisis de valor presente
Análisis del valor anual
Análisis de la tasa de rendimiento
Análisis de la tasa de rendimiento: alternativas múltiples
Análisis beneficio/costo y economía del sector público
Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples
Decisiones de conservación y reemplazo
Elección de proyectos independientes con limitaciones de presupuesto
Análisis de punto de equilibrio
Efectos de la inflación
Estimación de costo asignación de costo indirecto
Métodos de depreciación
Análisis económica después de impuestos
Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado
Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo
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De las estrategias
Estas estrategias las constituyen:
1) Exposiciones por parte del profesor
2) Lecturas obligatorias y resolución de problemas por parte de los alumnos
3) Sesión de preguntas y respuestas
4) Lecturas complementarias previstas para los estudios de casos
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De los recursos
RECURSOS HUMANOS
Por ahora, el curso no cuenta con personal asistente o apoyo. En tal
sentido, se han programado horas de consultas, previa cita, para los días
Martes y Jueves de 1:30 PM a 4:30 PM
RECURSOS MATERIALES Y/O INSTRUCCIONALES
El curso contará con la página electrónica de AULA VIRTUAL, donde el
estudiante podrá acceder tanto a las notas de clase como a
direcciones específicas y contenidos de interés relativos al curso. Cada
estudiante tendrá una clave privada de acceso, la cual deberá ser
creada por éste, luego de recibir invitación al grupo. A tales efectos,
cada uno de los participantes deberá enviar un correo a
[email protected] identificándose y solicitando dicha adscripción.
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De la evaluación
•Tres (3) Exámenes (30% c/u)
•Asistencia (10%)
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De la bibliografía
1. Blank, L. y Tarquin A. (2002), Ingeniería Económica, VI Edición. McGraw
Hill.
2. García, Jaime (2000), Matemáticas financieras con ecuaciones de
diferencia finita, IV Edición, Pearson.
3. Stermole, F. & Stermole, J. (1996), Economic Evaluations & Investment
Decision Methods, Night Edition, Investment Evaluation Corporation,
Golden, CO, USA.
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De las referencias bibliográficas
1. Baca, Gabriel (1999), Fundamentos de Ingeniería Económica, McGraw
Hill.
2. Brealey, Richard (1988), Principios de Finanzas Corporativas, II Edición,
McGraw Hill.
3. Cabral, Luis (1997), Economía Industrial, McGraw Hill.
4. De Castro, J. y Duch, N. (2003), Economía Industrial: Un enfoque
estratégico, McGraw Hill.
5. Sullivan W., Wicks E. y Luxhoj J. (2004), Ingeniería Económica: de
DeGarmo, XII Edición, Prentice Hall.
6. Van Horne, James (1994), Fundamentos de Administración Financiera,
Octava Edición, Prentice Hall.
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De las referencias bibliográficas
1. PRIMER TERCIO:
TEMAS 1al 8 + Examen N° 1 en Semana 4
2. SEGUNDO TERCIO:
TEMAS 9 al 15 + Examen N° 2 en Semana 8
• TERCER TERCIO:
TEMAS 16 al 20 + Examen N° 3 en Semana 12
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Ingeniería Económica
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Elementos de matemáticas financieras:
Con ecuaciones en diferencia finita
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2009
Ingeniería Económica
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Tema 1: Introducción
1. Instituciones sobre el curso: Reglas del juego
2. Por qué la ingeniería económica es importante para los ingenieros
3. Papel de la ingeniería en la toma de decisiones
4. Realización de un estudio de ingeniería económica
5. Elementos de matemática financiera:
 Funciones clave
 Ecuaciones en diferencia
 Series uniformes y series variables
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Tema 1: Función exponencial
Dado un número real positivo b, se llama función
exponencial en la base b a la función expresada
como:
f ( x)  b , b  0
x
Bases clave:
Base b
= e = 2,7182881828
Base b=
10
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Tema 1: Elementos de matemática financiera
Caso 1: Si de conoce la base, la forma general de la función
exponencial
f ( x )  Ab ,  b  0  A  ctte .
x
Caso 2: Si no se conoce, o no se especifica la base (b), pero se
dice que la función crece o decrece exponencialmente, se
supone que b
=e
f ( x )  ke ,  k  a  cttes .
ax
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Tema 1: Función exponencial
Ejemplo1: Las ganancias de la empresa en 1998 (t=0) fueron US$
500 millones y en el 2005 (t=7) US$ 630 millones. Si las ganancias
crecen exponencialmente, estimar las ganancias para el año
2018 (t=20).
Solución:
G ( t )  ke ,  k  a  cttes .
at
G ( 0 )  500  ke
a (0)
 k  k  500
G ( 7 )  630  ke
a (7)
e
 
G ( 20 )  500 e
7a
 20 / 7 
7a
 63 / 50 
 20 / 7 
 500 63 / 50 
 967 , 7 MMUS $
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Tema 1: Función exponencial
Ejemplo2: La población está dada por la expresión
P (t )  2 e
0 ,15 t
,  t 0  1986
¿Cuál será la población proyectada para el 2006?
¿Cuál es el crecimiento porcentual de la población cada año?
P ( 20 )  2 e
Solución:
% 
f ´( x )
0 ,15 ( 20 )
 40 ,17 MM . Hab .
 100   %
f ( x)
 % 
P ´( t )
P (t )
 100 
0 ,3 e
2e
0 ,15 t
0 ,15 t
 100   %  15 %
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Tema 1: Función exponencial
Caso 3: Una cantidad crece periódicamente en el mismo
porcentaje. Supongamos que iniciamos con una cantidad
P y que
en cada período t, se sucede un aumento de r% sobre le valor
inmediatamente anterior. Luego, la sucesión será:
S t 0  0  P
S t1  1  P   r  P  P (1  r )
S t 2   2  P (1  r )   r  P (1  r )  P (1  r )
2
S t 3  3  P (1  r )   r  P (1  r )  P (1  r )
2
3

