INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
EL MODELO DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
PROVEE UNA SOLUCIÓN
INTELIGENTE PARA ESTE
PROBLEMA
Es un Arte que mejora con la
práctica…
¡ PRACTIQUEMOS!
Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran
cantidad de problemas reales cada más complejos y
especializados, que necesariamente requieren del
uso de metodologías para la formulación matemática
de estos problemas y, conjuntamente, de métodos y
herramientas de resolución, como los que provee la
Investigación de Operaciones.
Ejemplo: El problema de la industria
de juguetes “Galaxia”.
• Galaxia produce dos tipos de juguetes:
* Space Ray
* Zapper
• Los recursos están limitados a:
* 1200 libras de plástico especial.
* 40 horas de producción semanalmente.
• Requerimientos de Marketing.
* La producción total no puede exceder de 800 docenas.
* El número de docenas de Space Rays no puede exceder al
número de docenas de Zappers por más de 450.
•
Requerimientos Tecnológicos.
* Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de
producción por docena.
* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción
por docena.
• Plan común de producción para:
* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores
ganancias, el cual corresponde a Space Ray (S/. 8 de utilidad
por docena).
* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers,
porque estos dejan una menor utilidad (S/. 5 de utilidad por
docena).
Solución
•
Variables de decisión
* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por
semana).
* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por
semana).
•
Función objetivo
* Maximizar la ganancia semanal.
• Modelo de Programación Lineal
Max (Z) = 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)
Sujeto a:
2X1 + 1X2  1200
3X1 + 4X2  2400
X1 + X2  800
X1 - X2  450
Xj  0, j = 1, 2.
(Cantidad de plástico)
(Tiempo de producción)
(Limite producción total)
(Producción en exceso)
(Resultados positivos)
• El plan común de producción consiste en:
Space Rays = 550 docenas
Zappers
= 100 docenas
Utilidad
= S/. 4900 por semana
EJEMPLO N° 1
Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran
cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada
disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada
producto. Se desea hallar la cantidad de cada articulo que debe
fabricarse con el fin de maximizar los beneficios.
El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformación o
sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto.
Producto
Componente
A
B
C
D
Beneficios
S/./unidad
P1
P2
1
2
2
1
4
3
1
2
1
3
Disponibilidad
(kilogramos)
15,000
10,000
12,000
10,000
X1 = Nº de unidades de producto P1
X2 = Nº de unidades de producto P2
Entonces el programa lineal correspondiente es:
Max (Z) = 4X1 + 3X2
Sujeto a :
1X1 + 3X2 ≤ 15,000
2X1 + 1X2 ≤ 10,000
2X1 + 2X2 ≤ 12,000
1X1 + 1X2 ≤ 10,000
X1, X2 ≥ 0
EJEMPLO Nº 2
En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y
negra. Su precio de venta es de S/. 0.5 / litro y S/. 0.3 /
litro, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra
son de 3 y 5 empleados, y de 5,000 y 2,000 soles de
materias primas por cada 10,000 litro.
La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y
10,000 soles para materias primas, y desea maximizar su
beneficio. ¿Cuántos litros debe producir?
FORMULACIÓN
M a x (Z ) = 5 , 0 0 0 X 1 + 3 , 0 0 0 X 2
S. A.
3X1 + 5X 2
 15
5, 000X1 + 2, 000X 2  10, 000
X 1, X 2  0
EL MODELO DE P. L.
Optimización
M a x( Z )= c x 1+ 1c x 2+ 2... + c x
s u je to a
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n ≤ b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n ≤ b 2
.
.
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n ≤ b m
xj ≥ 0
∀j
n
n
• Donde el vector c también conocido como el vector costos,
viene dado por:
C = c1
c2
...
c n -1
cn 
• El vector de lado derecho o b, viene dado por:
 b1

b2

 .
b  
 .
b
m -1

 b
m











• Este es un vector columna, que representa los recursos de las
m actividades. Es por lo tanto el elemento de la mano derecha
de cada una de las m ecuaciones.
• La matriz A, representa los coeficiente tecnológicos; es la
matriz para el sistema de ecuaciones AX = b:
 a1 1

a 21

A 
 .

 a m ,1
a1 2
...
a2 2
...
