Veamos que el peso es una fuerza conservativa:
A
P = -mg k
dr = dx i + dy j + dz k
dr camino C
B
∫
B
T = Pdr
A, camino C
Veamos que la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa:
m2
A

m1· m2 
F  G
u
2
r
dr camino C
r
m1
∫
B
T = Fg dr
A, camino C
B
Veamos que la fuerza electrostática es una fuerza conservativa:
q2
A

q1· q2 
FK
u
2
r
dr camino C
r
q1
∫
B
T = Fe dr
A, camino C
B
Veamos que la fuerza electrostática es una fuerza conservativa:
q2
A

q1· q2 
FK
u
2
r
dr camino C
r
q1
∫
B
T = Fe dr
A, camino C
B
Veamos que la fuerza elástica es una fuerza conservativa:
∫
B
T = Fe dx
A, camino C
TA B  mg( zB  z A )
TA  B
1
  K ( xB2  x A2 )
2
U  m gz
1 2
U  Kx
2
TA  B
1 1
 G m1m2 ( 
)
rB rA
1
U  G m1m2
r
TA  B
1 1
  K q1q2 (  )
rB rA
1
U  K q1q2
r
Definición de energía
potencial
TA B  (U B U A )
Origen de energías potenciales
U  m gz
U
1 2
Kx
2
1
U  G m1m2
r
1
U  K q1q2
r
z0
x0
r 
r 
Uorigen  0
TA origen  (U origen  U A )
TA origen  (0  U A )
TA origen  U A
Definición de energía
potencial en un punto
Revisión del signo de energías potenciales
U  m gz
U
1 2
Kx
2
1
U  G m1m2
r
1
U  K q1q2
r
Concepto de campo y tipos
Def.: Llamamos campo a la perturbación real o ficticia del espacio
determinada por la asignación a cada punto del valor de una magnitud
(temperatura, velocidad, altitud, presión, ...).
Mapa de isobaras
Mapa con cotas de altitud
Decimos que existe un campo de fuerzas en un lugar del espacio si, al colocar
en él un cuerpo de prueba, éste queda sometido a una fuerza.
En los campos centrales, todos los vectores fuerza convergen en un mismo
punto, llamado centro del campo. El módulo del vector fuerza depende
únicamente de la distancia del punto considerado al centro del campo. Ej.:
campo gravitatorio de la Tierra.
Campo de cargas positivas y negativas
En los campos uniformes la fuerza tiene el mismo módulo, dirección y sentido
en todos los puntos.
Campo uniforme
Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del
campo para trasladar una partícula de un punto A a otro B es independiente
del camino escogido, dependiendo únicamente de los puntos inicial y final.
Campo conservativo, el trabajo no depende del recorrido elegido

Mm 
F   G 2 ur
r
Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están
separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que
se atraen. ¿Es posible situar una masa en algún punto del segmento que las
une sin que actúe ninguna fuerza sobre ella? ¿Dónde?
m2
m1
100m
m1m2
F G 2
r
Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están
separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que
se atraen. ¿Es posible situar una masa en algún punto del segmento que las
une sin que actúe ninguna fuerza sobre ella? ¿Dónde?
m1
m2
m3
100m
m1m2
F G 2
r
Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están
separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que
atraen una masa m3 =100kg colocada en el punto medio, A . Determina la
energía potencial que tiene m3 en este punto.
m1
A
m3
100m
m1m2
F G 2
r
U A  U A1  U A2
1
1
 G m1m3
 G m2 m3
r13
r23
m2
Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están
separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que
atraen una masa m3 =100kg colocada en el punto B que está a 30m a la
izquierda de m1 . Determina la energía potencial que tiene m3 en este
punto.
B
m2
m1
m3
30m
m1m2
F G 2
r
U B  U B1  U B2
1
1
 G m1m3
 G m2 m3
r13
r23
Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar m3 desde el punto A al
punto B.
m1
m3
B
30m
TA B  (U B U A )
A
m3
100m
m2
Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar m3 desde el punto A hasta
el ∞.
m1
A
m3
100m
TA   (U U A )  U A
m2
Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están
separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que
atraen una masa m3 =100kg colocada en el punto C que está a 20m sobre la
perpendicular que pasa por el punto medio. Determina la energía potencial
que tiene m3 en este punto.
100m
m1
20m
C
U C  U C1  U C2
m3
1
1
 G m1m3
 G m2 m3
r13
r23
m2
Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están
separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que
atraen una masa m3 =100kg colocada en el punto D que está a 20m sobre la
perpendicular que pasa por m1. Determina la energía potencial que tiene m3
en este punto.
100m
m1
20m
m3
D
U D  U D1  U D2
1
1
 G m1m3
 G m2 m3
r13
r23
m2
Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar m3 desde el punto D al
punto C.
m1
100m
20m
m3
TD C  (UC U D )
m2
La fuerza gravitatoria es una fuerza que depende tanto de la
masa que crea el campo, m1, como de la masa que experimenta
dicha perturbación, m2:

