Capítulo 6B – Movimiento de
proyectiles
Presentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
©
2007
Objetivos: Después de completar
este módulo, deberá:
 Describir el movimiento de un proyectil al
tratar los componentes horizontal y vertical
de su posición y velocidad.
• Resolver para posición, velocidad o tiempo
cuando se dan velocidad inicial y ángulo de
lanzamiento.
Movimiento de proyectiles
Un proyectil es una partícula que se mueve
cerca de la superficie de la Tierra sólo bajo la
influencia de su peso (dirigido hacia abajo).
W
W
a=g
W
Movimiento vertical y horizontal
Simultáneamente suelte la
bola amarilla y proyecte la
bola roja horizontalmente.
Dé clic a la derecha para
observar el movimiento de
cada bola.
Movimiento vertical y horizontal
Simultáneamente suelte una
bola amarilla y proyecte la
bola roja horizontalmente.
W W
¿Por qué golpean el suelo al
mismo tiempo?
Una vez comienza el movimiento, el peso hacia
abajo es la única fuerza sobre cada bola.
Bola proyectada horizontalmente
y otra soltada al mismo tiempo:
El movimiento vertical es el mismo para cada bola
vox
0s
vx
vy
vx
vy
vy
vx
vy
vy
vy
1s
2s
3s
Observe el movimiento de cada bola
El movimiento vertical es el mismo para cada bola
vox
0s
1s
2s
3s
Considere por separado los
movimientos horizontal y vertical:
Compare desplazamientos y velocidades
0s
vox 1 s
vy
2s
3s
0s
vx
La velocidad
horizontal no cambia.
Velocidad vertical tal
como caída libre.
1s
vx
vy
vy
2s
vx
3s
Cálculo de desplazamiento para
proyección horizontal:
Para cualquier aceleración constante:
x  vo t 
1
2
at
Para el caso especial de proyección horizontal:
a x  0; a y  g v oy  0; v ox  v o
Desplazamiento horizontal :
x  v ox t
Desplazamiento vertical:
y
1
2
gt
2
2
Cálculo de velocidad para
proyección horizontal (Cont.):
Para cualquier aceleración constante:
v f  v o  at
Para el caso especial de un proyectil:
a x  0; a y  g v oy  0; v ox  v o
Velocidad horizontal:
v x  v ox
Velocidad vertical:
v y  v o  gt
Ejemplo 1: Una bola de béisbol se golpea
con una rapidez horizontal de 25 m/s. ¿Cuá
es su posición y velocidad después de 2 s?
x
+50 m
y
25 m/s
-19.6 m
Primero encuentre los desplazamientos horizontal y
vertical :
x  v ox t  (25 m/s)(2 s)
x = 50.0 m
y
1
2
gt 
2
1
2
(  9.8 m /s )(2 s)
2
2
y = -19.6 m
Ejemplo 1 (Cont.): ¿Cuáles son los
componentes de la velocidad después de 2
25 m/s
vx
v0x = 25 m/s
v0y = 0
vy
Encuentre la velocidad horizontal y vertical después de 2 s:
v x  v ox  (25 m/s)
vx = 25.0 m/s
v y  v o y  a t  0  (  9 .8 m /s )(2 s)
2
vy = -19.6 m/s
Considere proyectil a un ángulo:
Una bola roja se proyecta a un ángulo q. Al mismo tiempo,
una bola amarilla se lanza verticalmente hacia arriba y una
bola verde rueda horizontalmente (sin fricción).
vx = vox = constante
vo
voy
q
v y  v oy  at
vox
a   9.8 m /s
2
Note los movimientos vertical y horizontal de las bolas
Cálculos de desplazamiento para
proyección general:
Los componentes del desplazamiento en el tiempo t son:
x  v ox t 
1
2
a xt
2
y  voy t 
1
2
a yt
2
Para proyectiles: a x  0; a y  g ; v oy  0; v ox  v o
Por tanto, los
componentes x y y para
proyectiles son:
x  v ox t
y  v oy t 
1
2
gt
2
Cálculos de velocidad para
proyección general:
Los componentes de la velocidad en el tiempo t son:
v x  v ox  a x t
v y  v oy  a y t
Para proyectiles: a x  0; a y  g ; v oy  0; v ox  v o
Por tanto, los
componentes de
velocidad vx y vy para
proyectiles son:
vx = v0x constante
vy = v0y + gt
Estrategia para resolución de problema
1. Descomponer la velocidad inicial vo en componentes:
voy
vo
q
vox
v ox  v o cos q ;
v oy  v o sin q
2. Encuentre componentes de posición y
velocidad final:
Desplazamiento:
Velocidad:
x  v ox t
y  v oy t 
vx = v0x
1
2
gt
2
vy = v0y + gt
Estrategia para el problema (Cont.):
3. La posición y velocidad finales se pueden
encontrar a partir de los componentes.