S t k  t  P (1  r )    rP (1  r )
k 1
 P (1  r )
k
Clave
del interés
compuesto
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Tema 1: Función exponencial
Ejemplo 3: Hallar el valor de r, tal que 300 . 671  100 . 000 1  r 
Solución:
 300 . 671 
(1  r )  

 100 . 000 
 r  0 , 035
1 32
 1, 035
32
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Tema 1: Función logarítmica
Caso 4: Dado un número real positivo b, se llama función
logarítmica, en la base b, y se denota como log b y  x
a la
x
función inversa de y  b
Propiedades clave:
y  e  x  ln y
x
e
ln t
t
ln e  u
u
ln e  1
ln 1  0
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Tema 1: Función logarítmica
Ejemplo 4: El precio de venta de un equipo se expresa como:
V  10 . 000 e
 0 ,1 t
US $
y donde y es el tiempo de antigüedad del equipo medido en
años.
• ¿Cuál será el valor de la maquinaria al cabo de 8 años?
• ¿En qué momento la maquinaria tendrá un valor de venta de
6.053,3 US$?
V (8 )  10 . 000 e
 0 ,1 ( 8 )
 4 . 493 ,3US $
V ( t )  6 . 065 ,3  10 . 000 e
 0 ,1 ( t )
e
Solución:
ln e
 0 ,1 t
 0 ,1t
 0 , 60653 US $
 ln 0 , 60653 US $  t  5 años
Ingeniería Económica
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Tema 1: Progresión aritmética
Caso 5: Se llama progresión aritmética a toda sucesión de
términos, en la que cada uno de ellos, a diferencia del
primero, se obtiene sumando una cantidad fija al anterior a
éste. A esta cantidad fija, que se adiciona a cada término, se
le conoce como incremento o diferencia común
Ejemplo: Se a el primer término y h el incremento o diferencia de
una serie aritmética, entonces los n primeros términos estarán
dados por:
a , a  h , a  2 h ,..., a  ( n  1) h
S  a  a  h   a  2 h   ...  a  ( n  1) h
n  1 
n 
S     2a 
 ...  a  ( n  1) h

h 
2 
Ingeniería Económica
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Tema 1: Progresión geométrica
Caso 5: Se llama progresión geométrica a toda sucesión de
términos en la cual la razón o cociente entre un término
cualquiera y el anterior a éste es constante. Esta definición
equivale a decir que una sucesión de términos constituye una
progresión geométrica, si cada término se obtiene
multiplicando el anterior por una cantidad fija
Ejemplo: Dado un primer término a y una razón r, la progresión
geométrica correspondiente para los primeros n primeros
términos estará dada por:
2
a , ar , ar ,..., ar
 S
n 1
2
n 1