m1· m2 
F  G
u
2
r
m2
r
m1
La fuerza gravitatoria es una fuerza que depende tanto de la
masa que crea el campo, m1, como de la masa que experimenta
dicha perturbación, m2:

m1· m2 
F  G
u
2
r
m2
r
m1
La fuerza gravitatoria es una fuerza que depende tanto de la
masa que crea el campo, m1, como de la masa que experimenta
dicha perturbación, m2:

m1· m2 
F  G
u
2
r
m2
r
m1
Para evitar este problema se define la intensidad de campo
gravitatoria que es “la fuerza que actúa sobre una masa testigo
de 1kg” o también como F/m2:

m1·1kg 
m1 
G  G
u  G 2 u
2
r
r


m1· m2 
m1 
G  F / m2  G 2
u  G 2 u
r m2
r
r
m1
m2= 1kg
Dada una masa puntual de valor m1 = 2·1012 kg. Calcular la intensidad de
campo gravitatoria en un punto que está a 10m de distancia.
m1
10m
m2= 1kg

m1 
G  G 2 u
r
Calcular la fuerza gravitatoria con la que atraería una masa m3 =8kg colocada
en ese punto
m1
10m

G  F / m3



F  m3 G
m3
La energía potencial gravitatoria es tipo de energía que depende
que depende tanto de la masa que crea el campo, m1, como de
la masa que experimenta dicha perturbación, m2, y que va a ser
trasladada:
1
U  G m1m2
r
TA   U A
m2
r
m1
Para evitar este problema se define el potencial gravitatorio
como “el trabajo que se debe hacer sobre una masa testigo de
1kg para llevarla desde A hasta el ∞” o también como U/m2:
V  G m11kg
1
1
 G m1
r
r
1
V  U / m2  G m1
r
m2= 1kg
TA 1

V
kg
A
 
r
m1
Dada una masa puntual de valor m1 = 2·1012 kg. Calcular el potencial
gravitatorio en un punto que está a 10m de distancia.
m1
10m
m2= 1kg
TA 1

V
kg
A
 
1
V  G m1
r
Calcular el trabajo que se debe efectuar para llevar una masa m3 =8kg
colocada en ese punto hasta el infinito
m1
10m
V  U / m3
U  m3V
m3
TA m

m
V
3
3
A

(Sep 2000) Sean dos masas puntuales de 100 kg y 150 kg, situadas en los puntos
A(-2, 0) y B (3, 0) m respectivamente. Se pide:
1) Campo gravitatorio en el punto C(0, 4) m.
2) Potencial gravitatorio en el punto C(0, 4) m.
3) Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el
punto C(0, 4) hasta el infinito.
4) Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el
punto C(0, 4) hasta el punto O(0, 0) m.
m3= 1kg
C
m1
A
m2
B
1) Potencial gravitatorio en el punto C(0, 4) m.
2) Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el
punto C(0, 4) hasta el infinito.
1
1
VC  VC1  VC2  G m1  G m2
r13
r23
C
m1
A
m3= 1kg
TC 10

10
V
kg
C

m2
B
1) Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el
punto C(0, 4) hasta el punto O(0, 0) m.
VD  VD1  VD2
1
1
 G m1  G m2
r13
r23
TC 10
 10(VD VC )
kg
D
C
m4= 10kg
m2
m1
A
D
B
Sean dos masas puntuales de 100 kg y 150 kg, situadas en los puntos
A(-2, 0) y B (3, 0) m respectivamente. Se pide:
1) Campo gravitatorio en el punto C(0, 0) m.
2) Potencial gravitatorio en el punto C(0, 0) m.
3) Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el
punto C(0, 0) hasta el infinito.
4) Punto dónde el campo gravitatorio es nulo. ¿En qué punto es nulo el
potencial gravitatorio?
m3= 1kg
m1
A
C
m2
B
1) Potencial gravitatorio en el punto C(0, 0) m.
2) Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el
punto C(0, 0) hasta el infinito.
1
1
VC  VC1  VC2  G m1  G m2
 6,67x109 ( J / Kg )
r13
r23
TC 10

