PLAN DE LA CHARLA
Introducción al problema del colapso de tensión
Síntesis de la teoría básica
Características principales del programa ESTTEN
Síntesis de la teoría de la bifurcación más cercana
Características principales del cálculo de la bifurcación más
cercana en ESTTEN
Comparaciones con PSAT (Milano)
Trabajos pendientes
Ejemplo introductorio :Línea radial,sin pérdidas
Carga con potencia independiente de la tensión
Suponiendo:
θ=0
BLN =1/XLN
cos =constante
PR2 + (k.PR +VR2 .BLN )2 = (ES .BLN)2.VR2
Comentario:
Si se agrega junto a la carga un banco de condensadores de admitancia B’:
PR2 + (k.PR +VR 2.(BLN -B’))2 = (ES .BLN )2 .VR2
El banco de condensadores modifica el punto en que se produce el colapso
de tensión,pero no lo evita.
Variación de la tensión para PR mayor que el máximo:
Definición de estabilidad de tensión
Un sistema de potencia está funcionando en un estado de equilibrio estable
desde el punto de vista de la tensión cuando:
a)Las tensiones en todas las barras están dentro de un rango aceptable
b)Si se produce una perturbación en el sistema,éste es capaz de retornar en un
tiempo aceptable a un estado de equilibrio (igual o distinto al anterior) en que
las tensiones en todas las barras están dentro de un rango aceptable.
Comentarios:
-observar la exigencia de que la tensión esté dentro de un rango aceptable luego
de la perturbación (p.ej: luego de la falta se acepta que la tensión esté por
debajo de 0,8 p.u durante no más de 700 ms).
-el colapso de tensión descrito anteriormente es sólo una de las posibles formas
de inestabilidad de tensión (el funcionamiento en la rama inferior de las curvas
“PV” es otra de las formas posibles)
Clasificación de perturbaciones a analizar:
a)Perturbaciones rápidas (faltas,salida de generación,etc.):
b)Perturbaciones lentas (variación de carga).
BASES MATEMATICAS DEL ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE TENSION
(PERTURBACIONES LENTAS)
Modelo general del sistema de potencia
dx/dt=f(x,y,) (máquinas y sus sistemas de control,etc.)
g(x,y,)=0
(red de trasmisión)
x:Variables de estado (ángulos y velocidades de los rotores de las máquinas
respecto a una de referencia,variables de estado de los sistemas de control)
y:Variables de ligadura (módulos de tensiones , ángulos de todas las barras
“reales” (excluyendo barras internas de máquinas),variables de ligadura de
los sistemas de control)
:Parámetro escalar (parámetro de variación de carga)
 no depende del tiempo:se supone de variación lenta (análisis cuasiestático)
Comentario
En los modelos clásicos de los sistemas de potencia las ecuaciones
diferenciales corresponden a las ecuaciones de “swing” de las máquinas,y las
ecuaciones algebraicas a las ecuaciones de flujo de cargas de la red.
Si gy 0  se puede despejar “y” de las ecuaciones algebraicas
(teorema de la función implícita) y el sistema se reduce a:
dx/dt=h(x,)
Bifurcaciones de sistemas dinámicos
A medida que  varía (con continuidad) van cambiando los puntos de equilibrio
y las trayectorias del sistema dx/dt=h(x,)
Un sistema se dice que es “localmente estructuralmente estable” para un valor
del parámetro  ,si para variaciones pequeñas del parámetro las soluciones del
sistema se comportan en forma cualitativamente “parecida” :
Se mantiene el número de puntos de equilibrio,y los puntos de equilibrio se
comportan “parecido” desde el punto de vista de la estabilidad local (estables o
inestables)
Si para un valor del parámetro el sistema no es estructuralmente estable en torno
a un punto de equilibrio,se dice que éste es una bifurcación del sistema dinámico.
Caso general:Sistemas no lineales
dx/dt=h(x,)
R ,h : Rn x R  Rn
.
Se prueba (Teorema de Hartmann- Groβman) que para que un punto
de equilibrio (x0 ,0 ) sea de bifurcación es necesario que sea no hiperbólico
para el jacobiano hx (x,) calculado en (x0 ,0 ) (hx (x,) tiene autovalores
de parte real nula)
Tipos de bifurcación
Según que el autovalor de parte real nula tenga o no también su parte imaginaria
nula,se distinguen los siguientes dos tipos de bifurcaciones:
Bifurcación silla-nodo:Cuando el jacobiano tiene un autovalor igual a cero
Bifurcación de Hopf:Cuando el jacobiano tiene un autovalor no nulo de parte real
cero
Bifurcaciones silla-nodo
El modelo clásico de la bifurcación silla-nodo es:
dx/dt= -x2 - , x, R (“Forma normal” de la bifurcación silla-nodo).
