ÁREA Y PERÍMETRO
CIRCUNFERENCIA - CÍRCULO
Prof. José Mardones Cuevas
E-Mail: [email protected]
En cada uno de los siguientes ejercicios
debes calcular el área y perímetro de la figura
achurada.
Enseguida puedes verificar tu resultado o
desarrollo.
Recuerda que, la mayoría de las veces, los
desarrollos de los ejercicios no son únicos.
1
AC = AB, <CAB recto, BC = 10 cm.
PFig  arco ED  2EB  BC
2  5
 2(5 2  5)  10
4
5


 10 2  10  10  5(  2 2 ) cm
2
2
PFig 
AM es la mitad de BC,
diagonal del cuadrado
de lado AB.
EB=AB – AE
Por el teorema de
Pitágoras se obtiene
AB  5 2
AFig  AABC  Asec tor AED
AFig
10  5   52


2
4
25

 25 
 25(1  ) cm2
4
4
2
La figura representa un cuadrado de lado 24 cm.
PFig  C  2
PFig    24  2  24
 24(  2) cm
AFig  Acuadrado  Acírculo
Recuerda que
C   d  2 r
 : lado
AFig  242    122
 (12  2) 2  122 
 122  4  122   144(4   ) cm2
3
ABC triángulo equilátero,
D, E y F puntos medios,
AB = 4 cm.
PFig  3  arco ED
PFig  3 

Recordar que:
3 2
AT .Equil. 
4
2  2
6
12
 2 cm
6
AFig  AABC  3 Asec tor AED
AFig
3  42
  22

 3
4
6
16 3 12


 4 3  2  2(2 3   ) cm2
4
6
Por el teorema de
Pitágoras se obtiene
4
AD  10 2
AB CD, OB = 10 cm
PFig  arcoCBD  arcoCED
2 10 2 10 2

2
4
 10  5 2   5(2  2 )  cm
PFig 
Asegmento  Asec tor ACED  A ACD
  (10 2 ) 2
20  10
4
2
  100 2 200


4
2
 50  100


AFig
1
 Acírculo  Asegmento circ.CED
2
AFig 
 102
 (50  100)
2
 50  50  100  100cm2
AC=AE, radios
BE=AE - AB
ABCD cuadrado, AB = 6 cm., A es centro de los arcos BD y EC.
5
PFig  arco BD  arcoCE  BE  DC
2  6 2  6 2

 (6 2  6)  6
4
8
3  2
 3 
6 2 66
2
2
 3 (1 
)  6 2 cm
2
PFig 
AC  6 2
Por ser diagonal
del cuadrado
AFig  ( Acuadrado
AFig  6 
2
  62
4

1
 Acírculo )  ( Asec tor AEC  AABC )
4
  (6 2 ) 2
8
  36  2
 36  9 
 18
8
 18  9  9  18 cm2

66
2
6
A, B, C y D puntos medios de los lados del cuadrado.
BC =
cm.
PFig  C
PFig  2  4
 8 cm
O
E
BC diagonal del cuadrado
OBEC, por lo tanto EC=4
y el lado del cuadrado
mayor 8 cm.
AFig  Acuadrado  Acírculo
AFig  82    4 2
 64  16  16(4   ) cm2
ABC triángulo equilátero, circunscrito a la circunferencia
de radio 10 cm.
PFig  C  PABC
PFig  2 10  3  20 3
 20  3  20 3
D
 20(  3 3 ) cm
En triángulo rectángulo
ODB:
OD es adyacente a un
ángulo de 60º, por lo
tanto OB=20 cm. y la
altura del T. ABC debe
ser 30 cm.
AFig  AABC  Acírculo
Por teor. de Pitágoras
se obtiene DB  10 3
20 3  30
   102
2
 300 3  100
Luego,
 100(3 3   ) cm2
AB  20 3
AFig 
7
8
Circunferencias congruentes de radio 6 m.
PFig  3  a
2  6
PFig  3 
6
 3  2
 6 cm
a
AFig  AOO 'O"  3Asec tor
Recordar que:
AT .Equil. 
3
4
2
AFig
3  122
  62