10
V
kg
C

m1
A
m3= 1kg
C
m2
B
Sean dos masas puntuales de 100 kg y 150 kg, situadas en los puntos
A(-2, 0) y B (3, 0) m respectivamente. Se pide:
1) Punto dónde el campo gravitatorio es nulo. ¿En qué punto es nulo el
potencial gravitatorio?
m1
G
A
m3= 1kg
m2
B
Ejercicio nº1
En los vértices de un cuadrado de lado 10m se colocan cuatro masas iguales a 1012kg. Determina: a)
La intensidad de campo en el centro del cuadrado, b) El potencial en ese punto, c) La intensidad de
campo en el punto medio de uno cualquiera de los lados, d) El potencial en ese punto, e) La fuerza que
actúa sobre una partícula de masa 100kg colocada en el punto medio de uno de los lados, f) El trabajo
que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado, g) La fuerza sobre una
cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los
vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.
m5= 1kg
C
Ejercicio nº1
b) El potencial en ese punto, c) La intensidad de campo en el punto medio de uno cualquiera de los
lados, d) El potencial en ese punto, e) La fuerza que actúa sobre una partícula de masa 100kg
colocada en el punto medio de uno de los lados, f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula
desde este punto al centro del cuadrado, g) La fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo
que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que
inicialmente están infinitamente alejadas.
1
VC  VC1  VC2  VC3  VC4  4VC1  4G m1
r15
m5= 1kg
C
Ejercicio nº1
c) La intensidad de campo en el punto medio de uno cualquiera de los lados, d) El potencial en ese
punto, e) La fuerza que actúa sobre una partícula de masa 100kg colocada en el punto medio de uno
de los lados, f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado,
g) La fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas
cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.
D
m5= 1kg
Ejercicio nº1
c) La intensidad de campo en el punto medio de uno cualquiera de los lados, d) El potencial en ese
punto, e) La fuerza que actúa sobre una partícula de masa 100kg colocada en el punto medio de uno
de los lados, f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado,
g) La fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas
cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.
D m5= 1kg
VD  VD1  VD2  VD3  VD4
1
1
 2VD1  2VD3  2G m1  2G m3
r15
r35
Ejercicio nº1
e) La fuerza que actúa sobre una partícula de masa 100kg colocada en el punto medio de uno de los
lados, f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado, g) La
fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro
masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.
D m5= 100kg
Ejercicio nº1
f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado, g) La fuerza
sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas
en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.
D
m5= 100kg
C
TD 10 0


100
(
V

V
)
kg
C
D
C
g) La fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas
cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.
h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado
suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.
h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado
suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.
h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado
suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.
h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado
suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.