y
voy
R
q
x
vo
q
vox
R 
x  y ;
2
2
tan q 
y
x
v
v v ;
2
x
2
y
tan q 
vy
vx
4. Use los signos correctos. Recuerde: g es
negativo o positivo dependiendo de su
elección inicial.
Ejemplo 2: Una bola tiene una velocidad
inicial de 160 ft/s a un ángulo de 30o con la
horizontal. Encuentre su posición y velocidad
después de 2 s y de 4 s.
voy
160 ft/s
v ox  (160 ft/s) cos 30  139 ft/s
30o
v o y  (1 6 0 ft/s) sin 3 0  8 0 .0 ft/s
vox
0
0
Dado que vx es constante, los desplazamientos
horizontales después de 2 y 4 segundos son:
x  v ox t  (139 ft/s)(2 s)
x = 277 ft
x  v ox t  (139 ft/s)(4 s)
x = 554 ft
Ejemplo 2: (continuación)
voy
160 ft/s
30o
vox
2s
277 ft
4s
554 ft
Nota: SÓLO se conoce la ubicación horizontal
después de 2 y 4 s. No se sabe si va hacia arriba
o hacia abajo.
x2 = 277 ft
x4 = 554 ft
Ejemplo 2 (Cont.): A continuación encuentre
los componentes verticales de la posición
después de 2 s y 4 s.
g = -32 ft/s2
voy= 80 ft/s
160 ft/s
y2
y4
q
0s
1s
2s
3s
4s
Desplazamiento vertical como función del tiempo:
y  voy t 
1
2
g t  (8 0 ft/s) t 
2
y  80 t  16 t
2
1
2
(  3 2 ft/s ) t
2
Observe unidades
consistentes.
2
(Cont.) Los signos de y indicarán la
ubicación del desplazamiento (arriba + o
abajo – del origen).
2
g
=
32
ft/s
voy= 80 ft/s
160 ft/s
96 ft
y2
16 ft
q
0s
1s
2s
3s
Posición vertical:
y 2  80(2 s)  16(2 s)
y 2  9 6 ft
2
y 4  1 6 ft
y4
4s
y  80 t  16 t
2
y 4  80(4 s)  16(4 s)
Cada una arriba del
origen (+)
2
(Cont.): A continuación encuentre los componentes
horizontal y vertical de la velocidad después de 2 y
voy
160 ft/s
v ox  (160 ft/s) cos 30  139 ft/s
30o
v o y  (1 6 0 ft/s) sin 3 0
vox
0
0
 8 0 .0 ft/s
Dado que vx es constante, vx = 139 ft/s en todos los tiempos.
La velocidad vertical es la misma que si se proyectara
verticalmente:
vy = v0y + gt;
donde g = -32 ft/s2
En cualquier
v x  139 ft/s
tiempo t:
v y  v oy  (32 ft/s) t
Ejemplo 2: (continuación)
vy= 80.0 ft/s
g = -32 ft/s2
v2
160 ft/s
v4
q
0s
1s
2s
En cualquier
v

139
ft/s
x
tiempo t:
3s
4s
v y  v oy  (32 ft/s) t
v y  80 ft/s  (32 ft/s)(2 s)
v2y = 16.0 ft/s
v y  80 ft/s  (32 ft/s)(4 s)
v4y = -48.0 ft/s
Ejemplo 2: (continuación)
vy= 80.0 ft/s
g = -32 ft/s2
v2
160 ft/sSe mueve arriba Se mueve abajo
+16 ft/s
-48 ft/s
q
0s
1s
2s
3s
v4
4s
Los signos de vy indican si el movimiento es
arriba (+) o abajo (-) en cualquier tiempo t.
