LA CURVA CORAZÓN
Existe en matemáticas
una curva distinta a la que algunos,
los que nunca han dudado de las cosas,
llaman curva de Koch.
Los perplejos en cambio han preferido
denominarla así: copo de nieve.
Se comporta esta curva
multiplicando siempre su tamaño
por cuatro tercios y hacia el interior,
llegando de tan densa al infinito
sin rebasar su área diminuta.
Así mismo, artesana,
te creces muy adentro:
habitándome lenta,
quedándote con todo, sin forzarlo,
este pequeño corazón hermético.
Andrés Neuman
Problema nº 1: “El club de los cinco caprichosos”
Problema nº 2 “¡Por una entrada de cine!”
Problema nº 3: “Cerrando puertas”
Problema nº 4: “Original azulejo”
Problema nº 5: “Los billetes del bus”
Problema nº 6: “El gran premio”
El club de los cinco
caprichosos
EL CLUB DE LOS CINCO CAPRICHOSOS:
Alberto, Sonia, Carolina, Daniel y Elías son candidatos para un examen
oral. El examinador los deja elegir el orden en que quieren pasar, lo
que genera una disputa. De hecho, ni Alberto ni Elías quieren pasar los
últimos y, Elías, no quiere tampoco pasar el primero; además, Sonia
quiere pasar justo después de su amiga Carolina quien, a su vez, no
quiere pasar en lugar impar; finalmente, Daniel insiste en que él quiere
dejar pasar a las dos chicas antes que él.
Contesta de forma razonada en qué orden deben presentarse para
que todos queden satisfechos.
Solución
Menú
Solución:
Empezamos estudiando las preferencias de cada uno:
• Carolina no quiere pasar en lugar impar, por lo que
pasará la segunda o la cuarta:
Carolina
Carolina
Enunciado
Menú
Solución:
•
Como Sonia quiere pasar después de Carolina,
podrá pasar la tercera o la quinta
Carolina
Sonia
Carolina
Enunciado
Sonia
Menú
Solución:
•
Daniel insiste en dejar pasar a las dos chicas delante
de él
Carolina
Sonia
Daniel ?
Carolina
Daniel ?
Sonia
La segunda opción no es posible
Por tanto, podrá pasar el cuarto o el quinto
Enunciado
Menú
Solución:
•
Definitivamente Daniel será el quinto, ya que ni Elías ni
Alberto quieren pasar en último lugar.
Alberto
Carolina
Sonia
Daniel
Elías ?
Daniel?
Daniel
• Además, Elías tampoco quiere pasar el primero, así que
la única opción es la siguiente.
Enunciado
Menú
Solución:
Para que todos queden satisfechos deben presentarse
en el siguiente orden:
1. Alberto
2. Carolina
3. Sonia
4. Elías
5. Daniel
HEMOS ENCONTRA
LA SOLUCIÓN...
… pero ¿habrá más formas de obtenerla?
Enunciado
Menú
¡Por una entrada de cine!
¡Por una entrada de cine!
A Antonio le han regalado una entrada para el cine. Para decidir a cuál de sus dos
hijos, Benito o Carmen, dársela, les plantea el siguiente juego:
“Sin que me hayáis visto, he dispuesto seis cartas boca abajo, formando un
círculo. El dorso de todas ellas es azul, pero tres de ellas son rojas en su cara
frontal y tres son negras. Las he colocado de tal forma que las de cada color estén
consecutivas.
Pues bien, el juego consistirá en que Benito dará la vuelta a una de ellas. Si la
carta es roja perderá la entrada de cine. En otro caso, siguiendo el sentido de las
agujas del reloj, Carmen dará la vuelta a la siguiente carta. Si es roja perderá la
entrada. Si es negra, Benito girará la siguiente carta y así sucesivamente hasta
que alguien encuentre una carta roja, siendo entonces quien pierda la entrada de
cine”.
Llegados a este punto, Carmen le preguntó a su padre el motivo por el que
empezaba Benito y no ella.
Para saber si la protesta tiene fundamento, contesta a la siguiente pregunta:
¿Tienen las mismas posibilidades de ganar ambos? Si la respuesta es negativa,
¿quién tiene más posibilidades de ganar: el que empieza primero o el segundo?
Razona las respuestas.