.
...
a m ,2
...
a1 n 

a 2n

. 

a m ,n 
• El sistema de ecuaciones o el modelo de PL, queda
representado por:
M a x (Z ) = C X
S. A.
AX = b
X  0
EL MODELO DE P.L.
Z: función objetivo
C (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f. o.
X (x1,...,xn): vector de variables de decisión
A (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicos
b (b1,...,bm): vector de demandas
Matricialmente,
Optimización Max o Min = CX
S.A.
AX b
Forma canónica
x0
Problema N° 1
• El dueño de un restaurante necesitará en 3 días sucesivos 40,
60 y 70 manteles. El puede adquirir manteles a un costo de S/.
20 cada una y después de haberlos usado, puede mandar
manteles sucios a lavar, para lo cual tiene 2 servicios de
lavandería disponibles: uno rápido (el lavado tarda 1 día) que
cuesta S/. 15 por cada mantel y uno normal (tarda 2 días) que
cuesta S/. 8 por mantel. Formule un modelo que permita
conocer al dueño del restaurante que número de manteles
debe comprar inicialmente y que número debe mandar a lavar
cada día para minimizar sus costos.
Problema N° 1
(60)
(70)
X1 = Cantidad de Manteles comprados (sólo se puede comprar el primer día).
X2 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio rápido el primer día.
X3 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio normal el primer día.
X4 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio rápido el segundo
día.
Notar que también podríamos haber definido entre otras
X5 = Cantidad de Manteles no usados el primer día.
X6 = Cantidad de Manteles no usados el segundo día
Continua problema N° 1
Sin embargo, esto no es necesario pues
X5 = X1 − 40.
X6 = X1 − 40 − 70
2. Función Objetivo.
Min (Z) = 20X1 + 15X2 + 8X3 + 15X4
3. Restricciones.
a) Satisfacción de la necesidad de manteles al primer día X1 ≥ 40
b) Satisfacción de la necesidad de manteles al segundo día.
(X1 − 40) + X2 ≥ 60 ↔ X1 + X2 ≥ 100
c) Satisfacción de la necesidad de manteles al tercer día.
(X1 − 40) + X2 − 60 + X3 + X4 ≥ 70 ↔ X1 + X2 + X3 + X4 ≥ 170
d) El número de manteles mandados a lavar el primer día, puede a lo mas ser igual al
número de manteles usados ese día.
X2 + X3 ≥ 40
e) El número de manteles mandados a lavar hasta el segundo día, puede a lo mas ser
igual al número de manteles usados hasta ese día.
X2 + X3 + X4 ≥ 40 + 60 ↔ X2 + X3 + X4 ≥ 100
f ) No negatividad.
X1, X2, X3, X4 ≥ 0
Problema N° 2
• Una carnicería de carnes de la ciudad acostumbra preparar la
carne para albóndigas con una combinación de carne molida de
res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de
carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda S/. 80 por libra; la
carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta
S/. 60 por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe
emplear la tienda en cada libra de albóndigas, si se desea
minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor
de 25%?
El objetivo es minimizar el costo (en centavos), Z, de una libra
de albóndigas, donde:
Z = 80 veces el numero de libras de carne molida de res, mas 60
veces el numero de libras de carne molida de cerdo empleadas.
Problema N° 2
Si se define:
X1 = numero de libras de carne molida de res empleadas en cada libra de
albóndigas.
X2 = numero de libras de carne molida de cerdo empleadas en cada libra de
albóndigas, el objetivo se expresa como:
Minimizar (Z) = 80X1 + 60X2
(1)
Cada libra de albóndigas tendrá 0.20 X1, libras de grasa provenientes de la
carne de res y 0.32 X2 libras de grasa de la carne de cerdo. El contenido
total de grasa de una libra de albóndigas no debe ser mayor de 0.25 libras.
Entonces:
0.20X1 + 0.32X2 ≤ 0.25
(2)
El número de libras de carne de res y de cerdo empleadas en cada libra de
albóndigas debe sumar 1; entonces:
X1 + X2 = l
(3)
Finalmente, la tienda no puede usar cantidades negativas de ninguna de
las carnes, así que hay dos restricciones de no negatividad: X1 ≥ 0 y X2 ≥ 0.