 3
4
6
3  144
  36

 3
4
6
 36 3  18  18(2 3   ) cm2
Cuadrado de lado 12 cm.
9
CD =
E
PFig
PFig
CD es la diagonal
del cuadrado de
lado CE, por lo
tanto CE=4 y el
radio = 8.
AFig  ACuadrado
AFig  12 
2
  82
C
  2 CD
2
2  8

 2 4 2
2
 8  8 2  8(  2 ) cm
1
 ( ACírculo  2 ACED )
2
 2
2
 144 32  16
44
2
 128 32  32(4   ) cm2
10
Cuadrado de lado 8 cm.
PFig  C  4 AB
PFig  2  4 2  4  (8 2  8)
 8 2   32 2  32
A
D
 8 2 (  4)  32 cm
B
AFig  2 [ ACuadrado
El radio r corresponde a la
mitad de la diagonal del
cuadrado.
r4 2
AD  8  4 2
AB  AD  2  8 2  8
1
 ( ACírculo  2 AADB )]
2
  (4 2 ) 2
(8  4 2 ) 2
AFig  2 [8 
 2
]
2
2
 2 [64  16  64  64 2  32]
2
 2 [64 2  32  16 ]  128 2  64  32
 32 (4 2  2   ) cm2
11
Semicircunferencias congruentes de 6 cm. de diámetros
perpendiculares entre sí
PFig  2  arcoOD
A
O
D
PFig
2  3
 2
4
 3 cm
B
AFig  2 ( Asec tor BOD  AOBD )
AFig  2 (

  32
 9
4
32
 )
2

 9  9 (  1) cm2
2
2
12
Circunferencia de radio 4 cm.
AB y AC tangentes, <BAC = 60º.
PFig  2  AB  arcoCB
O
PFig  2  4 3 
8 3
 B   C  90º
 BOA  60º
 BOC  120º
BO es adyacente a un
ángulo de 60º, por lo tanto
la hipotenusa OA=8.
Por teor. de Pitágoras,
AB  4 3
2  4
3
8
3

 8 ( 3  ) cm
3
AFig  2 ( AAOB  Asector )
AFig
4 3  4   42
 2(

)
2
6
16

16 3 
 16 ( 3  ) cm2
3
3
Cuadrado de lado 12 m. Cada lado está dividido en tercios.
13
PFig  C  8 OA
O
PFig  2  4  8  2 10
A
B
 8  8  2 10
OA  2  6
2
2
 4  36
 40
 2 10
 8(  2 10) m
AFig  Acuadrado  ( Acírculo  4 AABO )
AFig  122    42  4 
 144 16  48
46
2
 96  16  16 (6   ) m 2
Circunferencia de radio 8 cm. y exágono regular circunscrito.
PFig  C  6 
O

PFig
8
/2
Recordar
que
el
exágono
regular está
formado por
triángulos
equiláteros.
14
 16 (  2 3 ) cm

 2  82  ( ) 2
2
2
2
   64
4
3 2  256 / 3
9 2  256 3 /
3  16 3

16 3
 2  8  6 
3
 16  2  16 3
16 3
3
AFig  AExágono  Acírculo
1 16 3
AFig  6 ( 
 8)    82
2
3
 128 3  64
 64 (2 3   ) cm2
AC y AB tangentes, radio de la circunferencia 4 m.,
<CAB = 60º
a
D
15
PFig  arcoa  cuerda
2  4
4 3
3
2
 4(
 3) m
3
PFig 
OD adyacente a un
ángulo de 60º, por lo
tanto OD=2.
Por teor. de Pitágoras,
SemiCuerda  2 3
AFig  ASegmento _ circular
AFig 
  42
3

4 32
2
16
4 3
3
4
 4(
 3 ) cm2
3

ABCD cuadrado de lado 12 m, las 8 semicircunferencias iguales.
a
PFig  8  arcoa
2  3
PFig  8 
2
 24 m
AFig  ACuadrado
AFig  122
 144 m 2
16
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