Solución
Menú
Solución:
Juego: “Sin que me hayáis visto, he dispuesto seis cartas boca
abajo, formando un círculo. El dorso de todas ellas es azul, pero tres de
ellas son rojas en su cara frontal y tres son negras. Las he colocado de
tal forma que las de cada color estén consecutivas.
Pues bien, el juego consistirá en que Benito dará la vuelta a una de
ellas. Si la carta es roja perderá la entrada de cine. En otro caso,
siguiendo el sentido de las agujas del reloj, Carmen dará la vuelta a la
siguiente carta. Si es roja perderá la entrada. Si es negra, Benito girará
la siguiente carta y así sucesivamente hasta que alguien encuentre una
carta roja, siendo entonces quien pierda la entrada de cine”.
Enunciado
Menú
Solución:
Enunciado
Menú
Solución:
2
3
1
6
4
5
Enunciado
Pulsa el botón
para ver que
ocurre en las
distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Menú
Solución:
1.
2
C
B
C
3
1
6
4
5
Enunciado
B
Pulsa el botón
para ver que
ocurre en las
distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Menú
Solución:
1.
B
C
B
2.
B
C
B
2
3
1
6
4
5
Enunciado
C
Pulsa el botón
para ver que
ocurre en las
distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Menú
Solución:
1.
B
C
B
2.
B
C
B
3.
B
C
2
3
1
6
4
5
Enunciado
C
Pulsa el botón
para ver que
ocurre en las
distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Menú
Solución:
1.
B
C
B
2.
B
C
B
3.
B
C
B
Pulsa el botón
para ver que
ocurre en las
distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.
2
3
1
6
4
5
Enunciado
4.
Menú
C
Solución:
1.
B
C
B
2.
B
C
B
3.
B
C
4.
B
5.
B
Pulsa el botón
para ver que
ocurre en las
distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.
2
3
1
6
4
5
Enunciado
Menú
C
Solución:
1.
B
C
B
2.
B
C
B
3.
B
C
4.
B
5.
B
6.
B
2
1
3
6
4
5
Enunciado
Menú
C
Solución:
¿Tienen las mismas posibilidades de
ganar ambos?
1.
B
C
B
2.
B
C
B
3.
B
C
Si la respuesta es negativa, ¿quién tiene
más posibilidades de ganar: el que empieza 4.
primero o el segundo?
B
5.
B
6.
B
No, si empieza Benito tiene Carmen
más posibilidades de ganar
Benito 2/6
Carmen 4/6
El segundo tiene más posibilidades
de ganar
Enunciado
Menú
C
Cerrando puertas
CERRANDO PUERTAS:
El matemático Fermathales Junior va a visitar a su padre,
también matemático, para enseñarle los planos de su nueva
vivienda. Le cuenta que cada noche, al llegar a casa, va
atravesando y cerrando con llave cada una de las puertas por
donde pasa, sin volver a abrir ninguna de las puertas que ha
cerrado, hasta llegar a su dormitorio, después de haber
pasado por todas las puertas, donde queda encerrado con
todas las llaves.
Viendo este plano de la casa del hijo, ¿podrías ayudar al matemático a encontrar
el dormitorio de su hijo?
¿Podría cambiar su hijo el dormitorio de lugar cumpliéndose las mismas
condiciones?
El padre, una vez descubierto el dormitorio de
Fermathales Junior, se pregunta, mirando ahora el plano de su
vivienda, si podría hacer lo mismo en su casa.
• ¿Crees que podría?
• En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación
tendría que realizar en su casa para poder hacerlo?
Razona las respuestas.
Solución
Menú
Solución:
Comprobamos que una posible solución del dormitorio de
Fermathales Junior puede ser la siguiente:
DORMITORIO
FERMATHALES
JUNIOR
Enunciado
Menú
Solución:
Tendríamos que tener en cuenta que si entras en una habitación por una
puerta, la cierras con llave, y sales cerrando la segunda. Una habitación con 2
puertas, quedaría cerrada.
Un razonamiento análogo puede aplicarse al caso de 4 y 6 puertas sólo
que entonces entraría dos y tres veces respectivamente en la habitación. Este
razonamiento puede generalizarse para el caso de un número par de puertas.