Combinando estas condiciones con (1), (2) y (3), se tiene:
Problema N° 3
Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender
todo lo que produzca a los siguientes precios; A S/. 700, B S/.
3,500, C S/. 7,000.
Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo.
Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, más 2
unidades de A. Producir una unidad de C necesita 3 horas de
trabajo, más 1 unidad de B. Cualquier unidad de A utilizada
para producir B, no puede ser vendida. Similarmente
cualquier unidad de B utilizada para producir C, no puede ser
vendida.
Para este período de planificación están disponibles 40 horas
de trabajo. Formule y Construya el modelo Lineal que
maximice los ingresos de la empresa.
Solución
Utilizando el mismo proceso, se tiene lo siguiente:
Variables de decisión
X1: Unidades de A producidas en total
X2: Unidades de B producidas en total
X3: Unidades de C producidas en total
X4: Unidades de A para ser vendidas
X5: Unidades de B para ser vendidas.
Objetivo:
Max (Z) = 700 X4 + 3,500 X5 + 7,000 X3
Sujeto a:
X1 + 2X2 + 3X3 ≤ 40
X1 = X4 + 2X2
X2 = X5 + X3
X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0
Problema N° 5
La D & M POWER, fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial en compañías de
servicios electrónicos: aisladores de aplicación general, de aplicación especial y de alto
voltaje. Cada producto pasa a través de tres operaciones de producción en la planta de la
D & M: horneado, lavado y laminado y pulimiento. Sólo existe disponible de una máquina
en cada una de las respectivas operaciones. La tasa de producción (en unidades por hora)
para cada tipo de aislador, y en cada operación se muestran en tabla N° 02. Los costos de
las materias primas asociados con la fabricación de los aisladores son de S/. 5 (aplicación
general), S/. 6 (aplicación especial) y S/. 10 (alto voltaje). Los costos por hora de las
respectivas operaciones de producción son: S/. 250 (horneado), S/. 200 (lavado y
laminado), y S/. 100 (pulimiento). Los precios unitarios de venta son S/. 25,00, S/. 39.75 y
S/. 67.50 para los tres productos respectivamente. A la compañía le gustaría asignar el
tiempo utilizado en las diferentes operaciones de manera que se maximicen las utilidades
por hora.
TABLA N° 02
Tasas de Producción: D & M POWER
Tipo de aislador
De aplicación general
De aplicación especial
De alto voltaje
Horneado
50
40
25
Lavado y Laminado
40
20
10
Pulimiento
25
10
10
Solución
X1: Número de unidades por hora de aisladores de aplicación general
que se fabricaran
X2: Número de unidades por hora de aisladores de aplicación especial
que se fabricaran
X3 Número de unidades por hora de aisladores de alto voltaje general
que se fabricaran
Maximizar utilidades por hora para la planta, donde la función Z son
unidades totales, expresadas en soles por hora: X1, X2 y X3 se
expresan en unidades por hora.
A. Aplicación General
Precio de Venta
Costo de Operación
Horneado
Lavado y Laminado
Pulimiento
Costo de Materiales
Costo Unitario Total
Utilidad Unitaria
25
A. Aplicación
Especial
39.75
A. Aplicación Alto
Voltage
67.50
5
5
4
5
19
6
6.25
10.00
5.00
6.00
32.25
7.50
10
20
10
10
50
17.50
Max (Z) = 6 X1 + 7.5 X2 + 17.5 X3
Sujeto a:
0.02 X1 + 0.025 X2 + 0.04 X3 ≤ 1
0.025 X1 + 0.05 X2 + 0.10 X3 ≤ 1
0.04 X1 + 0.01 X2 + 0.10 X3 ≤ 1
X1 ,
X2
X3 ≥ 0
Problema N° 9
Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón A
es de alta calidad, y el cinturón B es de baja calidad. La ganancia
respectiva por cinturón es de S/. 0.40 y S/. 0.30. Cada cinturón de tipo
A requiere el doble de tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos
los cinturones fueran de tipo B, la compañía podría fabricar 1000 día,
el abastecimiento de piel es suficiente únicamente para 800
cinturones diarios (A y B combinados) el cinturón A requiere una
hebilla elegante, de las que solamente se dispone 400 diarias. Se
tiene únicamente 700 hebillas al día para el cinturón B. Establezca las
ecuaciones de programación lineal para el problema.
