SISTEMAS DINÁMICOS DE SEGUNDO
ORDEN
1. DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
Un sistema de segundo orden es aquel cuya salida y(t) es descrita
por la solución de una ecuación diferencial de segundo orden.
2
a2
d y
dt
2
 a1
dy
dt
 a y  bf t 
1.1
Donde f(t) es la entrada ( función forzada ).
Si a es diferente de cero, la ecuación (1.1) se escribirá:
2

2
d y
dt
1
2
 2
dy
dt
 y  K P f t 
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1.2
Donde:

2

a2
2 
,
a
a1
a
y
KP 
b
a
La ecuación (1.2) es la forma normal de un sistema de segundo
orden, donde
 es el periodo de oscilación normal del sistema,
 es el factor de amortiguamiento
es la ganancia de estado estable, ganancia estática ó ganancia
simple del sistema.
K
p
La función de transferencia standard de un sistema de segundo
orden:
G s  
2
y s 
f s 

KP
 s  2 s  1
2
2
1.3
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Los sistemas de segundo orden y en general los sistemas de orden
superior pueden ser originados a partir de varias situaciones
físicas. Estas pueden ser clasificadas en tres categorías:
1. Procesos Multicapacitivos: procesos que consisten en dos o
más sistemas de primer orden en serie, a través de los que fluye
materia o energía.
2. Sistemas inherentes de segundo- orden: tales como fluido o
los componentes mecánicos sólidos de un proceso que poseen
inercia y estan sujetos a la aceleración. Tales sistemas son escasos
en procesos químicos.
3. Sistemas de procesamiento con su controlador: pueden ser
representados por sistemas de segundo orden o de orden superior.
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2. MODELAMIENTO DE PROCESOS COMO SISTEMAS
DE ORDEN SUPERIOR
2.1 Tanques en serie – sistema no interactivo.
Un ejemplo típico de un sistema no interactivo es el sistema de
tanques que se muestra en la figura 2.1. Se deben determinar las
funciones de transferencia que relacionan el nivel del segundo
tanque con el flujo de entrada al primer tanque, fi(t), y el flujo de la
bomba, fo(t).
4
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Figura 2.1 tanques en serie – sistema no interactivo.
En este ejemplo todos los tanques están abiertos a la atmósfera y el
proceso es isotérmico. La apertura de las válvulas permanece
constante y el flujo del líquido a través de las válvulas se expresa
mediante :
5
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f t  
Cv
CV
 P t 
7 . 48
G

CV
 gh t 
7 . 48
144 g C G
 CV
'
h t 
= coeficiente de la válvula, 1bm/pies3
7.48 = factor de conversión de galones a pies3
G
= gravedad
La ecuación de balance de masa en estado dinámico para el primer
tanque es:
dh 1 t 
2.1
 f  t    f t    f t    A
i
1

1
dt
donde:
6

= densidad líquido, 1bm/pies3
A1
= área transversal del tanque 1, pies2
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De la expresión (2.1) se obtiene:
f 1 t   C V 1
'
h1 t 
2.2
Con las ecuaciones (2.2) y (2.3) se describe el primer tanque. Para
el segundo tanque usamos el mismo procedimiento y se obtiene:
 f 1 t    f 2 t    A 2
'


f2 t  CV 2
dh 2 t 
2.3
dt
h 2 t 
2.4
Remplazando la ecuación (2.3) en la ecuación (2.2) y remplazando
(2.3) y (2.5) en (2.4), luego dividiendo las dos ecuaciones
resultantes entre la densidad, se obtiene:
7
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f i t   C
C
'
V1
'
V1
h1 t   f
h1 t   C
'
V2
t  
A1
h 2 t   A 2
dh 1 t 
2.5
dt
dh 2 t 
2.6
dt
Las ecuaciones (2.6) y (2.7) representan la dinámica del sistema de
los tanques en serie, pero estas ecuaciones son no lineales, por lo
tanto para obtener la función de transferencia deben ser linealizadas.
Luego de linealizarlas y definir las variables de desviación, se
obtienen las siguientes ecuaciones:
Para la ecuación (2.5) se obtiene:
F i  t   C 1 H 1  t   F  t   A1
8
dH
1
t 
dt
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2.7
Donde:
C1 
 f1 (t )
 h1 ( t )

1
2
ss
C ' v 1 ( h1 )
1 / 2
Las variables de desviación:
Fi ( t )  f i ( t )  f i
F0 ( t )  f 0 ( t )  f 0
H 1 ( t )  h1 ( t )  h1
De la ecuación (2.6)
C 1 H 1 ( t )  C 2 H 2 ( t )  A2
Donde:
C2 
9
 f 2 (t )
 h2 (t )

ss
1
2
dH 2 ( t )
dt
C 'v1 ( h2 )
1 / 2
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2.8
Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (2.5) y
(2.6) y reordenando los términos se obtiene:
H 1 s  
K1
 1s  1
H 2 s  
Fi s  
K2
 2s  1
K1
 1s  1
F s 
H 1 s 
2.7
2.8
La función de transferencia del sistema se determina sustituyendo
la ecuación (2.7) en la (2.8), obteniéndose:
H 2 s  
10
K1K 2
 1 s  1 2 s  1 
 F i  s   F  s 
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2.9
Luego las funciones de transferencia individuales son:
H 2 s 
Fi s 