 a  ar  ar  ...  ar  


 1 rn
r  1
a
S   1  r 
a  n r  1

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Tema 1: Ecuaciones en diferencia finita
Diferencia finita: Sea y  f (t )
función para valores enteros no
negativos de t, o sea para t =0,1,2,3,…, se llama primera
diferencia, o diferencia finita de primer grado de y  f (t ) a la
expresión dada por:
 f ( t )  f ( t  1)  f ( t )
Nota: Ejemplos en reserva (por Jaime García)
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1) Fundamentos de ingeniería económica
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2009
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1.1 Objetivos y conceptos clave
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Tema 1.1 : De los objetivos
Comprender los conceptos fundamentales de la ingeniería
económica, relativos con:
La toma de decisiones
Los enfoques del estudio
Las tasas de interés
Las equivalencias
El interés simple y compuesto
Los símbolos
La tasa mínima atractiva de rendimiento
El tiempo de duplicación
Estudio de casos
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Tema 1.1 : Del concepto
 La ingeniería económica implica formular, estimar y evaluar
los resultados económicos cuando existan alternativas
disponibles para llevar a cabo un propósito definido.
 Es un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las
comparaciones económicas.
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1.2. La ingeniería económica en la toma de decisiones
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Tema 1.2 : Claves del desarrollo y elección de alternativas
Del papel de la ingeniería económica en la toma de decisiones:
Comprensión del problema y definición del objeto.
Recopilación de información relevante.
Definición de posibles soluciones alternativas y realización de
estimaciones realistas o verosímiles.
Identificación de criterios para la toma de decisiones
empleando uno a más atributos.
Evaluación de cada alternativa ampliando un análisis de
sensibilidad para reforzar la evaluación.
Elección de la mejor alternativa.
Implantar la solución.
Vigilar los resultados.
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Tema 1.2 : Claves del desarrollo y elección de alternativas
Ejemplo: Dos directivos de empresas amigas viajan frecuentemente
en avión. Ambos deciden apuntar, dada la naturaleza económica
del asunto, las preguntas que deberían responder frente a las
alternativas de comprar un avión o seguir viajando en vuelos
comerciales? Estas son:
¿Cuánto costará el avión? ¿Se necesitan estimaciones de costos?
¿Cuánto costará el avión? ¿Se requiere un plan de financiamiento?
¿Reportan ventajas los impuestos? ¿Se requiere información sobre
las regulaciones fiscales y tasas impositivas particulares?
¿En qué se basa la elección de una alternativa? ¿Se requiere de un
criterio de elección?
¿Qué se espera de la tasa de retorno? ¿Se necesitan ecuaciones?
¿Qué sucederá si llegamos a volar más a menudo de lo q que
calculamos hoy? ¿Se requiere de un análisis de sensibilidad?
Ingeniería Económica
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Tema 1.2 : Claves del desarrollo y elección de alternativas
Del esquema de un estudio de ingeniería económica: Agenda de
puntos clave:
Alternativa de compra:
Estimación del costo de compra
El método de financiamiento
Tasa de interés
Costos anuales de operación
Posible incremento en los ingresos por ventas anuales
Deducciones del impuesto sobre la renta
Alternativa complementaria:
Estimación de costos de transportación comercial
Cantidad y frecuencia de viajes
Ingresos anuales por ventas
Otros datos relevantes
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Tema 1.2 : Claves del desarrollo y elección de alternativas
Medidas de Valor: El criterio de selección, o medida de valor, es
una atributo de evaluación numérica. Como elemento clave
común, al determinar una medida de valor, se considera el hecho
de que el dinero de hoy tendrá un valor diferente en el futuro; es
decir, que se toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo.
Algunas de estas medidas de valor son:
Valor presente (VP)
Valor futuro) VF)
Valor anual (VA)
Tasa de retorno (TR)
Costo de capitalización (CC)
Razón Beneficio/Costo (B/C)
Período de recuperación
Valor económico agregado (VEA)
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Tema 1.2 : Claves del desarrollo y elección de alternativas
La variación de la cantidad del dinero en un período de
tiempo dado recibe el nombre de valor de dinero en el tiempo;
éste es el concepto más importante de la ingeniería económica
Los cálculos reales, el análisis de sensibilidad y la elección de
alternativas permiten complementar el análisis, los cuales no
contemplan, necesariamente, o de manera directa, el valor del
dinero.
En el análisis económico, las unidades financieras (bolívares u
otra moneda) generalmente sirven de base tangible para
realizar la evaluación.
Cuando existen diversas formas de conseguir un objetivo, se
elegirá la alternativa con el costo global menor, o la utilidad
neta global mayor
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Ingeniería Económica
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1.3 Realización de un estudio de ingeniería económica
Sartenejas
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Tema 1.3 : Del ámbito de la I.E.
A todo efecto, y dentro del ámbito y alcance de trabajo del curso,
los términos ingeniería económica, análisis de ingeniería
económica, toma de decisiones económicas, estudio de
asignación de capital, análisis económico u otros similares, se
considerarán sinónimos.
El enfoque general, o enfoque de estudio de ingeniería
económica, ofrece una perspectiva general del estudio de
ingeniería económica.
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Tema 1.3 : Del enfoque de estudio de I.E.
Problema identificado, objetivo definido
Alternativa N° 1
Comprar
Alternativa N° 1
Alquilara
Descripción e
información
Descripción e
información
Flujos de efectivo
en el período “t”
1.
2.
3.
Estimaciones de egresos e ingresos
Estrategias de financiamiento
Leyes tributarias
Flujos de efectivo
en el período “t”
Análisis mediante
un modelo de I.E.
1.
2.
3.
Valor del dinero en el tiempo
Tasas de interés
Medida de valor
Análisis mediante
un modelo de I.E.
Alternativa N° 1
evaluada
1.
Cálculo de la media de valor
Alternativa N° 2
evaluada
Atributos no económicos por considerar
Ingeniería Económica
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Tema 1.3 : Del proceso de toma de decisiones
En términos de toma de decisiones, el enfoque general, en cada
paso del proceso, apuntará:
• Respecto a la descripción de alternativas, a resaltar parámetros
tales como vida útil, ingresos y egresos anuales estimados, valor
de salvamento (valor de reventa o canje), una tasa de interés
(tasa de rendimiento) y posiblemente inflación y efecto del
impuesto sobre la venta. En este apartado, tanto los costos
anuales de operación (CAO) como los costos de mantenimiento
y operación se considerarán gastos anuales.
• Respecto a los flujos de efectivo, a precisar los ingresos (entradas)
y egresos (salidas) estimada de dinero (fondos) que reciben el
nombre de flujos de efectivo. Este apartado es clave para un
estudio de I.E.
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Prof. César Ríos
Tema 1.3 : Del proceso de toma de decisiones
… el enfoque general, en cada paso del proceso, apuntará:
3.
Respecto al análisis mediante un modelo de ingeniería
económica, a construir el modelo subyacente, o conjunto de
cálculos que consideran el valor del dinero en el tiempo sobre los
flujos de efectivo de cada alternativa, para obtener así la
medida de valor.
4. Respecto a la elección de alternativas, a comparar los valores de
la medida de valor de cada alternativa y a objeto de elegir una
de ellas. Si sólo se define una alternativa viable, hay una segunda
alternativa presente en la forma de alternativa de no hacer nada
(status quo o dejar como está). Se podrá elegir no hacer nada si
ninguna alternativa posee una medida de valor favorable.
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Ingeniería Económica
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1.4 Tasas de interés y tasa de rendimiento
Sartenejas
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Ingeniería Económica
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Tema 1.4 : Tasas
1. Tasa de interés simple
2. Tasa de interés compuesto
3. Tasa de interés efectiva
4. Tasa de interés nominal
5. Tasa de interés equivalentes
6. Tasa de interés discreta
7. Tasa de interés continua
8. Tasa de interés vencida
9. Tasa de interés anticipada
10. Tasa de interés compuestas
11. Tasa de inflación
12. Tasa de oportunidad
13. Tasa interna de retorno
Nota: Ejemplos en reserva (por Jaime García)
Ingeniería Económica
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Tema 1.4 : Tasas
El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo.
Desde la perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una
cantidad final de dinero y la cantidad original.
i  ( k t  k t 1 )
En términos formales, la idea original sobre el interés se deriva de una tasa
de variación, o tasa de crecimiento, de una variable aleatoria, en el tiempo,
a saber:
 k t  k t 1
xˆ  
 k t 1