q1 · q 2 
FK
u
2
r
Dos cargas puntuales de valores q1 = 2·10-6 C y q2 = 8·10-6 C están separadas
una distancia de 10m. Calcular la fuerza electrostática con la que se repelen.
¿Es posible situar una carga en algún punto del segmento que las une sin
que actúe ninguna fuerza sobre ella? ¿Dónde?
q2
q1
10m
q1q2
F K 2
r
¿Es posible situar una carga en algún punto del segmento que las une sin
que actúe ninguna fuerza sobre ella? ¿Dónde?
q1
q2
q3
10m
q1q2
F K 2
r
Dos cargas puntuales de valores q1 = 2·10-6 C y q2 = 8·10-6 C están separadas
una distancia de 10m. Calcular la fuerza electrostática que actúa sobre una
masa q3 = 1nC colocada en el punto medio de la línea que une q1 con q2
q1
q3
10m
q1q2
F K 2
r
q2
Determina la energía potencial que tiene q3 en este punto.
q1
q3
10m
U A  U A1  U A2
1
1
 K q1q3
 Kq2 q3
r13
r23
q2
Calcular la fuerza que actúa sobre q3 =1nC colocada en el punto B que está a
3m a la izquierda de q1 . Determina la energía potencial que tiene q3 en este
punto.
B
q1
3m
q3
10m
q1q2
F K 2
r
U B  U B1  U B2
1
1
 K q1q3
 Kq2 q3
r13
r23
q2
Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar q3 desde el punto A al
punto B.
q1
q3
B
3m
TA B  (U B U A )
A
q3
10m
q2
Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar q3 desde el punto A hasta
el ∞.
q1
A
q3
10m
TA   (U U A )  U A
q2
Dos cargas puntuales de valores q1 = 2·10-6 C y q2 = 8·10-6 C están separadas
una distancia de 10m. Calcular la fuerza electrostática que actúa sobre una
masa q3 = 1nC colocada en el punto C que está a 2m sobre la perpendicular
que pasa por el punto medio que une q1 con q2. Determina la energía
potencial que tiene q3 en este punto.
q1
10m
2m
q3
C
U C  U C1  U C2
1
1
 K q1q3
 Kq2 q3
r13
r23
q2
Dos cargas puntuales de valores q1 = 2·10-6 C y q2 = 8·10-6 C están separadas
una distancia de 10m. Calcular la fuerza electrostática que actúa sobre una
masa q3 = 1nC colocada en el punto C que está a 2m sobre la perpendicular
que pasa por el punto medio en el punto D que está a 2m sobre la
perpendicular que pasa por q1. Determina la energía potencial que tiene m3
en este punto.. Determina la energía potencial que tiene q3 en este punto.
q1
10m
q2
2m
q3
D
U D  U D1  U D2
1
1
 K q1q3
 Kq2 q3
r13
r23
Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar q3 desde el punto D al
punto C.
q1
10m
2m
q3
TD C  (UC U D )
q2
Dos cargas puntuales de valores q1 = 2·10-6 C y q2 = -6·10-6 C están separadas
una distancia de 10m. Calcular la fuerza electrostática con la que se atraen.
¿Es posible situar una carga en algún punto del segmento que las une sin
que actúe ninguna fuerza sobre ella? ¿Dónde?
q2
q1
10m
q1q2
F K 2
r
¿Es posible situar una carga en algún punto del segmento que las une sin
que actúe ninguna fuerza sobre ella? ¿Dónde?
q1
q3
10m
q1q2
F K 2
r
q2
Dos cargas puntuales de valores q1 = 2·10-6 C y q2 = -6·10-6 C están separadas
una distancia de 10m. Calcular la fuerza electrostática que actúa sobre una
masa q3 = 1nC colocada en el punto medio de la línea que une q1 con q2
q1
q3
10m
q1q2
F K 2
r
q2
Determina la energía potencial que tiene q3 en este punto.
q1
q3
10m
U A  U A1  U A2
1
1
 K q1q3
 Kq2 q3
r13
r23
q2
Calcular la fuerza que actúa sobre q3 =1nC colocada en el punto B que está a
3m a la izquierda de q1 . Determina la energía potencial que tiene q3 en este
punto.
B
q1
3m
q3
10m
q1q2
F K 2
r
U B  U B1  U B2
1
1
 K q1q3
 Kq2 q3
r13
r23
q2
Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar q3 desde el punto A al
punto B.
q1
q3
B
3m
TA B  (U B U A )
A
q3
10m
q2
Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar q3 desde el punto A hasta
el ∞.
q1
A
q3
10m
TA   (U U A )  U A
q2
Dos cargas puntuales de valores q1 = 2·10-6 C y q2 = -6·10-6 C están separadas
una distancia de 10m. Calcular la fuerza electrostática que actúa sobre una
masa q3 = 1nC colocada en el punto C que está a 2m sobre la perpendicular
que pasa por el punto medio que une q1 con q2. Determina la energía
potencial que tiene q3 en este punto.
q1
10m
2m
q3
C
U C  U C1  U C2
1
1
 K q1q3
 Kq2 q3
r13
r23
q2
Dos cargas puntuales de valores q1 = 2·10-6 C y q2 = -6·10-6 C están separadas
una distancia de 10m. Calcular la fuerza electrostática que actúa sobre una
masa q3 = 1nC colocada en el punto C que está a 2m sobre la perpendicular
que pasa por el punto medio en el punto D que está a 2m sobre la
perpendicular que pasa por q1. Determina la energía potencial que tiene m3
en este punto.. Determina la energía potencial que tiene q3 en este punto.
q1
10m
q2
2m
q3
D
U D  U D1  U D2
1
1
 K q1q3
 Kq2 q3
r13
r23
Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar q3 desde el punto D al
punto C.
q1
10m
2m
q3
TD C  (UC U D )
q2
La fuerza electrostática es una fuerza que depende tanto de la
carga que crea el campo, q1, como de la carga que experimenta
dicha perturbación, q2:

