Università di Roma – Tor Vergata
Corso di Perfezionamento in:
“Nuove tendenze della didattica della Matematica e della Fisica”
Laboratorio:
le coniche e le loro applicazioni
Tirocinanti:
Referente:
L. Aragosa
S. Ruzzante
dott.ssa F. Tovena
A. Antonelli
E. Pascale
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Le coniche e le loro applicazioni
Presentazione
Rivolto a studenti
delle classi 4ªe 5ª
liceo classico e scientifico
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Obiettivi disciplinari e formativi
Trattare parallelamente sia il punto di vista sintetico, riferendosi
cioe’ al cono e al piano con il quale il cono e’ tagliato, sia quello
analitico, determinando l’equazione del luogo.
Da”Le geometrie della visione”
di L.Catastini F.Ghione
Dare una visione “GESTALTICA” dell’oggetto nello spazio
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Perchè un laboratorio sulle coniche
Obiettivi Disciplinari e Formativi:
Presentare il periodo storico in cui si sviluppa la teoria
delle coniche.
Capire quale è stata la necessità di sviluppare una teoria sulle coniche.
Mettere in luce le proprietà di rette, piani, coni, sfere e
cilindri, normalmente esclusi nei programmi tradizionali,
introducendo proprietà focali in modalità applicativo-pratico.
Legare ad esso lo studio di problemi non banali frequentemente
ritrovati nei programmi accademici come le orbite planetarie,
fenomeni ottici e risoluzione geometrica di equazioni
algebriche, esaltando il ruolo della metodologia didattica
applicabile ad altri contenuti.
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Perchè un laboratorio sulle coniche
Strategie didattiche per gli obiettivi disciplinari e formativi:
Affrontare il progetto di laboratorio con un
“ordine di apprendimento”,
seguendo il percorso scientifico compiuto dai matematici
Stimolare il loro interesse attraverso
“software di geometria dinamica”
che rappresentano gli oggetti in questione dinamicamente
Coinvolgerli personalmente nell’utilizzo di oggetti pratici
costruiti appositamente:
“farli alzare dal banco”.
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Perchè un laboratorio sulle coniche
Strumenti “dalla storia”:
testi classici, compasso
di Leonardo, compassi
per specchi parabolici,
tavole prospettiche
Strumenti Utilizzati
Strumenti moderni:
computer collegato ad un
proiettore tavole di lavoro,
oggetti d’uso quotidiano
(torce) software geometria
dinamica (Cabri,Cinderella),
animazioni Java, materiale
fruibile in rete.
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Perchè un laboratorio sulle coniche
Risultati finali attesi:
• coinvolgimento attivo e propositivo nello studio della matematica e stimolo ad
un atteggiamento di ricerca;
• diminuzione dell’atteggiamento “non mi è venuto l’esercizio”
• conoscenza approfondita dell’argomento “coniche”
• dimestichezza riguardo le applicazioni attraverso gli strumenti forniti
• capacità di riprendere un “percorso logico-matematico”
e perchè no …
future iscrizioni alle facoltà scientifiche
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Perchè un laboratorio sulle coniche
Produrre materiale didattico - laboratoriale ripartito in:
• cartaceo (dispense e tavole di lavoro)
Obiettivi Prefissati
• concreto (oggetti realizzati nei laboratori)
• multimediale (materiale in rete)
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Le coniche e le loro applicazioni
Suddivisione delle lezioni:
1) Impostazione teorica di Apollonio: introduzione sintetica del concetto di conica vista come
risultato della sezione di un cono con un piano.
Deduzione dell'espressione analitica nei casi generali e particolari attraverso semplici passaggi
algebrici.
2) Percorso storico sul concetto di cono: come viene studiato nel passato.
Introduzione pittorica del De Pictura (Alberti): come nasce nella storia la necessità di rappresentare
e descrivere una conica: rappresentazione prospettica di una circonferenza.
Applicazioni suggerite dal trattato sulle coniche di Pascal: teorema dell’esagono mistico proiezione
di circonferenza su un quadro.
3) Parallelo tra gli strumenti antichi e moderni per la rappresentazione grafica di una conica.
Presentazione e utilizzo del compasso di Leonardo Da Vinci
Applicazioni mediante programmi di geometria dinamica nel piano e nello spazio
(Cabri, Cinderella).
Esercitazioni al computer.
4) Luoghi geometrici, equazione analitica delle coniche.
Conica e carta:come costrire una conica con mezzi di uso quotidiano.Esercitazioni pratiche
che esaltano l’aspetto ludico dell’argomento.
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Le coniche e le loro applicazioni
5) Descrizione analitica di fuochi e direttrici.
Proprietà focali di una conica: fuochi rispetto alle leggi di riflessione.
Applicazioni tecniche: specchi ustori e antenne paraboliche.
6) Le coniche viste come ombra di una sfera: descrizione sintetica di fuochi e direttrici di una
conica (sfere di Dandelin).
7) Applicazioni fisiche del concetto di conica: orbite kepleriane (studi sull'orbita di Marte) e
costanza della velocità aereolare. Eccentricita’
8) Risoluzione geometrica di equazioni algebriche di terzo e quarto grado secondo la
tradizione araba intersecando cerchi, parabole o iperboli equilatere.