Para quedarse encerrado con todas las llaves en el dormitorio, éste
debe tener un NÚMERO IMPAR DE PUERTAS. Por dicho motivo no podría
cambiar su dormitorio de habitación.
Efectivamente:
2
4
DORMITORIO
FERMATHALES
JUNIOR
5
4
2
Enunciado
2
6
2
2
Menú
Solución:
El padre, una vez descubierto el dormitorio de Fermathales Junior, se
pregunta, mirando ahora el plano de su vivienda, si podría hacer lo mismo
en su casa.
• ¿Crees que podría?
• En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación tendría que
realizar en su casa para poder hacerlo?
Razona las respuestas.
Enunciado
Menú
Solución:
En la casa de Fermathales padre, el dormitorio solamente puede
estar en una habitación con un número impar ya que al entrar y salir
obliga a dejar cerradas todas las puertas de 2 en 2.
2
2
4
4
2
Enunciado
3
3
3
2
Menú
Solución:
Por lo tanto, en estas condiciones, el padre no podría realizarlo.
Podría poner un tabique en la puerta de las habitaciones contiguas de
número impar de puertas o bien abrir una puerta en las habitaciones
contiguas de número impar puertas, quedando por tanto un número par
de puertas en todas las habitaciones salvo en el dormitorio.
2
4
4
4
2
3
DORMITORIO de
FERMATHALES
PADRE
Enunciado
2
4
2
Menú
Solución:
Lo más sencillo sería eliminar la puerta que comparten las
habitaciones contiguas de 3 puertas. De esta forma pasarían a tener dos
puertas cada una y en la casa se quedaría solamente una con un número
impar de puertas, la que tiene 3 que pasaría a ser el dormitorio, aunque
fuese el vestíbulo.
2
4
2
2
Enunciado
2
4
3
2
DORMITORIO de
FERMATHALES
PADRE
2
Menú
Solución:
Puesto que el padre es matemático se ha dado cuenta de que no
puede hacer en su casa un recorrido en las mismas condiciones que su hijo
ya que hay tres habitaciones con un número impar de puertas.
Sin embargo debemos hacer una observación y es que no es
habitual que la habitación de entrada, el vestíbulo, sea el dormitorio,
pero hacer un recorrido euleriano en tu propia casa todos los días, bien
merece una pequeña reforma y la alteración de las costumbres al uso.
Seguramente esa sería la reflexión que hizo nuestro matemático.
Enunciado
Menú
Original azulejo
ORIGINAL AZULEJO:
La empresa de azulejos Porcelatodo va a inaugurar una nueva fábrica en
Todolandia y por dicho motivo ha lanzado al mercado un nuevo diseño de
azulejos blancos de forma octogonal irregular con un cuadrado de color verde
de lado 10 cm en el centro del mismo (como puede observar en el dibujo).
El famoso escaparatista D. Esbelto Decoralotodo para el día de la
inauguración quiere preparar un panel expositor de 2’25 m2 de superficie.
Dicho panel estaría recubierto con los nuevos azulejos y para cubrir los
huecos que se forman al unir estos azulejos utiliza otras piezas de color verde
y de forma cuadrada de 200 cm2 cada una (como se ve en el dibujo), que
pueden ser troceadas.
¿Qué superficie ocupa el azulejo octogonal?
¿Cuántos azulejos octogonales y cuántas piezas cuadradas necesitará D.
Esbelto Decoralotodo para recubrir todo el panel expositor?
Razona las respuestas.
Solución
Menú
Solución:
Empecemos calculando la superficie del azulejo y para ello
dividamos el octógono en partes como se observa en la figura.
Como se puede comprobar fácilmente el azulejo octogonal está
formado por 5 cuadrados y por 4 mitades, es decir, por un total de 7
cuadrados iguales que tienen de lado 10 cm.