-Los puntos de equilibrio describen la parábola x2 =- ,en que la rama superior
es de puntos de equilibrio estables (según Lyapunov) y la inferior de puntos de
equilibrio inestables (“diagrama de bifurcación”)
-el origen es un punto de bifurcación silla-nodo,y respecto a ese punto el
comportamiento del sistema es:
-con 2 puntos de equilibrio ,uno estable y el otro inestable,si <0
-sin puntos de equilibrio si >0.(se puede verificar que, en este caso,la solución
x(t) de la ecuación diferencial es decreciente.)
(Observar la similitud del diagrama de bifurcación con los diagramas V-P
del sencillo ejemplo de la línea radial.También la variación de x(t) para >0 es
similar a la variación de la tensión durante el colapso de tensión)
Bajo ciertas condiciones (condiciones de genericidad,que se cumplen
“habitualmente”en los sistemas reales) el comportamiento visto de la forma
normal es típico de los sistemas no lineales dx/dt=f (x, ) multidimensionales
(xRn ) que dependen de un parámetro (R),y en que el jacobiano se anula
para un cierto (x0 ,0 ) ,con x0 de equilibrio: dos puntos de equilibrio que se
“funden” en (x0 ,0 ) y luego “desaparecen”. (Teorema de Sotomayor)
Relación entre el colapso de tensiones y la bifurcación silla-nodo
La moderna teoría de la estabilidad de tensión asocia el fenómeno del
colapso de tensión a la aparición de una bifurcación silla-nodo en el sistema
de ecuaciones diferenciales algebraicas que modela un sistema de potencia
con un parámetro de carga variable.
Esta asociación es puramente heurística,y se basa en que los incidentes
de colapso de tensión se caracterizan por la desaparición del punto de equilibrio ,
y una declinación posterior monótona (a diferencia de la bifurcación de Hopf,que
se evidencia por tener modos oscilatorios) e inicialmente lenta de algunas de las
tensiones de barra.
Todas estas propiedades son típicas de los sistemas que sufren una bifurcación
silla nodo
Esta asociación,por lo tanto,sugiere la necesidad de calcular los puntos de
anulación del jacobiano del sistema a efectos de detectar el punto de colapso.
METODOS DE ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE TENSION
Tipos de métodos
-Dinámicos:simulación numérica del sistema de ecuaciones diferenciales
y algebraicas
-válidos tanto para perturbaciones rápidas como lentas
-períodos de estudio más largos que los de Estabilidad Transitoria en
el caso de las perturbaciones lentas
-modelos de dinámica lenta que no se necesitan en los estudios de estabilidad
transitoria: conmutadores bajo carga,variación de las cargas con las tensiones
-cuando las tensiones son muy bajas,etc.
-métodos más precisos ( simulaciones “post-mortem” de incidentes reales)
Estáticos:resolución del sistema de ecuaciones algebraicas que modelan
el sistema en régimen,a fin de encontrar la bifurcación silla-nodo.
-válidos para analizar perturbaciones lentas
-más rápidos (adecuados para aplicaciones on-line:márgenes de estabilidad,
detección de las barras más comprometidas,etc.)
Métodos estáticos
Formulación general:
dx/dt =f(x,y,)
0 =g(x,y,)
con xRm ,yRn ,R, f:Rn+m+1 Rm , g:Rn+m+1 Rn
Bajo la hipótesis de gy no singular,eliminando las variables de ligadura se
obtiene la ecuación de estado dx/dt=h(x,),con h:Rm+1 Rm
El colapso de tensión se identifica con el estado en que el Jacobiano H=hx (x,)
de este sistema se hace singular,por lo que los métodos estáticos
consisten en resolver det(H)=0 para un (x,) tal que h(x,)=0.
Una dificultad de aplicación práctica es realizar la eliminación de las variables
de ligadura.
