Appunti del secondo modulo
Non citare da queste note (che
sono in parte una rielaborazione
del testo di Huggett)
Kant e la geometria euclidea
• “La certezza apodittica di tutte le proposizioni
geometriche, e la possibilità della loro costruzione a
priori, è fondata su questa necessità a priori dello
spazio” (p. 217 Huggett).
• Se togliessimo dalla rappresentazione del mondo
esterno tutti i contenuti, resterebbero le relazioni
spaziali, la struttura geometrica dello spazio, la
forma delle sensazioni come è stata descritta da
Euclide
• Lo spazio è intuizione perché è rappresentazione
immediata del mondo esterno, forma del senso
esterno.
• Lo spazio è solo per il soggetto, e non esiste in sé!!
La geometria come basata sul
sintetico a priori
• Carattere universale e necessario (apriori) ma anche
ampliativo (sintetico) degli assiomi di Euclide:
• Tra due segni (punti) qualsiasi è possibile tracciare una ed
una sola retta.
• Si può prolungare una retta oltre i due segni
indefinitamente.
• Dato un segno e una lunghezza, è possibile descrivere un
cerchio.
• Tutti gli angoli retti sono uguali.
• Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso
lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le
due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due
angoli sono minori di due retti.
Il 5 postulato
• Se una retta che taglia
due rette determina dallo
stesso lato angoli interni
minori di due angoli
retti, prolungando le due
rette, esse si
incontreranno dalla parte
dove i due angoli sono
minori di due retti.
Il carattere euclideo delle
percezioni (spazio percettivo) e
della geometria del mondo fisico
(spazio fisico)
• Poiché la forma di ogni esperienza possibile è
euclidea, ogni esperienza o teoria sul mondo
deve essere conforme alla geometria euclidea
• Se la matematica non è sintetica, non se ne
spiega l’applicabilità al mondo.
• L’ESISTENZA DI GEOMETRIE NON EUCLIDEE
NON
UCCIDE
IL KANTISMO,
E
IN
PARTICOLARE IL SINTETICO A PRIORI?
• In quanto è certa, dice Einstein, “la geometria
non ci dice nulla sul mondo”, in quanto ci dice
qualcosa sul mondo, è incerta"
Geometrie und Erfarhung
• A questo punto salta fuori un enigma, che ha assai
disturbato i ricercatori di tutti i tempi. Com’è possibile che la
matematica, che è un prodotto del pensiero umano
indipendente da ogni altra esperienza, se la cavi così bene
al confronto con l’esperienza? Può quindi la ragione umana
senza l’esperienza mediante il puro pensiero penetrare a
fondo nelle proprietà delle cose reali? Su questo punto
secondo me si deve rispondere in breve: laddove le leggi
della matematica corrispondono alla realtà, esse non sono
certe, e laddove sono certe, esse non corrispondono alla
realtà. Piena chiarezza su questo stato dei fatti mi pare
derivi in primo luogo da quella linea di pensiero sulla
proprietà generali della matematica che `e conosciuta sotto il
nome
di
“assiomatica”.
Il
progresso
raggiunto
dall’assiomatica sta nel fatto che con essa si separa
nettamente il contenuto logico-formale da quello empirico o
intuitivo; solo quello logico formale costituisce secondo
l’assiomatica l’oggetto della matematica, e non il contenuto
La geometria ellittica
• Sia la geometria ellittica che l’iperbolica
mantengono i primi 4 assiomi ma
modificano quello sulle parallele.
• La geometria ellittica afferma che non
esistono “linee” parallele e due qualunque
rette si incontrano se continuate
indefinitamente. Linea sostituisce “linea
retta”
Gli assiomi della geometria ellittica
sono consistenti (esiste un modello
in cui sono tutti veri)
• Due punti qualunque stanno su una “linea”
(arco di cerchio massimo)
• Ogni segmento di linea può essere
prolungato indefinitamente (diventando
cerchio massimo)
• Due punti qualunque (il centro e un punto
sulla circonferenza) definiscono un cerchio
(non necessariamente massimo)
• Tutti gli angoli retti sono uguali
N
45N 10E
Roma
R’
170 W
R
• R= 6300 Km
• R’ = R cos 45
½ (6,28R’) > ¼ (6,28 R)  ½(2/2 R) > ¼ R
2 = 1,41 > 1
Verifica del terzo assioma
centro
raggi
(segmenti di
cerchio
massimo)
Secondo punto
La negazione del 5 postulato
euclideo
Qualunque coppia di
linee rette si interseca
in due punti: le “linee
rette”
su
una
superficie ellittica si
incontrano: non ci
sono
parallele
(ovvero “linee rette”
che
non
si
incontrano, nel senso
di Euclide)
La consistenza della geometria
ellittica
• Le
proprietà
metriche,
come
quelle
geometriche, si aggiungono agli insiemi di punti
di uno spazio topologico: non sono intrinsiche ai
punti
• Gli assiomi sono consistenti (sono tutti veri) nel
modello fornito dalla superficie curva
bidimensionale di una sfera (non si deve
pensare alla sfera come a un oggetto che vive
in un uno spazio tridimensionale piatto, e che
ha un interno)
• La verità della geometria euclidea non è
logicamente necessaria: la necessità consiste
nella deducibilità dei teoremi dagli assiomi, che
è una faccenda a priori.