Enunciado
Menú
Solución:
Calculemos cuál será la superficie de estos 7 cuadrados
• A cuadrado = lado2 = 102 = 100 cm2
• A octógono = 7 × A cuadrado = 7 × 100 = 700 cm2
El azulejo tiene una superficie de 700 cm2
Enunciado
Menú
Solución:
Veamos ahora cuáles serían las dimensiones del panel expositor
que se quiere construir, del cual sabemos que su superficie es de 2’25 m2
En primer lugar pasemos la superficie a cm2
2’25 m2 = 2’25 × 10000 = 22500 cm2
Si el área del cuadrado se calcula A cuadrado = lado2 , para averiguar
el lado del mismo tendríamos que calcular la raíz cuadrada de su área.
l  A  22500 150 cm
Enunciado
Menú
Solución:
Ya que sabemos la medida del lado del panel expositor (150 cm) vamos a
calcular cuantos azulejos caben en cada lado, para ello necesitamos conocer
cuanto ocupa cada azulejo.
Si observa la figura cada azulejo octogonal ocupa
30 cm (10 + 10 + 10) de ancho y otros 30 cm de largo.
De aquí deducimos que en cada lado del panel expositor (largo y ancho)
caben un total de 150 ÷ 30 = 5 azulejos.
Por todo lo cual el número total de azulejos octogonales que hay en el
panel expositor sería 5 × 5 = 25 azulejos.
Se necesitan 25 azulejos octogonales para el panel expositor.
Enunciado
Menú
Solución:
Calculemos ahora el número de piezas cuadrangulares de 200 cm2
que necesitamos para cubrir los huecos que dejan al unirse los azulejos
octogonales.
Si observamos la reproducción del
panel expositor en la figura veremos que
hay 4 filas de 4 piezas completas y dos
mitades en los extremos (4 + 2 × ½ = 5),
más 2 filas de 4 mitades y 2 cuartos en los
extremos (4 × ½ + 2 × ¼ = 2’5).
El total de piezas cuadradas sería:
4 × 5 + 2 × 2’5 = 20 + 5 = 25
Se necesitan 25 piezas cuadradas para completar el panel expositor
Enunciado
Menú
Solución:
Comprobemos los resultados obtenidos:
La superficie del panel expositor es
de:
2’25 m2 = 22500 cm2
La superficie de todos los azulejos
octogonales es de:
25 × 700 = 17500 cm2 .
La superficie de todas las piezas
cuadradas es de:
25 × 200 = 5000 cm2 .
La superficie de todas las piezas
empleadas coincide con la superficie del
panel :
17500 + 5000 = 22500 cm2
Enunciado
Menú
Solución:
Hagamos un resumen con las respuestas a las preguntas del problema:
Los azulejos octogonales ocupan
una superficie de 700 cm2
Se necesitan 25 piezas octogonales
para formar el panel expositor y otras 25
piezas cuadrangulares para recubrir los
huecos que quedan entre ellas.
HEMOS ENCONTRADO
LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá más formas de calcularlas?
Enunciado
Menú
Los billetes del bus
LOS BILLETES DEL BUS:
Raquel y su hermana Ana, van todos los días a clase en el autobús
de la línea 62. Raquel paga siempre los billetes. Cada billete tiene
impreso un número de 5 cifras.
Una mañana observa que los números de sus billetes, el suyo y el
de Ana, además de consecutivos, son tales que la suma de las diez
cifras es precisamente 62. Además observa que las cifras del menor de
los números van todas ellas consecutivas.
Ana entonces le dice: si la suma de las cifras de uno de los billetes
es 35 puedo decirte el número de cada billete.
¿Cuáles eran esos números?
Razona la respuesta.
Solución
Menú
Solución:
Denotemos los billetes de ambas hermanas de la siguiente
manera:
Billete con el número menor:
A
B
C
D
E
G
H
I
J
Billete con el número mayor:
F
Enunciado
Menú
Solución:
PROPIEDADES QUE CUMPLEN LOS BILLETES
1.- Los billetes son consecutivos.
2.- La suma de las diez cifras es 62:
A + B + C + D + E + F + G + H + I + J = 62
3.- Las cifras del menor número son todas consecutivas:
B = A + 1; C= B + 1; D= C + 1; E= D + 1
Resumiendo nos queda que:
B = A + 1; C= A + 2; D= A + 3; E= A + 4
4.- Por último, Ana dice: si la suma de las cifras de uno de los
billetes es 35 puedo decirte el número de cada billete.