q1· q2 
FK 2 u
r
q2
r
q1
La fuerza electrostática es una fuerza que depende tanto de la
carga que crea el campo, q1, como de la carga que experimenta
dicha perturbación, q2:

q1· q2 
FK 2 u
r
q2
r
q1
La fuerza electrostática es una fuerza que depende tanto de la
carga que crea el campo, q1, como de la carga que experimenta
dicha perturbación, q2:

q1· q2 
FK 2 u
r
q2
r
q1
Para evitar este problema se define la intensidad de campo
electrostática que es “la fuerza que actúa sobre una carga
testigo de 1C” o también como F/q2:

q1·1C 
q1 
EK
uK 2 u
2
r
r


q1· q2 
q1 
E  F / q2  K 2
uK 2 u
r q2
r
r
q1
q2= 1C
Dada una carga puntual de valor q1 = 2nC. Calcular la intensidad de campo
gravitatoria en un punto que está a 6m de distancia.
q1
6m

q1 
EK 2 u
r
q2= 1C
Calcular la fuerza electrostática con la que atraería una carga q3 =-8pC
colocada en ese punto
q1
6m

E  F / q3



F  q3 E
q3
La energía potencial electrostática es un tipo de energía que
depende que depende tanto de la carga que crea el campo, q1,
como de la carga que experimenta dicha perturbación, q2, y que
va a ser trasladada:
1
U  Kq1q2
r
TA   U A
q2
r
q1
Para evitar este problema se define el potencial electrostático
como “el trabajo que se debe hacer sobre una carga testigo de
1C para llevarla desde A hasta el ∞” o también como U/q2:
V  Kq11C
1
1
 Kq1
r
r
1
V  U / q2  Kq1
r
q2= 1C
TA 1

V
C
A

r
q1
Dada una carga puntual de valor q1 = 2·nC. Calcular el potencial
electrostático en un punto que está a 6m de distancia.
q1
6m
q2= 1C
TA 1

V
C
A

1
V  Kq1
r
Calcular el trabajo que se debe efectuar para llevar una masa q3 =-8pC
colocada en ese punto hasta el infinito
q1
6m
V  U / q3
U  q3V
q3
TA 