La somma degli angoli interni di un
triangolo sferico può arrivare a 270
• Si possono misurare gli
angoli di un triangolo
terrestre, come fece
Gauss: se il risultato è
diverso da 180,
possiamo fare
esperienza di un mondo
non euclideo
Il convenzionalismo di Poincaré
• Due possibilità alternative:
• Lo spazio ha una geometria vera ma non la
possiamo scoprire e siamo costretti a una
scelta convenzionale;
• Lo spazio non ha una geometria (non ci sono
fatti da scoprire circa la natura euclidea o noneuclidea) e la convenzione è tutto ciò che c’è
• Per un neopositivista, tra queste due alternative
non c’è alcuna differenza, perché postulare fatti
che non riusciremo mai a scoprire è privo di
senso, o comunque superfluo
Il modello euclideo delle geometrie di
BL di Poincaré come esempio di
sottodeterminazione delle teorie da
parte dei fatti
• “nessun
esperimento
sarà
mai
in
contraddizione con il postulato euclideo e
nessun postulato sarà in contraddizione con
il postulato di Lobachevski” (Poincaré,
Scienza e ipotesi)
• Equazione di Poincaré secondo Huggett:
• Geometria dello spazio + comp. degli strumenti di misura =
risultati di misurazione dello spazio
Raggi di luce e geometria
• Se misurando gli angoli fatti da
raggi di luce trovassimo somme
diverse da 180, per P. non
potremmo concludere che lo
spazio è ellittico (linee luminose
blu) o iperbolico (linee luminose
rosse) senza l’ipotesi aggiuntiva
che la luce viaggia in linea retta;
infatti potremmo anche affermare
che lo spazio è euclideo ma la
luce non viaggia in linea retta, per
esempio perché incurvata da
qualche meccanismo rifrattivo
Il disco di Poincaré
• C’è una variazione di temperatura
dal centro alla circonferenza che fa
contrarre gli oggetti di un fattore
proporzionale alla differenza
indicata in figura: è una forza che
agisce su qualunque oggetto, anche
sui regoli, e i suoi abitanti non
possono rendersene conto, almeno
all’inizio; concluderanno che il
loro spazio è infinito, perché gli
oggetti misuratori diventano
sempre più piccoli verso il bordo.
Si immagini un ciclometro la cui
circonferenza si restringe sempre
più e non raggiunge mai il bordo
L
r
L(R2- r2)/R2
In questo esempio, si hanno due
interpretazioni alternative tra le
quali i fatti non possono decidere
• La geometria è euclidea ma esiste una
forza universale che fa contrarre gli
oggetti e incurva i raggi di luce
• La geometria è non-euclidea, e i suoi
abitanti misurano proprietà tipicamente
non euclidee. Vediamo perché
Le esperienze di chi è ignaro
della forza contrattiva sono noneuclidee
Supponiamo che un ciclometro lungo 1m al
centro del disco sia lungo 0,5m sulla
circonferenza tratteggiata, la cui lunghezza
euclidea è C; sia quella misurata con la
ruota c. Si ha che c = 2C ; infatti se si
suppone che il ciclometro abbia lunghezza
invariata di 1m, la circonferenza rossa
misurata a distanza D risulta di lunghezza
doppia rispetto a C, perché ogni giro, che in
realtà è mezzo metro, per i misuratori vale
sempre 1 m. Ma il diametro misurato d <
2D, perché misurando il diametro
muovendosi dalla periferia al centro e poi di
nuovo alla periferia il ciclometro si
mantiene sempre maggiore di 0.5 e diventa
1m al centro
D
Circonferenza = C
• c/d > 2D/2C=
Conclusioni
• Contro Kant, è possibile fare esperienze del
mondo
non-euclidee,
e
ciò
vale
indipendentemente dal problema di risolvere
quale sia la geometria del mondo (ovvero, in
mancanza o in presenza di forze universali di
contrazione). La geometria matematica per P è a
priori
• Reichenbach e l’interpretazione convenzionale
della metrica della relatività generale: per R. non
si può dire che lo spazio-tempo relativistico è
curvo
• Ma la lettura che prevede le forze universali di
contrazione sembra ad hoc
La contrazione delle lunghezze e
la dilatazione dei tempi
Il paradosso del saltatore d’asta
nel capanno
L’orologio luminoso
L
L  cT '
L’orologio luminoso in moto visto
dal sistema “fermo”
cT
L
vT
(cT)2
= L2 + (vT)2.