  100 %


La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de período de interés.
Variantes del interés: El interés se gana o se pierde.
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Tema 1.4 : Tasas de interés
Desde la perspectiva de ACREEDOR (o prestamista), el interés que se
paga por fondos que se piden prestado (préstamo) se determina mediante
la relación:
Interés = (Cantidad que se debe hoy - Cantidad original)
i  ( c t  c t 1 )
Luego, cuando el interés pagado (o cancelado) con respecto a una
unidad de tiempo específica se expresa como porcentaje de la suma
original (o principal) , el resultado recibe el nombre de tasa de interés. A
saber:
 c t  c t 1
i (%)  
 c t 1

  100 %


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Tema 1.4 : Tasa de interés
Ejemplo N° 1: PEPSI solicita un préstamo bancario de $10.000 el 1ro. de
Mayo de los corrientes, y deberá cancelar un total de $10.700
exactamente un año después. Determinar el interés y la tasa de interés
pagada.
Se pide:
1. ¿Cuál es el interés a cancelar por UPS?
2. ¿Cuál el total de la deuda después de un año?
Respuestas:
1. Cálculo del interés
2. Cálculo de la tasa de interés
i  $( 10 . 700  10 . 000 )  i  $ 700
i (%) 
700
10 . 000
 100 %  i %   7 %
Ingeniería Económica
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Tema 1.4 : Tasa de interés
Ejemplo N° 2: UPS tiene planes de solicitar un préstamo bancario de $20.000
durante un año al 19% de interés para adquirir un equipo nuevo.
Se pide:
1. ¿Cuál es el interés a cancelar por UPS?
2. ¿Cuál el total de la deuda después de un año?
Respuestas:
1. Cálculo del interés
2. Cálculo de la tasa de interés
i  $( 10 . 700  10 . 000 )  i  $ 700
i (%) 
700
10 . 000
 100 %  i %   7 %
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Tema 1.4 : Tasas de rendimiento
Desde la perspectiva del CLIENTE (o ahorrador) , el interés que se obtiene
por fondos que se colocan en depósito (ahorro), o interés ganado, se
determina mediante la relación:
Interés generado = (Cantidad que se debe hoy - Cantidad original)
i  ( g t  g t 1 )
Luego, cuando el interés generado (o ganado ) con respecto a una
unidad de tiempo específica se expresa como porcentaje de la suma
original , el resultado recibe el nombre de tasa de rendimiento. A saber:
 g t  g t 1
TR (%)  
 g t 1

  100 %


Ingeniería Económica
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Tema 1.4 : Tasas
La tasa de rendimiento (TR) es sinónimo del término rendimiento sobre la
inversión (RSI).
Aunque los valores numéricos de las ecuaciones son los mismos, el término
tasa de interés pagada es más adecuada para la perspectiva del
prestamista, y tasa de retorno ganada para la perspectiva del inversionista.
Cuando se considera más de un período de interés, es necesario definir si
la naturaleza de la acumulación de los intereses de un período al siguiente
período es simple o compuesto.
Respecto a la inflación, esta tendrá impactos desde las dos perspectivas
presentadas. Desde la perspectiva de quien solicita un crédito, será otras
tasa implícita en la tasa real de interés, mientras que desde la perspectiva
del ahorrista, o inversionista en una cuenta de interés fijo, la inflación reduce
la tasa real de rendimiento sobre la inversión.
Ingeniería Económica
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Tema 1.4 : Tasas
La inflación impacta en el análisis económico individual y empresarial, e
implica que el costo y la ganancia estimados de un flujo de efectivo
aumentan con el tiempo, producto al valor cambiante del dinero que la
inflación fuerza a la moneda de un país, lo que hace que el poder
adquisitivo de una unidad monetaria, sea menor respecto a su valor en una
época anterior.
El efecto de la inflación se observa en el echo que la moneda compra
menos hoy que antes, y contribuye a que ocurre lo siguiente:
La reducción del poder de compra.
El incremento en el IPC (índice de precios al consumidor).
El incremento en el costo del equipo y su mantenimiento.
El incremento en el costo de los profesionales asalariados y empleados
contratados por hora.
La reducción en la tasa real sobre los ahorros personales y las
investigaciones corporativas.
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1.5 Equivalencia económica
Sartenejas
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Ingeniería Económica
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Tema 1.5 : Equivalencia económica
Ejemplo: Usted viaja a 68 millas por hora, lo cual equivale a 110 kilómetros
por hora.
Se pregunta: ¿Es“68” igual a “110”?
Respuesta: No. No en términos de valores absolutos. Pero, ellos son
“equivalentes”, en términos de las dos escalas de medida, a saber:
 Millas
 Kilómetros
Equivalencia: La equivalencia estará dada por la expresión:
1 Milla = 1,6 Kilómetros
Ingeniería Económica
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Tema 1.5 : Equivalencia económica
Dos cantidades de dinero en dos momentos distintos en el tiempo
pueden constituirse como equivalencias económicas sí:
 Consideramos una tasa de interés
 Si consideramos un número de períodos entre las dos cantidades
Equivalencia e igualdad en términos de valor económico
Ingeniería Económica
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Tema 1.5 : Tabla N° 1: Equivalencia económica
Ei
Pregunta
Respuesta
(Dato: i = 5%)
1
La cantidad de $98 hoy
equivale a un costo de
$105,60 un año después
FALSO:
Suma total acumulada = 98x(1,05) =$102,90 >$105,60
2
El costo de $200 de una
batería hace un año
equivale a $205 ahora
FALSO:
Costo anterior = $205/(1,05) =$195,24 < $200
3
Un costo de $38 ahora
equivale a $39,9 un año
después
VERDADERO:
Costo dentro de un año = $38x(1,05) =$39,9
4
Un costo de $3.000 ahora
es equivalente a $2.887,14
hace un año
FALSO:
Costo actual =N $2.887,14x(1,05) = $3.031,50 >$3.000
5
El cargo por manejo de
inventarios al año sobre la
inversión con un valor de
$2.000 es de $100
VERDADERO:
El cargo de 5% de interés anual, o (2.000x5%) = $100
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.5 : Períodos de capitalización
Supónganse que la tasa de Interés anual con capitalización anual es de 12%
Período de Capitalización Semestral
Cálculo del Interés Efectivo Anual
Interés Efectivo por Período
ief
2