Sea J=(f,g)x,y(x,y,) el jacobiano del sistema de ecuaciones completo original:
f(x,y,)=dx/dt
g(x,y,)=0
Se puede ver que det J=0  det H=0,por lo que no es necesario realizar la
“eliminación” de las variables de ligadura “y” para encontrar las bifurcaciones
silla-nodo:basta con buscar las singularidades del jacobiano J del sistema
diferencial-algebraico “completo”
Relación con la convergencia del flujo de cargas
Si se simplifican las ecuaciones de oscilación de la máquina y de sus reguladores
(ganancia infinita de los reguladores de tensión y velocidad,se desprecian las
amortiguaciones proporcionales a la velocidad angular,etc), las barras de
generación pasan a ser,simplemente,nodos en que se inyecta al sistema una
potencia activa constante a tensión constante (barras “PV”),y las ecuaciones de
equilibrio del sistema no son más que las ecuaciones del flujo de cargas clásico.
f(x,y,)=0 :ecuaciones de equilibrio de potencia activa en las barras PV
g(x,y,)=0:ecuaciones de equilibrio de potencia activa y reactiva en las barras PQ
x:ángulos de la tensión en las barras de generación,referidos a la barra “slack”
y:módulos de tensiones en todas las barras y ángulos de la tensión de barras de
carga (barras “PQ”) referidos a la barra “slack”.
:parámetro que describe la variación de cargas
Cuando el sistema llega al colapso (al ir aumentando la carga en las barras
seleccionadas),el flujo de cargas deja de tener solución (de acuerdo al
comportamiento de la bifurcación silla-nodo).
Por lo tanto:es posible calcular aproximadamente el estado de colapso
corriendo flujos de cargas sucesivos al ir variando el parámetro, hasta
que el flujo deja de tener solución.
La detección del colapso de esta forma es computacionalmente costosa y
no muy precisa,dado que,precisamente,los flujos de carga habitualmente
necesitan que el jacobiano del sistema sea invertible para poder buscar la
solución por Newton Raphson
Por lo tanto:los programas de flujos de carga comerciales dejan de
converger “un poco antes” del estado de colapso,a causa de que el
jacobiano del sistema se hace “casi” singular.
Método del punto de colapso
Consiste,simplemente,en resolver el sistema de ecuaciones algebraicas que
definen la bifurcación silla-nodo:
f(x,y,)=0
g(x,y,)=0
J(x,y,)v=0 , v =1 (v es vector propio de J en el punto de bifurcación)
Este sistema se puede resolver por métodos clásicos (Newton-Raphson,p.ej)
Desventaja de este método: no se puede tener en cuenta en forma sencilla los
límites a los que pueden llegar algunos elementos del sistema (límites de
generación de reactiva de máquinas,límites de conmutadores bajo carga que
regulan tensión automáticamente,etc.) al aumentar el parámetro  (al llegar a uno
de esos límites el sistema de ecuaciones f=0,g=0 cambia:si se trata de un límite
de generación de reactiva,p.ej, la barra PV de la máquina cambia por barra PQ )
Método de continuación (CPF)
Se va resolviendo paso a paso la ecuación de puntos de equilibrio f=0,g=0
a medida que el parámetro  va aumentando en “steps” discretos
(Puede verse como un “conjunto de flujos de carga sucesivos” al variar
el parámetro de carga).
En cada paso,se verifica si no se han violado límites,reformulando el
sistema de ecuaciones de ser necesario,a efectos de seguir avanzando
(se dice que se va “recorriendo la curva P-V” paso a paso).
METODO DE CONTINUACION
(z=(x,y) en la gráfica)
INDICES Y MARGENES DE ESTABILIDAD DE TENSION
Se desea tener una idea cuantitativa de qué “tan lejos” está el sistema de sufrir
un colapso de tensión.
Indices :parámetros matemáticos sin una clara interpretación física
(p.ej:el módulo de un valor propio)
Márgenes :magnitud física (p.ej:cantidad de potencia activa)
Comentario: la magnitud de la tensión en las barras del sistema no es un buen
indicador ( alta alinealidad entre las tensiones y el aumento de carga cerca
del colapso)
Margen derivado de las curvas P-V
Aumento de potencia total (activa,reactiva o aparente) en todo el sistema a
partir de un punto de operación para llegar al colapso=distancia horizontal entre
el punto de operación y el de bifurcación en la “curva P-V”.
El margen depende de la forma en que se carga el sistema
Margen derivado de las curvas Q-V
Se toman una por una las barras de carga del sistema,y se va aumentando
progresivamente la reactiva consumida en la barra .
El aumento total de reactiva en el punto de colapso es el “margen de reactiva”
de la barra.