Enunciado
Menú
Solución:
Por lo tanto el billete menor sería de la forma:
A
A+1
A+2
A+3
A+4
Y el consecutivo, si A < 5 es de la forma:
A
A+1
A+2
A+3
A+5
5
6
7
9
0
y si A = 5:
Si A <5, usando la propiedad de que la suma de las diez cifras es 62,
llegamos a la siguiente ecuación:
10A + 21 = 62 →
10A = 21
Que no tiene solución entera. Así, A tiene que ser igual a 5 y por
tanto…
Enunciado
Menú
Solución:
El billete menor es:
5
6
7
8
9
Y el mayor es:
5
6
7
9
0
Además, no hace falta la condición que propone
Ana. Aunque, por su puesto, se cumple.
HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN...
… pero ¿habrá más formas de hallarlas?
Enunciado
Menú
El gran premio
EL GRAN PREMIO:
El equipo de Marc Márquez para conseguir el título del
Mundial de Motos GP el año 2013 estuvo preparándose para obtener
la victoria en la última prueba, por este motivo tenían en cuenta las
velocidades que se pueden alcanzar en cada una de las curvas del
circuito Ricardo Tormo de la Comunidad Valenciana.
Representa, en unos ejes distancia-velocidad, la gráfica que
muestre la velocidad que pudo llevar Marc en cada uno de los tramos
del circuito, a partir de la segunda vuelta, para sacar el máximo
rendimiento a la carrera. Para ello puede utilizar los siguientes datos:
Solución
Menú
Solución:
En primer lugar, marcaremos en el circuito los puntos de
máxima curvatura en cada una de las 14 curvas y en el inicio
de la 2ª vuelta, que es el punto de salida, obteniendo así los
puntos A, B…..O como puede apreciarse en la siguiente
figura:
Enunciado
Menú
Solución:
Posición
Velocidad
(En km/h)
A
B
327 142
I
102
L
M
N
80 130 195
En la 2ª vuelta, a su paso por A, llevará la velocidad máxima, 327
km/h.
En el punto B deberá disminuir a 142 km/h, aminorando
progresivamente la marcha hasta alcanzar el punto de máxima
curvatura que hemos señalado,
para acelerar a continuación
hasta rodar a 327 km/h
en la recta hasta
la siguiente
curva.
Enunciado
Menú
Solución:
Posición
Velocidad
(En km/h)
A
B
C
327 142
80
D
E
F
130 142 102
G
H
I
J
K
102 195 102 195 195
L
M
N
O
80 130 195 102
No tenemos los datos de la velocidad en C pero podemos
establecerla comparando con la curva L, pues es aproximadamente
igual de cerrada.
Con análogos razonamientos deducimos las velocidades, siempre de
forma aproximada, en las curvas y
elaboramos la tabla superior con
los datos, relacionando
posición con
velocidad.
Enunciado
Menú
Solución:
Finalmente hacemos la gráfica, representando en el eje de
abscisas las posiciones (distancia al punto de salida), que
medimos con un compás: pinchando en A abrimos el compás
hasta llegar a B y trasladamos esta medida al eje, procediendo de
la misma manera sucesivamente con los demás puntos.
Veamos otra posible solución…
Enunciado
Menú
Solución:
Para aproximar las distancias del circuito y trasladarlas al eje
de abscisas, rectificamos su forma mediante una poligonal
que se representa en trazo grueso y en colores para distinguir
los trayectos.
El dato de la longitud de la recta más larga lo utilizamos
para establecer la escala en el eje de abscisas.
876 m
Enunciado
Menú
Solución:
En la solución anterior describimos la función mediante un enunciado, la
tabla y finalmente la gráfica, elaborada en aquella ocasión con geogebra y
en esta “a mano alzada”
Otra posible solución…
Enunciado
Menú
Solución:
Otra posible solución en la que tengamos en cuentas las aceleraciones y
desaceleraciones que pueden producirse al salir o llegar a cada una de las
curvas puede ser:
Enunciado
Menú
Solución:
Este problema requiere hacer aproximaciones, interpretaciones,
comparaciones y decisiones en cuanto a las distancias entre las
curvas, modo en que se acelera y decelera, apertura de las
distintas curvas y escala más adecuada para representar. Pueden
admitirse distintos trazados para la función, como en el caso de
las soluciones presentadas pero en cualquier caso los alumnos y
alumnas debieran exponer el método que han adoptado para
elaborar la gráfica a partir de los datos.
Enunciado
Menú
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