Problema nº 5: PINTANDO CUBOS
Eva le dice a Beatriz: “Tengo un buen montón de cubitos de 1 cm de
arista y con ellos he formado cubos mayores de 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... cm de
arista. A continuación he pintado las seis caras de estos cubos mayores.
Adivina cuál es el cubo que tiene la misma cantidad de cubitos con una
sola cara pintada, que sin ninguna.”
¿Cuántos cubitos forman el cubo que tiene que adivinar Beatriz?
Razona tu respuesta
Solución
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Solución:
Comenzamos con 1 cubito:
• Lógicamente va a tener todas sus caras pintadas.
Vamos a ver que ocurre con el cubo de lado 2:
• En este caso todos los cubitos tendrán tres de sus
caras pintadas.
Enunciado
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Solución:
Continuamos con el cubo de lado 3:
Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras
pintadas y nos encontramos con:
Quitamos los cubitos que tiene una sola cara
pintada y nos queda:
Enunciado
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Solución:
Continuamos con el cubo de lado 4:
Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras
pintadas y nos encontramos con:
Quitamos los cubitos que tiene una sola cara
pintada y nos queda:
Enunciado
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Solución:
Continuamos con el cubo de lado 5:
Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras
pintadas y nos encontramos con:
Quitamos los cubitos que tiene una sola cara
pintada y nos queda:
Enunciado
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Solución:
Vamos a observar que ha ocurrido con los cubos:
Cubos de lado n
Cubitos 0 caras pintada
n=5
6·(5-2)2
(5-2)3
n=4
6·(4-2)2
(4-2)3
n=3
n=2
Enunciado
Cubitos 1 cara pintada
6·(3-2)2
(3-2)3
6·(2-2)2
(2-2)3
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Solución:
Vemos que en cada una de las caras del cubo, los cubitos con una
sola cara pintada, si quitamos los cubitos que tienen dos o tres caras
pintadas, es igual al cuadrado del número de cubitos de la arista menos 2.
Es decir, cubitos con una cara pintada: (n-2)2
El total de cubitos con una cara pintada será: 6·(n-2)2
El total de cubitos con ninguna cara pintada será: (n-2)3
Como se nos pide que cuál es el cubo que tiene igual cantidad de
cubitos con ninguna cara pintada que con una sola cara pintada. Luego
tendremos que 6·(n-2)2 =(n-2)3
De donde 6=n-2 por tanto n=8
Luego necesitaremos 83 cubitos pequeños, es decir 512 cubitos
de 1cm de arista.
Enunciado
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Solución:
Vamos a verificarlo con una tabla:
Lado n
Cubitos con una cara
pintada
6·(n-2)2
Cubitos con ninguna
cara pintada
(n-2)3
Lado 1
Imposible
Imposible
Lado 2
6·(2-2)2 = 0
(2-2)3 = 0
Si
Lado 3
6·(3-2)2 = 6
(3-2)3 = 1
No
Lado 4
6·(4-2)2 = 24
(4-2)3 = 8
No
Lado 5
6·(5-2)2 = 54
(5-2)3 = 27
No
Lado 6
6·(6-2)2 = 96
(6-2)3 = 64
No
Lado 7
6·(7-2)2 = 150
(7-2)3 = 125
No
Lado 8
6·(8-2)2 = 216
(8-2)3 = 216
Si
Lado 9
6·(9-2)2 = 294
(9-2)3 = 343
No
Enunciado
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Igual número de
caras
Solución:
El cubo que buscamos es el formado por 8 cubitos en cada lado.
Luego necesitamos 83 cubitos pequeños, es decir:
512 cubitos de 1 cm de arista
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá más formas de calcularlas?
Enunciado
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