q
V
q3
3
A

En los vértices de un cuadrado de lado 4m se colocan cuatro cargas q1= q2 = 10-6 C
y q3= q4 = -2x10-6 C. Determina: a) La intensidad de campo en el centro del
cuadrado, b) El potencial en ese punto, c) La intensidad de campo en el punto
medio del lado que une q1 con q2. d) El potencial en ese punto, e) La fuerza que
actúa sobre una partícula de carga 2 pC colocada en ese punto medio, f) El trabajo
que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado, g) La
fuerza sobre q3, h) La intensidad de campo en el punto medio del lado que une q3
con q2. i) El potencial en ese punto
q1
q2
q5= 1C
C
q4
q3
En los vértices de un cuadrado de lado 4m se colocan cuatro cargas q1= q2 = 10-6 C
y q3= q4 = -2x10-6 C. Determina: b) El potencial en ese punto,
q1
q2
q5= 1C
C
q4
q3
1
1
VC  VC1  VC2  VC3  VC4  2VC1  2VC3  2 Kq1  2 Kq3
r15
r35
En los vértices de un cuadrado de lado 4m se colocan cuatro cargas q1= q2 = 10-6 C
y q3= q4 = -2x10-6 C. Determina: c) La intensidad de campo en el punto medio del
lado que une q1 con q2.
D
q5= 1C
q1
q4
q2
q3
En los vértices de un cuadrado de lado 4m se colocan cuatro cargas q1= q2 = 10-6 C
y q3= q4 = -2x10-6 C. Determina: d) El potencial en ese punto,
q5= 1C
q1
q2
D
q4
q3
1
1
VD  VD1  VD2  VD3  VD4  2VD1  2VD3  2 Kq1  2 Kq3
r15
r35
En los vértices de un cuadrado de lado 4m se colocan cuatro cargas q1= q2 = 10-6 C
y q3= q4 = -2x10-6 C. Determina: e) La fuerza que actúa sobre una partícula de carga
2 pC colocada en ese punto medio.
D
q6= 2PC
q1
q4
q2
q3
En los vértices de un cuadrado de lado 4m se colocan cuatro cargas q1= q2 = 10-6 C
y q3= q4 = -2x10-6 C. Determina: f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula
desde este punto al centro del cuadrado, g) La fuerza sobre q3, h) La intensidad de
campo en el punto medio del lado que une q3 con q2. i) El potencial en ese punto
D
q6= 2PC
q1
q2
TD 2pC C  2 x10
C
q4
q3
12
(VC  VD )
En los vértices de un cuadrado de lado 4m se colocan cuatro cargas q1= q2 = 10-6 C
y q3= q4 = -2x10-6 C. Determina: g) La fuerza sobre q3,
q1
q2
q4
q3
En los vértices de un cuadrado de lado 4m se colocan cuatro cargas q1= q2 = 10-6 C
y q3= q4 = -2x10-6 C. Determina: h) La intensidad de campo en el punto medio del
lado que une q3 con q2.
q1
q2
q5= 1C
q4
q3
En los vértices de un cuadrado de lado 4m se colocan cuatro cargas q1= q2 = 10-6 C
y q3= q4 = -2x10-6 C. Determina: i) El potencial en ese punto
q1
q2
q5= 1C
E
q4
q3
1
1
1
1
VE  VE1  VE2  VE3  VE4  Kq1  Kq2
 Kq3
 Kq4
r15
r25
r35
r45
Dos esferas muy pequeñas de 10 g de masa y cargadas positivamente con la misma
carga, se encuentran en los extremos de dos hilos de seda de longitud 1 m suspendidas
del mismo punto. Si el ángulo que forma cada hilo con la vertical es de 30º en la posición
de equilibrio. a) Calcular el valor de la tensión de los hilos en la posición de equilibrio. b)
Carga de cada esfera. c) Si desaparece alguna de las cargas, calcular la velocidad de la
otra al pasar por la vertical. d) Si se desea que al desaparecer una carga la otra
permanezca en la misma posición de equilibrio del apartado a), calcular el campo eléctrico
que es necesario aplicar.
c) Si desaparece alguna de las cargas, calcular la velocidad de la otra al pasar por la
vertical. d) Si se desea que al desaparecer una carga la otra permanezca en la misma
posición de equilibrio del apartado a), calcular el campo eléctrico que es necesario aplicar.
d) Si se desea que al desaparecer una carga la otra permanezca en la misma posición de
equilibrio del apartado a), calcular el campo eléctrico que es necesario aplicar.
Un electrón y un protón se encuentran a una distancia de 4x10-10m. Calcular: a) La
fuerza eléctrica de atracción entre las dos partículas. b) La fuerza gravitatoria entre
ellas. c) La relación entre las fuerzas eléctrica y gravitatoria
me = 9.1 10-31 kg ; e - = 16
. 10-19 C ; mp = 167
. 10-27 kg ; G = 6.67 10-11 Nm2 / kg
Una partícula de carga “-2q” se sitúa en el origen del eje x. A un metro de distancia y en la
parte positiva del eje, se sitúa otra partícula de carga “+q” . Calcular :
1.los puntos del eje en que se anula el potencial eléctrico
2.los puntos en los que se anula el campo electrostático.
(P.A.U. Jun 05),
-2q
+q
Un electrón tiene una energía cinética de 1.6 10-17 J. Calculad su velocidad.