0 ,12 
  1 
  1  100 %  12 ,36 %
2 
 

i ef  sem . 
0 ,12
 0 , 06  6 %
2
Período de Capitalización Cuatrimestral
Cálculo del Interés Efectivo Anual
Interés Efectivo por Período
ief
3


0 ,12 
  1 
  1  100 %  12 , 486 %
3 
 

i ef  cuatr . 
0 ,12
3
 0 , 04  4 %
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.5 : Períodos de capitalización
Período de Capitalización Trimestral
Cálculo del Interés Efectivo Anual
Interés Efectivo por Período
4


0 ,12 
 1 
  1  12 ,551 %
4 
 

ief
i ef  trim . 
0 ,12
 0 , 03  3 %
4
Período de Capitalización Mensual
Cálculo del Interés Efectivo Anual
Interés Efectivo por Período
ief
12


0 ,12 
  1 
  1  12 , 683 %
12 
 

i ef  men . 
0 ,12
12
 0 , 01  1 %
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.5 : Períodos de capitalización
Período de Capitalización Semanal
Cálculo del Interés Efectivo Anual
Interés Efectivo por Período
ief
52


0 ,12 
  1 
  1  12 , 734 %
52 
 

i ef  semanal 
0 ,12
 0 , 0023  0 , 23 %
52
Período de Capitalización Diario
Cálculo del Interés Efectivo Anual
Interés Efectivo por Período
ief
365


0 ,12 
  1 
  1  12 , 7447 %
365 
 

i ef  día 
0 ,12
365
 0 , 000328  0 , 0328 %
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.5 : Períodos de capitalización
Período de Capitalización @ 8 Horas
Cálculo del Interés Efectivo Anual
Interés Efectivo por Período
i ef @ 8 Hrs . 
ief
365  8


0 ,12 
  1 
 1  12 , 748 %

365  8 
 

0 ,12
365  8
Nota: Ejemplos en reserva (por Jaime García)
 0 , 000041  0 , 0041 %
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
1.6 Interés simple y compuesto
Sartenejas
2009
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.6 : Tasa de interés
Tasa de Interés simple: Aquel interés en el cual los intereses
devengados en un período no ganan intereses en el período
S t 1  S t  iP ,  S t  P
Tasa de Interés compuesto: Aquel interés que al final del período
capitaliza los intereses devengados en el período inmediatamente
anterior. Esto equivale a decir que los intereses obtenidos en un
período ganan intereses en el período siguiente, lo que
financieramente se conoce con el nombre de capitalización (intereses
sobre intereses)
Trimestre
Intereses
Total
0
0
50.000,00
1
50.000 x (0,06)
53.000,00
2
53.000 x (0,06)
56.180,00
3
56.180 x (0,06)
59.550,80
4
59.550,8 x (0,06)
63.123,80
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.6 : Interés simple
F  P
i 
 100 %

 P 
Interés Simple:
Ejemplo :
Paola presta a Irwing 3.500 US$. Él es mala paga, por lo
que le pide devolverle 4.025 US$ al cabo de un año.
Solución:
F

 4 . 025

i    1  100 %  
 1  100 %
P

 3 . 500

i  15 %
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.6 : Interés compuesto
Interés Compuesto:
Fn 
Cantidad acumulada al período “ n
i
Tasa de interés
n
Período de capitalización
P 
Cantidad Inicial, depositada en el período “ n ”
Fórmula:
”
F1  P  Pi  F1  P 1  i 
1
F 2  P  Pi   P  Pi i  F 2  P 1  i 
2