•
•
•
•
(cT)2 = (cT')2 + (vT)2
T'2 = T2 - (v/c)2T2
T' = T(1 - (v/c)2)1/2 = T/ ,
 = 1/(1 - (v/c)2)1/2
 1
• What about other clocks? The choice of this rather peculiar clock
was made only because it is one that so clearly depends on a simple
electromagnetic phenomena. Other clocks (quartz crystals, springs,
even biological clocks) depend on complicated combinations of
electromagnetic phenomena such as the forces between atoms and
molecules, and on Newton's laws. If they didn't differ from the moving
clocks by the same factor of γ, then we would conclude that the laws
of mechanics and/or electromagnetism are different between the two
frames, contrary to the principle of relativity. So time dilation would
affect biological clocks as well, and Jasper thinks that Zoe is getting
older more slowly than he is.
• Some particles striking the Earth's upper
atmosphere have energies that exceed
2*1020 eV. If such particles are protons (with
mass of about 1 GeV), their speeds would be
0.999 999 999 999 999 999 999 995 c. For
them, γ is 1011. Now the age of the universe is
about 13 billion years for us, but for such
particles, the age of the universe would be about
(13 billion years/1011), ie about a month. Such a
particle could cross the visible universe in a
matter of months (their time).
• (dal
sito
http://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/jw/mo
dule4_time_dilation.htm#length
Anche la lunghezza dei sistemi in
moto (L=cT) si contrae
• Se misuriamo le distanze con nanosecondi luce
(30cm/sec), poichè la velocità che la luce impiega a
percorrerle è la stessa nei due sistemi in virtù del
secondo postulato della teoria, e i tempi sono
diversi a causa della dilatazione del tempo nei
sistemi in moto, ci sarà anche una diversità delle
lunghezze misurate. In particolare, l’orologio che
misura intervalli temporali dilatati di un fattore ,
percorrerà distanza contratte dello stesso fattore!
Altrimenti il loro rapporto non potrebbe essere c
Contrazione delle lunghezze
• Se il guidatore dell’auto segna con della vernice
le due estremità del garage quando passa e
calcola il tempo che la luce impiega a percorrere
le distanza relativa, calcola la lunghezza del
garage in secondi luce (il tempo intercorso tra I
due spruzzi). Supponiamo che per il guidatore
siano passati 2T’ dal primo al secondo segno,
allora la lunghezza del garage sarà L’= 2T’v (v=
velocità relativa). Poichè però per il garagista
2T=2T’ (T>T’) la lunghezza che egli misura per
il suo garage (lunghezza propria), sarà
L= 2vT = 2vT' =L’   L>L’
Asta e capanno
• Immaginate che Eric costruisca un
capanno lungo quanto un’asta da saltatore
in movimento. La sua asta e quella di
Erica sono della stessa lunghezza a
riposo, lunghezza che eccede quella del
capanno. Ma quando Emma corre verso il
capanno, l’asta si contrae ed entra tutta
nel capanno.
Il punto di vista di Eric
Il capanno ha due porte alle estremità. Emma, with her
contracted pole, will run into the shed and he will shut both
doors just when her pole fits inside. For an instant at least,
Emma's pole will be entirely inside the shed and he will
have proved that her pole has shrunk
Il punto di vista della saltatrice
"You cheated," she says "you closed the back door when
my pole had already poked through the front door! My pole
was always longer than your shed." Their disagreement is
now about the timing of the closing of the doors. Did two
distant events happen simultaneously or not?
• Due lampi di luce quando le porte si chiudono.
Here is his view of events, with the flash bulbs
represented by white circles. It just so happens
that, according to Eric, Emma was at the
midpoint of the shed when the flash bulbs went
off.
•
Paradosso asta-saltatore
Le linee intere rappresentano la storia spazio-temporale dell’asta,
quelle tratteggiate la storia del capanno. Per Eric l’asta è nel
capanno al tempo t=0,L0=l , per Emma non lo è mai a nessun
Come ricavare un “punto di vista”
da un altro: le trasformate di Lorenz
• Si noti che entrambi hanno ragione, dal
loro punto di vista, perchè in relatività “non
c’è un punto di vista assoluto”.x Due
sistemi in moto reciproco lungo l’asse
delle x
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