Tipo de cinturón
A
B
Ganancia
S/. / Cin
0.4
0.3
Disponibilidad
hebillas/día
400
700
Xi: Número de cinturones producidos por día del tipo i; donde i =
A, B
tA = 2tB
FUNCIÓN OBJETIVO: Max (Z) = 0.4 XA + 0.3 XB
Sujeto a:
2 XA + XB ≤ 1,000
XA + XB ≤ 800
XA
≤ 400
XB ≤ 700
XA, XB ≥ 0
Problema N° 6
MUEBLES DESK Compañía, un fabricante de muebles de oficina, produce dos tipos
de muebles de escritorio: ejecutivos y secretariales. La compañía tiene dos plantas
en las que fabrica los escritorios. La planta 1, que es una planta antigua opera con
doble turno 80 horas por semana. La planta 2, que es una planta más nueva y no
opera a su capacidad total. Sin embargo, y dado que los administradores planean
operar la segunda planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se han
encontrado operadores para que trabajen en los dos turnos. En estos momentos,
cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana. No se paga ninguna prima
adicional a los trabajadores del segundo turno, la tabla N° 03 muestra el tiempo de
producción (en horas por unidad) y los costos estándar (en soles por unidad) en
cada planta.
La compañía ha competido con éxito en el pasado asignado un precio de S/. 350 a
los escritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la compañía tendrá que reducir
el precio de los escritorios secretariales a S/. 275 con el objetivo de estar en
posición competitiva. La compañía ha estado experimentando exceso de costos en
las últimas ocho a diez semanas; por tanto, los administradores han fijado una
restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El
presupuesto semanal para la producción total de escritorios ejecutivos es de S/.
2000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es de S/. 2200.
A los administradores les gustaría determinar cual es el número de cada clase de
escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las
utilidades.
TABLA N° 03
Tiempo (horas) y costos (soles): Muebles Desk Compañía
Tiempo de producción
(Horas/unidad)
Escritorios ejecutivos
Escritorios secretariales
Costo estándar
(Soles/unidad)
Planta 1
Planta 2
Planta 1
Planta 2
7.0
4.0
6.0
5.0
250
200
260
180
Solución
1. No se dispone de más de 80 horas para la producción combinada
de escritorios en la planta 1.
2. No se dispone de más de 50 horas para la producción combinada
de escritorios en la planta 2.
3. Los costos asociados con la producción combinada de
escritorios ejecutivos en las dos plantas no deben exceder S/.
2,000.
4. Los costos asociados con la producción combinada de
escritorios secretariales en las dos plantas no deben exceder S/.
2,000.
X1: Número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 1
X2: Número de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 1
X3: Número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 2
X4: Número de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 2
C1 = 350 – 250 = S/. 100 Escritorio ejecutivo que se fabrica en la P1
C2 = 275 – 200 = S/. 75 Escritorio secretarial que se fabrica en la P1
C1 = 350 – 260 = S/. 90 Escritorio ejecutivo que se fabrica en la P2
C4 = 275 – 180 = S/. 95 Escritorio secretarial que se fabrica en la P2
Función Objetivo: Max (Z) = 100 X1 + 75 X2 + 90 X3 + 95 X4
Sujeto a:
1. Limitación del tiempo de producción en la planta 1 (80 horas)
7 X1 + 4 X2 ≤ 80
2.
Limitación del tiempo de producción en la planta 2 (50 horas)
6 X3 + 5 X4 ≤ 50
3.
Restricción de costos de los escritorios ejecutivos
250 X1 + 260 X3 ≤ 2000
4. Restricción de costos de los escritorios secretariales
200 X2 + 180 X4 ≤ 2200
X1 , X2,, X3, X4 ≥ 0
Problema N° 8
Un fabricante cuyo negocio es mezclar aguardiente, compra tres grados A, B, y C. Los
combina de acuerdo a las recetas que especifican los porcentajes máximo y mínimo
de los grados A y C en cada mezcla. Estos porcentajes se dan en la tabla N° 1.