F n  P  Pi     P  Pi   i  F n  P 1  i 
n
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.6 : Tasa de interés simple y compuesta
Demuestre el concepto de equivalencia financiera con los diferentes
planes pago de préstamos descritos en seguida. En cada plan se
reembolsa un préstamo de $5.000 en cinco años al 8% de interés anual.
Plan Tipo
r (%)= 8,0%
Al Final
del Año
0
1
2
3
4
5
Interés a Pagar
por el año
Totales
Adeudo Total
al final del año
Pago de
fin de año
Adeudo Total
después del Pago
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.6 : Tasa de interés simple y compuesta
Resumen de Pagos a fin de año
Fin año
0
1
2
3
4
5
TOTAL
€
€
€
€
€
€
€
Plan N° 1
7.000,00
7.000,00
€
€
€
€
€
€
€
Plan N° 2
7.346,64
7.346,64
-
€
€
€
€
€
€
€
Plan N° 3
400,00
400,00
400,00
400,00
5.400,00
7.000,00
€
€
€
€
€
€
€
Plan N° 4
1.400,00
1.320,00
1.240,00
1.160,00
1.080,00
6.200,00
€
€
€
€
€
€
€
Plan N° 5
1.252,28
1.252,28
1.252,28
1.252,28
1.252,28
6.261,41
Resumen de Adeudo Total a final a fin de año
Fin año
0
1
2
3
4
5
TOTAL
Plan N° 1
€
€
€
€
€
€
5.400,00
5.800,00
6.200,00
6.600,00
7.000,00
-
Plan N° 2
€
€
€
€
€
€
5.400,00
5.832,00
6.298,56
6.802,44
7.346,64
-
Plan N° 3
€
€
€
€
€
€
5.400,00
5.400,00
5.400,00
5.400,00
5.400,00
-
Plan N° 4
€
€
€
€
€
€
5.400,00
4.320,00
3.240,00
2.160,00
1.080,00
-
Plan N° 5
€
€
€
€
€
€
5.400,00
4.479,53
3.485,43
2.411,80
1.252,28
-
Resumen de Interés a pagar por el año
Fin año
0
1
2
3
4
5
TOTAL
Plan N° 1
€
€
400,00
€
400,00
€
400,00
€
400,00
€
400,00
€
-
Plan N° 2
€
€
400,00
€
432,00
€
466,56
€
503,88
€
544,20
€
-
Plan N° 3
€
€
400,00
€
400,00
€
400,00
€
400,00
€
400,00
€
-
Plan N° 4
€
€
400,00
€
400,00
€
400,00
€
400,00
€
400,00
€
-
Plan N° 5
€
€
400,00
€
331,82
€
258,18
€
178,65
€
92,76
€
-
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.6 : Tasa de interés simple y compuesta
Plan N° 1: No hay pagos de interés ni del principal hasta el final del año
5. Los intereses se generan cada año exclusivamente sobre el principal.
Plan 1: Interés simple, pago total al final
r (%)= 8,0%
Al Final
del Año
0
1
2
3
4
5
Interés a Pagar
por el año
€
€
€
€
€
400,00
400,00
400,00
400,00
400,00
Totales
Adeudo Total
al final del año
€
€
€
€
€
5.400,00
5.800,00
6.200,00
6.600,00
7.000,00
Pago de
fin de año
€
€
€
€
€
€
7.000,00
7.000,00
Adeudo Total
después del Pago
€
5.000,00
€
5.400,00
€
5.800,00
€
6.200,00
€
6.600,00
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.6 : Tasa de interés simple y compuesta
Plan N° 2: No hay pago de intereses ni del principal hasta el final del año
5. Los intereses se generan cada año sobre el total del principal y todos
los intereses acumulados.
Plan 2: Interés compuesto, pago total al final
r (%)= 8,0%
Al Final
del Año
0
1
2
3
4
5
Interés a Pagar
por el año
€
€
€
€
€
400,00
432,00
466,56
503,88
544,20
Totales
Adeudo Total
al final del año
€
€
€
€
€
5.400,00
5.832,00
6.298,56
6.802,44
7.346,64
Pago de
fin de año
€
€
€
€
€
€
7.346,64
7.346,64
Adeudo Total
después del Pago
€
5.000,00
€
5.400,00
€
5.832,00
€
6.298,56
€
6.802,44
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.6 : Tasa de interés simple y compuesta
Plan N° 3: Los intereses acumulados se pagan cada año y todo el
principal se reembolsa al final del año 5.
Plan 3: Pago anual del interés simple (400 @ año) ; reembolso del principal al final
r (%)= 8,0%
Al Final
del Año
0
1
2
3
4
5
Interés a Pagar
por el año
€
€
€
€
€
400,00
400,00
400,00
400,00
400,00
Totales
Adeudo Total
al final del año
€
€
€
€
€
5.400,00
5.400,00
5.400,00
5.400,00
5.400,00
Pago de
fin de año
€
€
€
€
€
€
400,00
400,00
400,00
400,00
5.400,00
7.000,00
Adeudo Total
después del Pago
€
5.000,00
€
5.000,00
€
5.000,00
€
5.000,00
€
5.000,00
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.6 : Tasa de interés simple y compuesta
Plan N° 4: Los intereses generados, y una quinta parte del principal (Bs.
1.000) se reembolsa cada año. El saldo vigente del préstamo se reduce
cada año, de manera que el interés de cada año disminuye.
Plan 4: Pago anual del interés compuesto y de parte del principal (1.000 @ año)
r (%)= 8,0%
Al Final
del Año
0
1
2
3
4
5
Interés a Pagar
por el año
€
€
€
€
€
400,00
320,00
240,00
160,00
80,00
Totales
Adeudo Total
al final del año
€
€
€
€
€
5.400,00
4.320,00
3.240,00
2.160,00
1.080,00
Pago de
fin de año
€
€
€
€
€
€
1.400,00
1.320,00
1.240,00
1.160,00
1.080,00
6.200,00
Adeudo Total
después del Pago
€
5.000,00
€
4.000,00
€
3.000,00
€
2.000,00
€
1.000,00
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.6 : Tasa de interés simple y compuesta
Plan N° 5: Se hacen pagos iguales cada año, una parte se destina al
reembolso del principal y el resto cubre los intereses generados. Como
saldo del préstamo disminuye a un ritmo menor que el Plan N° 4, como
consecuencia de los pagos iguales de fin de año, el interés disminuye,
aunque a un ritmo más lento.
Plan 5: Pagos anuales iguales del interés compuesto (1,258,28 @ año) y del principal
r (%)= 8,0%
Al Final
del Año
0
1
2
3
4
5
Interés a Pagar
por el año
€
€
€
€
€
400,00
331,82
258,18
178,65
92,76
Totales
Adeudo Total
al final del año
€
€
€
€
€
5.400,00
4.479,53
3.485,43
2.411,80
1.252,28
Pago de
fin de año
€
€
€
€
€
€
1.252,28
1.252,28
1.252,28
1.252,28
1.252,28
6.261,41
Adeudo Total
después del Pago
€
5.000,00
€
4.147,72
€
3.227,25
€
2.233,15
€
1.159,52
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
1.7 Terminología y símbolos
Sartenejas
2009
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.7 : Terminología y símbolos
Las ecuaciones y procedimientos de la ingeniería económica emplean los
siguientes términos y símbolos, a saber:
P = Valor o cantidad única de dinero denotado en tiempo presente o t0 . P
también recibe el nombre de valor presente (VP), valor presente neto (VPN),
flujo efectivo descontado (FED) y costo capitalizado (CC), todos expresados en
unidades monetarias.
F = Valor o cantidad única de dinero en un tiempo futuro, tf . F Serie uniforme
de factor de valor presente y recuperación de capital (P/A y A/P)
A = Serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y al final del período.
A también se denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente
(VAUE); unidades monetarias por año, unidades monetarias por mes.
n = número de períodos de interés, años, meses, días.
i = Tasa de interés o tasa de retorno por período, porcentaje anual,
porcentaje mensual, por ciento diario.
t =Tiempo expresado en períodos, años, meses, días.
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.7 : Terminología y símbolos
Todos los problemas de ingeniería económica incluyen el elemento de