H 2 s 
F s 
K1K 2
 1 s  1  2 s  1 

 K1K 2
 1 s  1  2 s  1 
La función de transferencia de la ecuación (2.9) se llama función
de transferencia de segundo orden o retardos de segundo orden y
tal como se han obtenido, se forman a partir de dos funciones de
transferencia de primer orden.
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El modelo matemático de tres tanques en serie, figura 2.2, se
puede construir rápidamente a partir del modelo de dos tanques en
serie cuyas ecuaciones se muestran en (2.1) y (2.3). para el tercer
tanque el balance de masa estado dinámico de la ecuación:
 f 2 t    f 3 t    A 3
dh 3 t 
2.10
dt
De la expresión general que determina el flujo a través de la
válvula, de igual forma usándola en la válvula 3, se obtiene otra
ecuación:
f 3 t   C
12
'
V3
h 3 t 
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2.11
Figura 2.2 tres tanques en serie – sistema no interactivo
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Siguiendo el mismo proceso anterior reemplazamos (2.10) en
(2.11) y luego dividimos entre la densidad para obtener:
C
'
V2
h 2 t   C
'
V3
h 3 t   A 3
dh 3 t 
dt
2.12
Linealizando la ecuación (2.12) y definiendo la nueva variable de
desviación, se obtiene la siguiente ecuación:
C 2 H 2 t   C 3 H 3 t   A 3
dH
3
t 
2.13
dt
donde:
C3 
14
 f 3 t 
 h 3 t 
s

1
2
C V 3 h 3 S
'
 1 / 2
y
H 3  t   h 3 t   h 3 S
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Aplicando la transformación de Laplace a la ecuación (2.13) y
reordenando los términos se obtiene:
H 3 s  
3 
K3
 3s  1
A3
H 2 s 
minutos
C3
2.14
K3 
C2
sin dimensione
s
C3
Sustituyendo la ecuación (2.9) en la ecuación (2.14) se obtiene:
H 3 s  
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K1K 2
 1 s  1 2 s  1 
 F i  s   F  s 
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2.15
La función de transferencia de la ecuación (2.15) se llama función
de transferencia de tercer orden o retardos de tercer orden.
Figura 2.3 Diagrama de bloques no interactivos en serie.
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2.2 Tanques en serie – sistema interactivo:
Un sistema interactivo de dos tanques se muestra en la figura 2.4,
esto puede conseguirse redistribuyendo los tanques de la figura
1.1.
Figura 2.4 Tanques en serie – sistema interactivo
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La interacción entre los tanques se muestra claramente a partir de
la ecuación de flujo de la válvula, f1(t), es decir:
f 1 t  
CV 1
 P t 
7 . 48
G
f 1 t   C V 1
'

CV 1
 g  h1 t   h 2 t 
7 . 48
144 g V G
h1 t   h 2 t 
2.16
La ecuación de balance de masa en estado dinámico para el
primer tanque es:
 f i t    f i t    f  t    A1
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dh 1 t 
dt
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2.17
La ecuación (2.16) con la ecuación (2.17) forma un sistema de 2
ecuaciones con 3 incógnitas. Para el segundo tanque usamos el
mismo procedimiento y se obtiene:
 f 1 t    f 2 t    A 2
f 2 t   C
'
V 2
dh 2 t 
2.18
dt
h 2 t 
2.19
Remplazando (2.1) en (2.17) y dividiendo la ecuación resultante
entre la densidad se obtiene:
f i t   C
19
'
V1
h1 t   h 2 t   f
t  
A1
dh 1 t 
dt
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2.20
Linealizando y usando las variables de desviación de (2.20) se
obtiene:
f i  t   C 4 H 1  t   C 4 H 2  t   F  t   A1
dH
t 
1
2.21
dt
Donde:
C4 
 f 1 t 
 h1 t  S

 f 1 t 
 h 2 t  S

1
2
C V 1  h1 S  h 2 S 
'
1 / 2
Reordenando la ecuación (2.20) y aplicando la transformada
de Laplace:
H 1 s  
20
K4
 4s  1
Fi s  
1
 4s  1
H 2 s  
K4
 1s  1
F s 
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2.22
Donde:
4 
A1
minutos
C4
K4 
1
pies  min / pies
3
C4
Siguiendo el mismo procedimiento para el tanque 2, se obtiene:
H 2 s  
K5
 ss 1
H 1 s 
2.23
Donde:
5 
21
A2
C2  C4
minutos
K5 
C4
C2  C4
sin dimensiones
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la función del sistema se determina sustituyendo la ecuación
(2.22) en la (2.23), obteniéndose:
H 2 s  
K4K5
 4  5 s   4   5 s  1  K 5 
2
 F i  s   F  s 
o reacomodando términos:
K 4K5
H 2 s  
22
1 K5
  4 5

1 K
5

 2 4 5
s  

 1 K
5



s 


Fi  s   F  s 
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2.24
Figura 2.5 Diagrama de bloques de un sistema interactivo de dos tanques
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