TABLA N° 1 ESPECIFICACIONES DE MEZCLAS
MEZCLA
ESPECIFICACION
PRECIO POR BOTELLA
Súper Fuerte
No menos de 60% de A
No mas de 20% de C
S/. 6.80
Fuerte
No más de 60% de C
No menos de 15% de A
S/. 5.70
Menos Fuerte
No más de 50% de C
S/. 4.50
La provisión de los tres grados de aguardientes básicos, junto con sus costos se presente
en la tabla N° 2.
TABLA N° 2 DISPONIBILIDAD Y COSTOS DE AGUARDIENTE
MAXIMA CANTIDAD
DISPONIBLE
BOTELLAS POR DIA
COSTO POR BOTELLA
AGUARDIENTE
A
2000
S/. 7.00
B
2500
S/. 5.00
C
1200
S/. 4.00
Indique cómo se obtiene la primera matriz en un modelo de programación lineal de una
política de producción que haga máxima la ganancia.
Solución
X11 : Cantidad de A usada para el super fuerte
X21 : Cantidad de B usada para el super fuerte
X31 : Cantidad de C usada para el super fuerte
X12 : Cantidad de A usada para el fuerte
X22 : Cantidad de B usada para el fuerte
X32 : Cantidad de C usada para el fuerte
Max (Z) = 6.80 (X11 + X21 + X31) + 5.7 (X12 + X22 + X32) – [ 7(X11 + X12) +
5(X21 + X22) + 4(X31 + X32)]
Sujeto a:
X11 + X12 ≤ 2,000
X21 + X22 ≤ 2,500
Disponibilidad
X31 + X32 ≤ 1,200
X11 ≥ 0.60 (X11 + X21 + X31)
X31 ≤ 0.20 (X11 + X21 + X31)
X32 ≤ 0.60 (X12 + X22 + X32)
X12 ≥ 0.15 (X12 + X22 + X32)
Xij ≥ 0 : i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2
Problema 7
Una industria de muebles requiere de 350 barras de
2x4x20 cm. y de 200 barras de 2x3x20 cm., si dicha
empresa dispone de barras cuyas dimensiones son
7x5x20 cm., cual debe ser el programa que debe seguir
para minimizar desperdicios sabiendo que el máximo
debe ser de 140 cm3.
Solución
X2
X3
3
3
1
3
2
2
2
2
1
1
4
1
5
3
4
2
3
2
20
4
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
3
2
3
3
X1
7
140 cm3 = 7 cm2
20 cm
350
2 x 4 x 20
200
2 x 3 x 20
Xi = cantidad de barras a obtenerse en la modalidad de corte i
Min (Z) = 100 X1 + 60 X2 + 140 X3
X1
X2
X3
2 x 4 x 20
0
1
2
2 x 3 x 20
5
4
2
Sujeto a:
X2 + 2 X3 ≥ 350
5 X1 + 4 X2 + 2 X3 ≥ 200
X1,
X2,
X3 ≥ 0
Problema 10
Mineral N° 1
Mineral N° 2
X1 = toneladas de mineral 1 en el molde
X2 = toneladas de mineral 2 en el molde
Mineral 1
Mineral 2
Hierro forjado
60%
13%
Plomo
10%
3%
Min (Z) = 260 X1 + 80 X2
Sujeto a:
0.60 X1 + 0.13 X2 ≥ 0.20 (X1 + X2)
0.10 X1 + 0.03 X2 ≥ 0.05 (X1 + X2)
X1 ,
X2, ≥ 0
Problema 11
Un fabricante de láminas metálicas recibe un pedido para producir
2000 láminas de tamaño 2’ x 4’ y 1000 láminas de tamaño 4’ x 7’. Se
dispone de dos láminas estándar de tamaño 10’ x 3000’ y 11’ x 2000’.
El personal del departamento de ingeniería decide que los tres
siguientes patrones de corte son adecuados para satisfacer el
pedido y minimizar el desperdicio. Formule el problema como un
modelo de programación lineal.