tiempo t.
Se da por supuesto que la tasa de interés, i, corresponde a una tasa de
interés compuesto, a menos que específicamente se indique que se trata de
una tasa de interés simple. La tasa de interés i se expresa como porcentaje por
período de interés.
A menos que se indique lo contrario, se supondrá que la tasa se aplica
durante los n los o períodos de interés. En los cálculos que se realizan en I.E.
siempre se utiliza un equivalente decimal de i.
Los problemas tipo de la I.E. están relacionados con los símbolos (P, F, A, n, i),
de los cuales, al menos, están estimados tres (3) de ellos.
Nota: ver ejemplos 1.10 – 1.14
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
1.8 Soluciones en Excel
Sartenejas
2009
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.8 : Soluciones en Excel
Partiendo de los símbolos establecidos P, F, A, i, y n definidos, las
funciones de Excel más utilizadas en un análisis de ingeniería
económica se formulan de la forma siguiente:
Para calcular el valor presente, P: VP( i%, n, A, F)
Para calcular el valor futuro, F: VF( i%, n, A, P)
Para calcular el valor periódico igual a A: PMT( i%, n, P, F)
Para calcular el número de períodos, n: NPER ( i%, A, P, F)
Para calcular la tasa de interés compuesto, i: TASA (n, A, P, F)
Para calcular la tasa de interés compuesto, TIR(*)
Para calcular el valor presente P de cualquier serie, VPN (**)
Nota: ver detalles en el punto 1.8 del texto de Blank & Tarquin
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
1.9 Tasa mínima atractiva de rendimiento
Sartenejas
2009
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 : Tasa mínima atractiva de rendimiento
En ingeniería, las alternativas se evalúan con base en un pronóstico de una
TR razonable.
Por ello, y como base de estudio, se debe establecer una tasa razonable
para la fase de elección de criterios en un estudio de I.E.
La tasa razonable recibe el nombre de tasa mínima atractiva de retorno
(TMAR) y es superior a la tasa que ofrece un banco o alguna inversión segura
que aplique un riesgo mínimo.
La TMAR también recibe el nombre de tasa base para proyectos, es decir,
una tasa a partir de la cual se considera viable, desde el punto de vista
financiero, y en donde la TR = TMAR o tasa base.
Para una empresa, la TMAR establecida utilizada como criterio para
aceptar o rechazar una alternativa siempre será superior al costo promedio
ponderado del capital con lo que ésta debe cargar para obtener los fondos
de capital necesarios.
TMAR  TMAR  COSTO DE CAPITAL
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 : Tasa mínima atractiva de rendimiento
Para comprender como se fija y aplica un valor para la TMAR, debemos
volver al término de capital, sinónimo de fondos de capital o de inversión
de capital.
Las empresas calculan el costo de capital proveniente de diferentes
fuentes para obtener los fondos y llevar a cabo y proyectos de ingeniería y
de otros tipos.
En general, el capital se obtiene de dos formas:
Por financiamiento de patrimonio: La empresa utiliza fondos propios
de efectivo a mano, ventas de existencia o utilidades acumuladas.
Por financiamiento de deuda: La empresa obtiene préstamos de
fuentes externas y reembolsa el principal y los intereses de acuerdo
con una programa particular (Ver Tabla N° 2)
Por la combinación de ambos.
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 : Magnitud de la TMAR con respecto a otras tasas
Tasa de rendimiento
TR Esperada
de una nueva
propuesta
Rango de tasas de rendimientos en
propuestas aceptadas, en caso de que otras
propuestas fueran rechazadas por alguna
razón
TMAR
TR de una
Rango estratégico
“inversión
segura”
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
1.9 Flujos de efectivo: Estimación y diagramación
Sartenejas
2009
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 : Entradas de efectivo
Las entradas de efectivo, o ingresos, pueden constar de los siguientes
elementos, dependiendo de la naturaleza de la actividad propuesta y
de la clase de negocio que emprenda.
Ejemplos de entradas de efectivo (estimación)
Ingresos (incrementales provenientes de una alternativa).
Reducciones de costos de operación (imputables a la alternativa).
Valor anual de salvamento de activos.
Recepción del principal de un préstamo.
Ahorros en ISLR.
Ingresos provenientes de la venta de acciones y bonos.
Ahorros en costos de construcción e instalaciones.
Ahorros o rendimiento de los fondos de capital corporativo.
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 : Salidas de efectivo
Las salidas de efectivo, egresos o desembolsos, pueden estar constituidas
por los siguientes elementos, dependiendo, de la naturaleza de la
actividad, tipo de negocio o tipo de ajuste en la contabilidad.
Ejemplos de salidas de efectivo (estimación)
Costo de adquisición de activos.
Costo de diseño de ingeniería.
Costo de operación (anual e incremental).
Costos de mantenimiento periódico y de remodelación.
Pagos del interés y del principal de un préstamo.
Costo de actualización (esperados y no esperados).
ISLR.
Gasto de fondos de capital corporativos.
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 : Diagrama de flujo de efectivo
Los flujos de efectivo normalmente tienen lugar en puntos variables del
tiempo dentro de un período de interés, se adopta un supuesto que
simplifica el análisis.
La convención de final de período implica la posición de que todos los
flujos de efectivo ocurren al final de un período de interés. Si varios
ingresos y desembolsos se llevan a cabo dentro de un período de interés
determinado, se da por supuesto que el flujo de efectivo neto ocurre al
final del período de interés.
EL diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy
importante en un análisis económico, en particular cuando la serie del
flujo de efectivo es compleja.
Se trata de una representación gráfica que de los flujos de efectivo
trazados sobre una escala de tiempo.
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 : Diagramas de flujo de efectivo
Flujos de Efectivo
F
F.E. Del Ahorrista
0
1
2
3
…
n
0
1
2
3
…
n
P
P
F.E. Del Prestamista
F
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 : Diagramas de flujo de efectivo
Perspectiva del acreedor (o financista)
A   1 . 100  año
0
1
P   5 . 000
2
3
4
5
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 : Diagramas de flujo de efectivo
Perspectiva del cliente (o emprendedor)
P   5 . 000
0
1
2
3
4
A   1 . 100  año
5
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 : Caso de interés compuesto
Interés compuesto
F 
n