El menor margen de reactiva entre todas las barras del sistema puede tomarse
como el margen al colapso de todo el sistema
Observaciones
-El método de las curvas Q-V puede verse como un caso particular del trazado de
las curvas “P-V”,en que el parámetro de carga es la variación de reactiva en una
única barra del sistema.
-Existen regulaciones (en USA,p.ej) que especifican los márgenes al colapso de
tensión (5 % ,p.ej) en función de este método
Nota:
Las curvas Q-V se pueden obtener también mediante el siguiente procedimiento
clásico:
1)Se introduce en la barra PQ en la que se va a variar la reactiva un generador
ficticio,que genera o consume exclusivamente reactiva
(la barra PQ se transforma en barra PV)
2)Haciendo variar la consigna de tensión en esa barra P-V se obtienen las
correspondientes reactivas generadas Q corriendo un flujo de cargas
3)La ordenada del mínimo de la curva QV así obtenida (en valor absoluto) es el
margen de reactiva de la barra
PROGRAMA ESTTEN
-Desarrollado por el Grupo ECSEP desde el año 2001
-Aportes del proyecto de fin de carrera “Estabilidad de Tension”
(2004-2005)
-Desarrollado para MatLab 5.3
-Resuelve diversos aspectos del problema del colapso de tensión
para el caso de perturbaciones lentas por aumento de carga
-Método estático ( “curva PV”) con modelos de flujo de cargas
CARACTERISTICAS PRINCIPALES DEL MODELADO DEL SISTEMA
EN EL PROGRAMA
-Modelos típicos de un flujo de cargas (barras Slack,PQ y PV,modelos de
régimen de líneas y transformadores)
-Modelo de variación de cargas con la tensión :
Pj = P0j + P1j.Vj aj + P2j.Vj bj
Qj = Q0j + Q1j.Vj cj + Q2j.Vj dj
-Variación de carga en cada barra “j”: λ .∆Pj (activa) y λ .∆Qj (reactiva)
λ :parámetro de carga
El conjunto de los (∆Pj, ∆Qj) es la “dirección de carga” elegida.
-Transformadores con control automático de “taps” por consigna de tensión
-Bancos de condensadores con conexión automática por consigna de tensión
-Límites de generación máxima de reactiva de las máquinas variables con la
activa generada
-Repartición de aumentos de carga entre generadores seleccionados,y en
proporción a su potencia activa nominal
CARACTERISTICAS PRINCIPALES DE LOS METODOS DE RESOLUCION
EN EL PROGRAMA
-Cálculo del punto inicial con un flujo de cargas N-R clásico.
-Resolución de la curva P-V mediante el método de continuación (CPF) ,
con reparametrización y paso de aumento de carga variable.
-Cálculo de curvas QV también mediante CPF
-Dimensionado de capacitores para mitigar el colapso haciendo uso de
una rutina “standard” del Optimization Toolbox de Matlab.
El programa sugiere cuáles son las “mejores” barras de carga
para instalar bancos de condensadores,ordenándolas con
un criterio derivado del análisis modal en el punto de colapso
(Ordenamiento según factores de participación,que son proporcionales
a ∂Vk/∂Qk)
MITIGACION DEL COLAPSO DE TENSION MEDIANTE BANCOS
DE CONDENSADORES
Distancia al punto de colapso = L= λ *. √ (∆ P2 + ∆ Q2 )
λ *=parámetro de carga en el punto de colapso
Y1. ..Yn:admitancias de bancos de condensadores a instalar en las barras
1…n
En aproximación lineal:
∆L=LY1.Y1+LY2.Y2+…….LYn.Yn
es la variación de la distancia al colapso al conectar estos bancos de
Condensadores.
Suponiendo que los costos de los bancos de condensadores son proporcionales
a su tamaño,el dimensionado se plantea como un problema de optimización
lineal:
Minimizar (Y1+Y2+……Yn)
Sujeto a:
1) ∆L=LY1 .Y1 +LY2 .Y2+…….LYn .Yn (con ∆L un valor-objetivo dado)
2)Y1,Y2,………Yn >=0
3) Yj<=Admitancia de carga neta de la barra “j”
(La última es una condición “práctica” para evitar dimensionados inviables)
TEORIA DE LA BIFURCACION MAS CERCANA
(Ref:”Computation of closest bifurcations in power systems”,
Alvarado,Dobson,Hu,IEEE PWRS,May.1994)
-El punto de colapso de tensión depende de la forma específica en que se carga
el sistema (“dirección de carga”)
-Se pretende encontrar la dirección de carga “peor”: la que minimiza el margen
al colapso
Solución (sólo para norma euclidiana)
El problema tiene solución local (en un entorno de una dirección de carga
dada),y se resuelve por un método iterativo que busca la dirección de carga
colineal con la normal a la hipersuperficie de puntos de bifurcación en el
espacio de los .