Patron N° 1
Patron N° 2
4'
2'
4'
2'
7
2'
7'
Patron N° 3
4'
2'
2'
2'
2'
2'
Solución
Láminas 2 x 4
4x7
4
2
7
1
3
750 para cotar
1
4
2
2
2
3
500 para cotar
2,000
1,000
10’ x 3,000’
11’ x 2,000’
Xij = Cantidad de patrones i utilizado para cortar
en la lámina j
Sujeto a:
2’ x 4’
1 X11 + 5 X31 + 2 X22 + 5 X32 ≥ 2,000
4’ x 7’
1 X11 + 0 X31 + 1 X22 + 0 X32 ≥ 1,000
X11 + X31
≥ 3,000/4
X22 + X32 ≥ 2,000/4
X11, X31,
X22, X32 ≥ 0
7
Min (Z) = Min (Z) = 4 X11 + 0 X31 + 0 X22 + 4 X32
Problema 12
• El Real Hotel opera los 7 días a la semana. Las mucamas son
contratadas para trabajar seis horas diarias. El contrato
colectivo especifica que cada mucama debe trabajar 5 días
consecutivos y descansar 2 días. Todas las mucamas reciben el
mismo sueldo semanal. El Real hotel requiere como mínimo las
horas de servicio.
Lunes 150, Martes 200, Miércoles 400, Jueves 300, Viernes 700,
Sábado 800 y Domingo 300. El administrador desea encontrar
un plan de programación de empleos que satisfaga estos
requerimientos y a un costo mínimo.
Formule este problema como un modelo de programación
lineal.
El gerente le solicita a usted el programa óptimo de compra y
venta para el trimestre.
Solución
L
Ma
Mi
J
V
S
D
L
Ma
Mi
J
V
S
D
L
Ma
Mi
J
XL
XMa
XMi
XJ
XV
XS
XD
XL
XMa
XMi
XJ
XV
XS
XV
Continuación…..
Xi = Número de mucamas que empiezan a trabajar el día i durante
cinco dias consecutivos
XJ + XV + XS + XD + XL
≥ 150 / 6
XV + XS + XD + XL + XMa
≥ 200 / 6
XS + XD + XL + XMa+ XMi
≥ 400 / 6
XD + XL + XMa+ XMi+ XJ
≥ 300 /
6
XL + XMa+ XMi+ XJ + XV
≥ 700 / 6
XMa+ XMi+ XJ + XV +XS
≥ 800 / 6
XMi+ XJ + XV +XS + XD ≥ 300 / 6
XL , XMa, XMi, XJ , XV , XS , XD ≥ 0
Min (Z) = XL + XMa+ XMi+ XJ + XV + XS + XD
Problema 13
La Compañía XYZ produce tornillos y clavos. La materia Prima
para los tornillos cuesta S/. 2 por unidad, mientras que la
materia prima para el clavo cuesta S/. 2.50. Un clavo requiere
dos horas de mano de obra en el departamento N° 1 y tres en el
departamento N° 2, mientras que un tornillo requiere 4 horas en
el departamento N° 1 y 2 horas en departamento N° 2, el jornal
por hora en ambos departamentos es de S/. 2. Si ambos
productos se venden a S/. 18, y el número de horas de mano de
obra disponibles por semana en los departamentos son de 160
y 180 respectivamente. Expresar el problema propuesto como
un programa lineal, tal que maximice las utilidades.
DPTO 1
DPTO 2
Clavos
2 hrs.
3 hrs.
Tornillo
4 hrs.
2 hrs.
Disponibilidad 160 hrs./sem. 180 hrs./sem.
MATERIA
PRIMA
S/. 2 / unid
S/. 2.5/unid.
JORNAL
PRECIO
S/. 2 / hora
S/. 2 / hora
S/. 18 / unid.
S/. 18 / unid
Solución
X1 : unidades de clavos a producirse por semana
X2 : unidades de tornillos a producirse por semana
Max (Z) = 18(X1 + X2) – [10 X1 + 2 X1 + 12 X2 + 2.5 X2]
Sujeto a:
2 X1 + 4 X2 ≤ 160
3 X1 + 2 X2 ≤ 180
X1 ,
X2 ≥ 0
Problema 14
A un estudiante de Ingeniería de sistemas se le pidió que
entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. El
pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache.
Se le dio al estudiante S/. 50, además sabía que al visitante le
gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8
vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 martinis. El tiempo
que empleaba para beber era 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6
minutos por cada vaso de ginebra, 7 y 4 minutos por cada vaso de
whisky y martín.