¿Cuál será la dirección, sentido y módulo de un campo eléctrico que haga
que ese electrón se detenga por completo a una distancia de 10 cm desde su
entrada en la región ocupada por el campo? Datos: carga del electrón=-1.6
10-19 C, masa del electrón=9.1 10-31 kg.
E
F
v
10 cm
Un campo eléctrico uniforme de valor E = 100 V/m está dispuesto horizontalmente en
la dirección del eje X. Se deja en libertad en el origen, y partiendo del reposo, una
carga puntual de Q = 6uC y masa = 0,2 g. Calcular:
a) la energía cinética de la carga en x = 0,6 m;
b) la variación de la energía potencial en el mismo recorrido;
c) el desplazamiento vertical que ha experimentado la partícula;
d) la diferencia de potencial eléctrico entre la posición inicial y final de la partícula.
Datos: g = 9,8 m/s2.
E
F
Un campo eléctrico uniforme de valor E = 100 V/m está dispuesto horizontalmente en
la dirección del eje X. Se deja en libertad en el origen, y partiendo del reposo, una
carga puntual de Q = 6uC y masa = 0,2 g. Calcular:
a) la energía cinética de la carga en x = 0,6 m;
b) la variación de la energía potencial en el mismo recorrido;
c) el desplazamiento vertical que ha experimentado la partícula;
d) la diferencia de potencial eléctrico entre la posición inicial y final de la partícula.
Datos: g = 9,8 m/s2.
E
F
v
0,6 m
Dadas las cargas puntuales q1=+100µC, q2= -50µC y q3= -100µC situadas en
los puntos A(-3,0), B(3,0) y C(0,2) respectivamente, calculad: a)La
intensidad del campo eléctrico en el punto (0,0) b)El potencial eléctrico en
el punto (0,0) c)Desde muy lejos se hace llegar una carga de -10µC al punto
(0,0). Calculad su variación de energía potencial, así como el trabajo
realizado. Interpretad físicamente el resultado obtenido.
q3= -100µC
q2= -50µC
q1=+100µC
Dadas las cargas puntuales q1=+100µC, q2= -50µC y q3= -100µC situadas en
los puntos A(-3,0), B(3,0) y C(0,2) respectivamente, calculad: a)La
intensidad del campo eléctrico en el punto (0,0)
q3= -100µC
q4= 1C
q1=+100µC
q2= -50µC
Dadas las cargas puntuales q1=+100µC, q2= -50µC y q3= -100µC situadas en
los puntos A(-3,0), B(3,0) y C(0,2) respectivamente, calculad: b)El potencial
eléctrico en el punto (0,0)
q3= -100µC
q4= 1C
q1=+100µC
q2= -50µC
Dadas las cargas puntuales q1=+100µC, q2= -50µC y q3= -100µC situadas en
los puntos A(-3,0), B(3,0) y C(0,2) respectivamente, calculad: c)Desde muy
lejos se hace llegar una carga de -10µC al punto (0,0). Calculad su variación
de energía potencial, así como el trabajo realizado. Interpretad físicamente
el resultado obtenido.
q3= -100µC
q4= -10-5 C
q1=+100µC
q2= -50µC
Dos pequeñas esferas conductoras están suspendidas de hilos de la misma
longitud y de masa despreciable, de forma que se están tocando. Se cargan
las dos con la misma carga, repeliéndose hasta que los hilos de los que
cuelgan forman un ángulo de 90°. Poco a poco, y debido a la conductividad
del aire (que no es un aislante perfecto), las esferas van perdiendo carga
idéntica y uniformemente. Calculad el tanto por ciento de carga perdida
cuando los hilos de suspensión formen un ángulo de 60°.
Dos pequeñas esferas conductoras están suspendidas de hilos de la misma
longitud y de masa despreciable, de forma que se están tocando. Se cargan
las dos con la misma carga, repeliéndose hasta que los hilos de los que
cuelgan forman un ángulo de 90°. Poco a poco, y debido a la conductividad
del aire (que no es un aislante perfecto), las esferas van perdiendo carga
idéntica y uniformemente. Calculad el tanto por ciento de carga perdida
cuando los hilos de suspensión formen un ángulo de 60°.
Dos pequeñas esferas conductoras están suspendidas de hilos de la misma
longitud y de masa despreciable, de forma que se están tocando. Se cargan
las dos con la misma carga, repeliéndose hasta que los hilos de los que
cuelgan forman un ángulo de 90°. Poco a poco, y debido a la conductividad
del aire (que no es un aislante perfecto), las esferas van perdiendo carga
idéntica y uniformemente. Calculad el tanto por ciento de carga perdida
cuando los hilos de suspensión formen un ángulo de 60°.
Una pequeña esfera conductora de masa m = 50 g está cargada
positivamente y cuelga del techo mediante un hilo de longitud 60 cm. La
esfera está en el seno de un campo eléctrico horizontal, uniforme y estático