A 2 s: v2x = 139 ft/s; v2y = + 16.0 ft/s
A 4 s: v4x = 139 ft/s; v4y = - 48.0 ft/s
(Cont.): El desplazamiento R2,q se encuentra a
partir de los desplazamientos componentes x2 y y2
R 
x  y
2
2
R2
t=2s
tan q 
y
x
y2 = 96 ft
q
0 s x2= 277 ft 2 s
R 
(277 ft )  (96 ft)
2
4s
2
tan q 
96 ft
277 ft
R2 = 293 ft
q2 = 19.10
(Cont.): De igual modo, el desplazamiento R4,q se
encuentra a partir de los desplazamientos componen
x4 y y4.
R 
x  y
2
t=4s
2
tan q 
x
R4
y4 = 64 ft
q
0s
R 
x4= 554 ft
(554 ft )  (64 ft)
2
y
2
4s
tan q 
64 ft
554 ft
R4 = 558 ft
q4 = 6.590
(Cont.): Ahora se encuentra la velocidad despu
de 2 s a partir de los componentes vx y vy.
v2
voy= 80.0 ft/s
q
0s
v2 
v2x = 139 ft/s
v2y = + 16.0 ft/s
Se mueve
arriba +16
ft/s
160 ft/s
g = -32 ft/s2
2s
(139 ft/s)  (16 ft/s)
2
v2 = 140 ft/s
2
tan q 
16 ft
139 ft
q2 = 6.560
(Cont.) A continuación, encuentre la velocidad
después de 4 s a partir de los componentes v4x y v
g = -32 ft/s2
voy= 80.0 ft/s
v4x = 139 ft/s
v4y = - 48.0 ft/s
160 ft/s
q
0s
v4 
v4
4s
(139 ft/s)  (  46 ft/s)
2
v4 = 146 ft/s
2
tan q 
16 ft
139 ft
q2 = 341.70
Ejemplo 3: ¿Cuáles son la altura máxima y e
rango de un proyectil si vo = 28 m/s a 300?
voy
28 m/s
30o
vy = 0
ymax
vox
vox = 24.2 m/s
voy = + 14 m/s
v ox  (28 m /s) cos 30  24.2 m /s
0
v0y = (28 m/s) sen 30° = 14 m/s
La máxima coordenada y ocurre cuando vy = 0:
v y  v oy  g t  1 4 m /s  (  9 .8 m /s ) t  0
2
ymax ocurre cuando 14 – 9.8t = 0 o t = 1.43 s
Ejemplo 3(Cont.): ¿Cuál es la altura máxim
del proyectil si v = 28 m/s a 300?
voy
28 m/s
30o
vy = 0
ymax
vox
vox = 24.2 m/s
voy = + 14 m/s
La máxima coordenada y ocurre cuando t = 1.43 s:
y  voy t 
1
2
g t  1 4 (1 .4 3) 
2
y  20 m  10 m
1
2
(  9 .8)(1 .4 3)
ymax= 10.0 m
2
Ejemplo 3(Cont.): A continuación, encuentr
el rango del proyectil si v = 28 m/s a 300.
voy
vox = 24.2 m/s
voy = + 14 m/s
28 m/s
30o
vox
Rango xr
El rango xr se define como la distancia horizontal
que coincide con el tiempo para el regreso vertical.
El tiempo de vuelo se encuentra al hacer y = 0:
y  voy t 
1
2
gt  0
2
(continúa)
Ejemplo 3(Cont.): Primero se encuentra el
tiempo de vuelo tr, luego el rango xr.
voy
vox = 24.2 m/s
voy = + 14 m/s
28 m/s
30o
vox
y  voy t 
v oy 
1
2
Rango xr
1
2
gt  0
gt  0;
(Divida por t)
2
t
v oy
g

2(14 m /s)
2
; t  2.86 s
-(-9.8 m / s )
xr = voxt = (24.2 m/s)(2.86 s);
xr = 69.2 m
Ejemplo 4: Una bola rueda desde lo alto de
una mesa a 1.2 m de altura y aterriza en el
suelo a una distancia horizontal de 2 m.
¿Cuál fue la velocidad cuando dejó la mesa?