Los precios de la bebida eran:
Cerveza S/. 1 el vaso, Ginebra S/. 2 el vaso
Whisky S/.2 el vaso, Martini S/. 4 el vaso
El estudiante pensaba que el objetivo era maximizar el consumo
alcohólico durante los 90 minutos que tenía que entretener a su
huésped. Logro que un amigo químico le diese el contenido
alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades
alcohólicas por un vaso de cerveza, ginebra, whisky y martín, 17, 15
16 y 7 por vaso respectivamente. El visitante siempre bebía un
mínimo de 2 whiskys.
¿Cómo resolvió el estudiante el problema?
Solución
Xi : Número de vasos del tipo i
i = 1, 2, 3, 4
1 = Cerveza
2 = Ginebra
3 = Whisky
4 = Martini
Maz (Z) = 17 X1 + 15 X2 + 16 X3 + 7 X4
Sujeto a :
1 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 4 X4 ≤
X1
≤
X2
≤
X3
≤
X3
≥
X4 ≤
15 X1 + 6 X2 + 7 X3 + 4 X4 ≤
X1 , X2 , X3 , X4 ≥
50
8
10
12
2
24
90
0
Problema 15
Xi : cantidad de unidades del tipo i a ser fabricados para ser
vendidos a la semana
i : 1, 2, y 3
1 = válvula globo
2 = válvula aguja
3 = módulo
Max (Z) = 10 X1 + 20 X2 + 60 X3
Sujeto a:
10X1 + 15X2 + (25 + 2 x 10)X3
5X1 + 5X2 + (10 + 2 x 5) X3
5X1 + 5X2 +
10 X3
5X2 +
10 X3
5X2 +
20 X3
X3
X1,
X2 ,
X3
≤ 25,000
≤ 15,000
≤ 45,000
≤ 45,000
≤ 45,000
≥ 200
≥ 0
Problema 16
Un fabricante de muebles desea determinar cuantas mesas, sillas,
escritorios y libreros debe fabricar para optimizar el uso de los
recursos disponibles. En estos productos se utilizan dos tipos de
madera diferente y tienen en existencia 1500 pies del primer tipo y
1000 pies del segundo tipo, para hacer el trabajo total cuenta con
800 horas hombre.
Su pronóstico de ventas más sus órdenes pendientes de entrega
hacen necesario fabricar no más de 40 mesas, 130 sillas, 30
escritorios y 10 libreros. Cada mesa, silla, escritorio y librero
requieren 5, 1, 9 y 12 pies respectivamente del primer tipo de
madera, 2, 3, 4 y 1 pies del segundo tipo de madera. Una mesa
requiere 3 horas/hombre para ser fabricada, una silla requiere de 2
horas/hombre, 5 horas/hombre un escritorio y 10 horas/hombre el
librero.
El fabricante obtiene una utilidad de S/. 12 por mesa, S/. 5 por silla,
S/. 15 por escritorio y S/. 10 por librero.
Formular como un problema de programación lineal.
Solución
M. Tipo I (pies)
M. Tipo II (pies)
Horas-Hombre
Utilidad S/. / unid.
Demanda
Mesas
5
2
3
12
40
Sillas
1
3
2
5
130
Escritorios
9
4
5
15
30
X1: Cantidad de mesas a fabricarse
X2: Cantidad de sillas a fabricarse
X3: Cantidad de escritorios a fabricarse
X4: Cantidad de libreros a fabricarse
Max (Z) = 12 X1 + 5 X2 + 15 X3 + 10 X4
Sujeto a:
5 X1 + 1 X2 + 9 X3 + 12 X4 ≤ 1,500
2 X1 + 3 X2 + 4 X3 + 1 X4 ≤ 1,000
3 X1 + 2 X2 + 5 X3 + 10 X4 ≤ 800
X1
≤
40
X2
≤ 130
X3
≤
30
X4 ≤
10
X1,,,
X2, X3,
X4 ≥
0
Libreros
12
1
10
10
10
Disponibilidad
1,500
1,000
800
Problema 17
•
PETROPERU comercializa gasolina de dos grados: la extra y la normal. Cada gasolina debe
satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presión máxima de vapor aceptable y el octanaje
mínimo. Los requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por barril se muestran en
siguiente cuadro:
Especificaciones de manufactura y precio por barril: PETROPERU
Gasolina
Normal
Extra
Octanaje
mínimo
Presión
máxima
de vapor
80
100
9
6
Precio
de venta
(por barril)
S/. 21
S/. 24
Se atizan tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas normal y extra. Las características de las
gasolinas base se muestran en el siguiente cuadro:
Características de la gasolina base: PETROPERU
Octanaje
Gasolina
base
Tipo 1
Tipo 2
Tipo 3
108
90
73
Presión
de vapor
4
10
5
Disponibilidad
máxima
(barriles)
32,000
20,000
38,000
Costo por
barril
S/. 22
S/. 20
S/. 19
PETROPERU se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,000 barriles de gasolina
normal por semana. No se tiene compromisos con respecto a la gasolina extra. A la compañía le
gustaría determinar el plan de manufactura para las dos clases de gasolina que maximice las
utilidades.