cuyo valor es 100 V/m. Si en la configuración de equilibrio el hilo forma un
ángulo de 30o con la vertical, ¿cuántos electrones perdió la esfera al ser
cargada?
Dos cargas puntuales fijas, de valores Q1 = 25 nC y Q2 = –10 nC, se
encuentran a una distancia a = 10 cm. Calcule a) El campo eléctrico
(módulo y orientación) en los puntos A y B de la figura adjunta. b) El trabajo
mínimo que sería necesario efectuar para separar las cargas otros diez
centímetros en la línea que les une inicialmente.
Un electrón describe un movimiento rectilíneo horizontal con una energía cinética
de 3000 eV. En un momento dado, entra en una región en la que existe un campo
electrostático vertical cuyo valor es E = 2104 V/m. Si la anchura de dicha región es
d = 5 cm, obtenga el desplazamiento horizontal del electrón justo en el momento en
el que sale de dicha región y el ángulo con el que el electrón sale deflectado.
En los vértices de un triángulo equilátero de lado 2m se colocan tres cargas
iguales a 4x10-3 C. Determina: a) La intensidad de campo en el centro del
triángulo, b) El potencial en ese punto, c) La intensidad de campo en el punto
medio de uno cualquiera de los lados, d) El potencial en ese punto, e) La fuerza
que actúa sobre una partícula de carga 5x10-6 C colocada en el punto medio de
uno de los lados, f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula desde este
punto al punto D simétrico del centro del triángulo respecto de este lado, g) La
fuerza sobre la carga cuando está en el punto A, h) El trabajo que se debe
realizar para colocar estas tres cargas en los vértices del triángulo suponiendo
que inicialmente están infinitamente alejadas.
q1
q4= 1C
q3
q2
En los vértices de un triángulo equilátero de lado 2m se colocan tres cargas
iguales a 4x10-3 C. Determina: b) El potencial en ese punto,
1
VC  VC1  VC2  VC3  3VC1  3Kq1
r14
q1
q4= 1C
q3
q2
En los vértices de un triángulo equilátero de lado 2m se colocan tres cargas
iguales a 4x10-3 C. Determina: c) La intensidad de campo en el punto medio de
uno cualquiera de los lados,
q1
q4= 1C
q3
q2
En los vértices de un triángulo equilátero de lado 2m se colocan tres cargas
iguales a 4x10-3 C. Determina: d) El potencial en ese punto,
1
1
VC  VC1  VC2  VC3  2VC1  VC3  2Kq1  Kq3
r14
r34
q1
q4= 1C
q3
q2
En los vértices de un triángulo equilátero de lado 2m se colocan tres cargas
iguales a 4x10-3 C. Determina: e) La fuerza que actúa sobre una partícula de
carga 5x10-6 C colocada en el punto medio de uno de los lados.
q1
q4= 5x10-6 C
q3
q2
En los vértices de un triángulo equilátero de lado 2m se colocan tres cargas
iguales a 4x10-3 C. Determina: f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula
desde este punto al punto D simétrico del centro del triángulo respecto de este
lado,.
1
1
VD  VD1  VD2  VD3  2VD1  VD3  2 Kq1  Kq3
r14
r34
q1
D
q4= 5x10-6 C
q3
q2
En los vértices de un triángulo equilátero de lado 2m se colocan tres cargas
iguales a 4x10-3 C. g) La fuerza sobre la carga cuando está en el punto D,
q1
q4= 5x10-6 C
D
q3
q2
En los vértices de un triángulo equilátero de lado 2m se colocan tres cargas
iguales a 4x10-3 C. h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas tres
cargas en los vértices del triángulo suponiendo que inicialmente están
infinitamente alejadas.
q1
q3
q2
Dipolo
q1 = q2
q3= 1C
a/2
+q1
a/2
-q2
Dipolo
q3= 1C
+q1
-q2
Dipolo
q3= 1C
+q1
-q2
Dipolo
a/2
q3= 1C
+q1
a/2
-q2
Distribución discreta de cargas:
Distribución continua de cargas:
Densidad de carga
Se distinguen tres tipos de densidad de carga:
Densidad de carga lineal: Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo, hilos.
donde Q es la carga del cuerpo y L es la longitud. En el SI se mide en C/m
Densidad de carga superficial: Se emplea para superficies, por ejemplo una
plancha metálica delgada como el papel de aluminio.
donde Q es la carga del cuerpo y S es la superficie. Se mide en C/m2
Densidad de carga volumétrica: Se emplea para cuerpos que tienen volumen.
donde Q es la carga del cuerpo y V el volumen. Se mide en C/m3
El campo eléctrico total para toda la
distribución será

dq 
E  k ur
r2

Hallar el campo electrostático en un punto P que se encuentra a una distancia a de un
hilo de longitud indefinida que tiene una densidad de carga λ
P
a
1C
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