P 1 i
Ejemplo :
Paola espera recibir, dentro de 5 años, una herencia de 50.000 US$
que le dejó el abuelo Irwing. Si la tasa de interés es del 12% anual
capitalizado cada año. ¿A cuánto equivalen los 50.000 US$ al día de
hoy?
Solución
P 
F
1  i 
n

50 . 000 US $
1  0 . 12 5
P  28 . 370 US $
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 :Caso de series uniformes
Serie uniforme:
•El Valor Presente es conocido
•Se desconoce el valor de los “ n “ pagos
•El primer pago se efectúa en el período 1 y el último en “ n “
•Los pagos no se suspenden en el transcurso de los “ n “ períodos
 i 1  i n 
A  P

n
 1  i   1 
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Tema 1.9 :Caso de series uniformes
Camila compra a crédito un Mustang 2008 y acuerda cancelarlo en 12
Meses en cuotas de 95BsF comenzando dentro de un mes. Sí la tasa de
Interés que acuerda es del 12% mensual en sus ventas a crédito, ¿Cuál
es el valor de contado del vehículo?
 i 1  i n 
A  P

n
 1  i   1 
Solución:
P  1 . 004 , 65 BsF
Trate con la Formula
P 
F
1  i 
n
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Recomendaciones
Actividades recomendadas para completar la asimilación de los
contenidos:
Leer los ejemplos del Capítulo 1 del texto de Blank & Tarquin y
responder las preguntas de verdadero y falso de la página web del
texto.
Resolver los problemas 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40,
43, 46, y 49 del texto de Blank & Tarquin.
Leer el Capítulo 2 del texto de Blank & Tarquin antes de la próxima
reunión.
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas
Ingeniería Económica
Prof. César Ríos
Fin Capítulo I
Sartenejas
2009
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Ingeniería Económica Prof. César Ríos