Solución
X1N: Número de barriles de gasolina base tipo I que se utiliza para
fabricar gasolina normal.
X2N: Número de barriles de gasolina base tipo 2 que se utiliza para
fabricar gasolina normal.
X3N: Número de barriles de gasolina base tipo 3 que se utiliza para
fabricar gasolina normal.
X1E: Número de barriles de gasolina base tipo I que se utiliza para
fabricar gasolina extra.
X2E: Número de barriles de gasolina base tipo 2 que se utiliza para
fabricar gasolina extra.
X3E: Número de barriles de gasolina base tipo 3 que se utiliza para
fabricar gasolina extra.
Max (Z) = 21(X1N + X2N + X3N) + 24(X1E + X2E + X3E) - (22X1N + 20X2N +
19X3N) - (22X1E + 20X2E + 19X3E)
Continuación
Disponibilidad
X1N + X2E ≤ 32,000
X2N + X2E ≤ 20,000
X3N + X3E ≤ 38,000
Presión de Vapor
4 X1N
+
10 X2N
X1N + X2N + X3N
X1N + X2N + X3N
4 X1E
+
10 X2E
X1E + X2E + X3E
X1E + X2E + X3E
Octanaje de Gasolina
108 X1N
+
90 X2N
X1N + X2N + X3N
X1N + X2N + X3N
108 X1E
X1E + X2E + X3E
+
90 X2E
X1E + X2E + X3E
+
5 X3N
≤ 9
X1N + X2N + X3N
+
5 X3E
X1E + X2E + X3E
≤ 6
+
73 X3N
X1N + X2N + X3N
≥ 80
+
73 X3E
X1E + X2E + X3E
≥ 100
Continuación
Pedidos Comprometidos
X1N + X2N + X3N ≥ 30,000
No negatividad
X1N, X2N, X3N, X1E, X2E, X3E ≥ 0
Problema 18
TAKAGAKI S. A. fabrica dos tipos de alimentos balanceados,
recibe un pedido especial de 200 TN de una mezcla de proteínas y
carbohidratos, la mezcla debe contener a lo más 40% de
proteínas y por lo menos 30% de carbohidratos, el costo de cada
TN de proteínas es de S/. 3 y de cada TN de carbohidratos es de
8, determinar la mezcla óptima.
XP: TN. de proteínas utilizadas en la mezcla
Xc: TN. de carbohidratos utilizadas en la mezcla
Max (Z) = 3 XP + 8 XC
Sujeto a:
XP + XC = 200
XP
≤ 0.40 ( XP + XC)
XC ≥ 0.30 ( XP + XC)
XP , XC ≥ 0
Problema N° 19
Variable de decisión
Xi = El uso de cada uno de los tres métodos de abatimiento en cada
tipo de horno, expresado como una fracción de la capacidad de
abatimiento de tal manera que Xi no exceda a 1
Función Objetivo
Min (Z) = 8X1 + 10X2 + 7X3 + 6X4 + 11X5 + 9X6
Sujeto a:
12X1 + 9X2 + 25X3 + 20X4 + 17X5 + 13X6 ≥ 60
35X1 + 42X2 + 18X3 + 31X4 + 56X5 + 49X6  150
37X1 + 53X2 + 28X3 + 24X4 + 29X5 + 20X6  125
X1 +
X1,
X2 +
X2 ,
X3 +
X3 ,
X4 +
X4,
X5 +
X5,
X6 ≤ 1
X6  0
Método de
abatimiento
Tecnología
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