1.2 m
R
2m
Nota: x = voxt = 2 m
0
y = voyt + ½ayt2 = -1.2 m
Primero encuentre t a
partir de la ecuación y:
½(-9.8)t2 = -(1.2)
y
t
t = 0.495 s
1
2
gt   1.2 m
2
2(  1.2)
 9.8
Ejemplo 4 (Cont.): Ahora use la ecuación
horizontal para encontrar vox al salir de lo al
de la mesa.
Nota: x = voxt = 2 m
1.2 m
R
2m
y = ½gt2 = -1.2 m
Use t = 0.495 s en la ecuación x: v ox t  2 m
v ox (0.495 s) = 2 m ;
La bola deja la mesa
con una rapidez:
v ox 
2 m
0.495 s
v = 4.04 m/s
Ejemplo 4 (Cont.): ¿Cuál será su rapidez
cuando golpee el suelo?
Nota:
t = 0.495 s
vx = vox = 4.04 m/s
1.2 m
0
vx
2m
vy = vy + gt
vy
vy = -4.85 m/s
vy = 0 + (-9.8 m/s2)(0.495 s)
v
(4.04 m /s)  (  4.85 m /s)
2
v4 = 146 ft/s
2
tan q 
 4.85 m
4.04 m
q2 = 309.80
Ejemplo 5. Encuentre el “tiempo colgado” para
el balón cuya velocidad inicial es 25 m/s, 600.
vo =25 m/s
600
Inicial vo:
y = 0; a = -9.8 m/s2
vox = vo cos q
Tiempo de
vuelo t
voy = vo sin q
Vox = (25 m/s) cos 600;
vox = 12.5 m/s
Voy = (25 m/s) sen 600;
vox = 21.7 m/s
Sólo los parámetros verticales afectan al tiempo de vuelo.
y  voy t 
1
2
a t ; 0  (2 1 .7 ) t 
2
1
2
(  9 .8) t
2
Ejemplo 5 (Cont.) Encuentre el “tiempo de vuelo”
para el balón cuya velocidad inicial es 25 m/s, 600
vo =25 m/s
600
y  voy t 
vox = vo cos q
Tiempo de
vuelo t
1
2
voy = vo sen q
a t ; 0  (2 1 .7 ) t 
2
4.9 t2 = 21.7 t
t
Inicial vo:
y = 0; a = -9.8 m/s2
21.7 m /s
4.9 m /s
2
1
2
(  9 .8) t
4.9 t = 21.7
t = 4.42 s
2
Ejemplo 6. Un perro que corre salta con velocidad
inicial de 11 m/s a 300. ¿Cuál es el rango?
Dibuje figura y
encuentre componentes:
voy = 11 sen 300
v = 11 m/s
vox = 9.53 m/s
q =300
voy = 5.50 m/s
vox = 11 cos 300
Para encontrar el rango, primero encuentre t
cuando y = 0; a = -9.8 m/s2
y  voy t 
1
2
at ; 0  (5.50) t 
4.9 t2 = 5.50 t
4.9 t = 5.50
2
t
5.50 m /s
4.9 m /s
2
1
2
(  9.8) t
2
t = 1.12 s
Ejemplo 6 (Cont.) Un perro salta con velocidad ini
de 11 m/s a 300. ¿Cuál es el rango?
El rango se encuentra a
partir del componente x:
voy = 10 sen 310
v = 10 m/s
vx = vox = 9.53 m/s
x = vxt; t = 1.12 s
q =310
vox = 10 cos 310
La velocidad horizontal es constante: vx = 9.53 m/s
x = (9.53 m/s)(1.12 s) = 10.7 m
Rango: x = 10.7 m
Resumen de proyectiles:
1. Determine los componentes x y y de v0
v0x = v0 cosq
y
v0y = v0 senq
2. Los componentes horizontal y vertical del
desplazamiento en cualquier tiempo t están dados
por:
x  v ox t
y  v oy t 
1
2
gt
2
Resumen (continuación):
3. Los componentes horizontal y vertical de la
velocidad en cualquier tiempo t están dados
por:
v x  v ox ; v y  v oy  gt
4. Luego, si se desea, se pueden encontrar el
desplazamiento vectorial o la velocidad a
partir de los componentes:
R 
x  y
2
2
tan q 
y
x
CONCLUSIÓN: Capítulo 6B
Movimiento de proyectiles
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