Tutte le lezioni sono corredate di tavole di lavoro
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Le coniche e le loro applicazioni
Oggi presenteremo due delle otto lezioni:
Partiamo con la lezione 1
Introduzione sintetica del concetto di conica vista
come risultato della sezione di un cono con un piano.
Deduzione dell'espressione analitica nei casi generale
e particolare attraverso semplici passaggi algebrici.
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Lezione 1
Descrizione sintetica: data una retta a e una retta r che
si intersecano in un punto detto V, chiamiamo θ
l’angolo tra r ed a.
La superficie che si ottiene dalla rotazione completa di
r attorno a , lasciando fisso l’angolo, e’ detta cono (a
due falde).
r
V
θ
a
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Lezione 1
Approccio geometrico-visivo
a) Collocare il cono nello spazio ;
b) Scegliere un sistema di riferimento “arbitrario e comodo”;
c) Intersecare il cono con piani di diversa inclinazione, studiare i risultati delle
intersezioni ripercorrendo lo studio di Apollonio di Perga (III sec. a.C.)
z
r
V
y
x
a
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Lezione 1
Parabola
Ellisse
Iperbole
Ellisse
Parabola
Circonferenza
Circonferenza
Iperbole
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Lezione 1
Approccio geometrico-analitico
Dedurre l’equazione analitica di un cono e di un piano attraverso semplici
passaggi algebrici
Idea più semplice e intuitiva: intersecare il cono con un piano perpendicolare
all’asse a
a
Equazione Cono con V=(0,0) e asse z
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tan2 (() z) 2z 0 0
x x y y tan
2
2
2
2
2
x  y  k tan ( )
2
2
2
2
Equazione piano parallelo al piano OXY
zk
zk
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Esercizio
Tavola 1.1
Sul piano z=k considero la circonferenza  k di centro (0,0,k) e raggio R, qual è
il luogo formato dall’unione delle circonferenze al variare del parametro reale k ?
k
(0,0,k)
R
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Esercizio
Cosa ci aspettiamo se il nostro approccio funziona….
Con il tentativo di “attivare una visione gestaltica”
vorremmo che la risposta fosse: “CONO”
r
V
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Esercizio
Tavola 1.2
Cosa
puntiamo
torcia
muro
Chesuccede
“forma”seha
il fascioladiluce
lucediseuna
punto
unacontro
torcia ilcon
il ?
braccio
braccioinclinato
perpendicolare
rispettoalalmuro?
muro?
Risposta: si
forma
un’ellisse
una
circonferenza
Risposta:
forma
un
cono
di luce
osi un
iperbole
Circonferenza
Ellisse
Iperbole
Cono
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Applicazioni
Le coniche nella realtà “concreta”
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Lezione 6
Passiamo ora alla lezione 6
Le coniche viste come ombra di una sfera:
descrizione sintetica di fuochi e direttrici di una conica.
Sfere di Dandelin.
Equivalenza tra la definizione di conica data da
Apollonio e la definizione di conica come luogo
geometrico soddisfacente proprietà di carattere
metrico.
G.P. Dandelin
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Lezione 6
Una sezione conica possiede una o due sfere di Dandelin
caratterizzate dalla proprietà:
Una sfera di Dandelin e’ tangente sia al piano che al
cono.
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Lezione 6
Ellisse o circonferenza
due sfere di Dandelin
Parabola
una sfera di Dandelin
Iperbole
due sfere di Dandelin
Proprietà:
“Il punto nel quale una sfera
tocca il piano è un fuoco
della sezione conica”
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Lezione 6
Teoremi di Dandelin:
• “I fuochi dell’ellisse ottenuta intersecando un cono con un piano sono i
punti di contatto delle due sfere tangenti (internamente) alla superficie
conica”
• “I fuochi dell’iperbole ottenuta intersecando un cono con un piano
sono i punti di contatto delle due sfere tangenti al piano e tangenti
(internamente) alla superficie conica”.
• “Il fuoco della parabola ottenuta intersecando un cono con un piano è il
punto di contatto della sfera tangente (internamente) alla superficie conica.
La direttrice della parabola risulta l’intersezione del suddetto piano con
quello in cui giace la circonferenza di contatto tra cono e sfera”.
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Lezione 6
Sfere di Dandelin (meta’ ottocento )
L'ombra proiettata da una sorgente luminosa
posta sopra una sfera è un'ellisse.
Abbassando ulteriormente la fonte
luminosa si otterrà un ramo di iperbole.
Se la sorgente di luce è in un piano
parallelo al tavolo che passa al di sopra
della sfera, si formerà una parabola.
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Esercizio
Soluzione
Tavola 6.2
Disegnare l’ombra di una sfera generata da un fascio di luce
perpendicolare al tavolo sul quale poggia.
Determinare il luogo di tangenza tra la sfera e la “conica ombra”
generata.
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Conclusioni
Livello didattico:
• riscontro positivo da parte degli studenti
• la produzione di materiale ha il fine di rendere facilmente comprensibile
un argomento matematico, che può essere approfondito in qualunque
momento al di fuori del laboratorio stesso.
• lasciare una buona impressione della matematica.
Livello personale:
• ci si aspetta un importante affinamento delle proprie competenze come
didatta e come comunicatore multimediale;
• questo laboratorio permetterà di applicare quanto appreso negli anni di laurea,
e di imparare, concretamente, da insegnanti esperti
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