REPRESENTACION EN EL ESPACIO DE LAS CARGAS
METODO DE PLANIFICACION EN BASE A LA BIFURCACION MAS
CERCANA
-Se aumenta la carga en el sistema según una dirección de carga
“razonable”desde el punto de equilibrio inicial.
-”Poco antes” de llegar al colapso (por ejemplo:cuando aun se
tiene un margen del 5 % de carga activa total) se abandona la
dirección de carga inicial,y se pasa a buscar la bifurcación más
cercana.
-El margen al colapso se calcula respecto a la bifurcación más
cercana así calculada.
REPRESENTACION GRAFICA
mi
Eo
E ’o
mc
Cc
Ci
CARACTERISTICAS PRINCIPALES DE LOS METODOS DE RESOLUCION
DE LA BIFURCACION MAS CERCANA EN EL PROGRAMA
-Cálculo del punto inicial y de la curva P-V según la dirección de carga
inicial como ya se ha descrito.
-Selección de un punto de arranque “cerca” de la nariz,con criterio de %
de margen de potencia activa respecto al punto de colapso.
-Cálculo de la bifurcación más cercana a partir del “punto de arranque”
mediante un método iterativo en la selección de la dirección de carga
-Opción de dimensionar capacitores para mitigar el colapso mediante un método
alternativo más general,y distinto al usado en el caso de dirección de
carga elegida fija. (Ref:”New methods por computing a closest saddle node
Bifurcation and worst case load power margin for voltage collapse”
Dobson,Lu,IEEE PWRS,August 1993)
El programa sugiere cuáles son las “mejores” barras de carga
para instalar bancos de condensadores,ordenándolas en función del
“aporte” de reactiva de cada barra a la dirección de la bifurcación más
cercana.
-Opción de cálculo de márgenes QV de las barras “críticas”a partir del
“punto de arranque”
COMPARACIONES CON PSAT (1.3.4)
-Red uruguaya completa,con diversas direcciones de carga
-Sin barras con regulación automática de tensión por bancos
de condensadores o transformadores (PSAT no acepta estos
Modelos)
-Cargas de potencia constante (PSAT acepta cargas ZIP.pero
no es seguro como las trata en el módulo CPF)
Con límites de reactiva “abiertos” en las máquinas
1)Variación de carga reactiva en Melo
Margen de reactiva ESTTEN: 32,2 MVar
Margen de reactiva PSAT: 31,2 Mvar
2)Variación de carga reactiva en Rivera
Margen de reactiva ESTTEN: 26,6 MVar
Margen de reactiva PSAT: 26,2 Mvar
3)Variación de carga activa y reactiva en Montevideo y Durazno
Lambda máximo ESTTEN:6,77
Lambda máximo PSAT: 6,92
Con límites de reactiva en las máquinas
Variación de carga activa y reactiva en Montevideo y Durazno
Lambda máximo ESTTEN:4,59
Lambda máximo PSAT: 4,51
Error máximo encontrado en las pruebas:3,2 %
LIMITACIONES DEL PROGRAMA
-No se puede controlar tensión en barras remotas !!!
-No se pueden modelar reactores de línea (se incorporan a las barras
extremas)
-Las barras PV no pueden tener carga (hay que crear barras ficticias)
-No es posible ingresar ramas en paralelo (es necesario calcular
previamente el equivalente)
-En los cálculos CPF los “taps” y números de condensadores se
suponen variables contínuas
-No se ha incorporado un modelo de bancos de reactores
maniobrables por control de tensión
-Sólo puede haber un único conjunto de bancos de condensadores
maniobrables por control de tensión en cada barra
-Los reactores y capacitores se suponen sin pérdidas
TRABAJOS FUTUROS
Para proyecto PDT:
-Revisar conversión PSS/E a ESTTEN
-Comparación de resultados con VSAT
-Corridas sobre la red uruguaya 2010,en régimen y contingencias
Adicionalmente:
-Más pruebas con los modelos de carga
-Incorporar al menú conversión ESTTEN a PSAT (Milano)
-Incorporar métodos de filtrado de contingencias??
-Levantar la restricción de no poder regular tensión en barras lejanas
-Investigar método QSS y aplicaciones de la función de energía
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