UNIDAD No. 1
El proceso de
integración
Area bajo la curva
AREA BAJO LA CURVA DE
UNA FUNCIÓN
Considérese una función f(x) finita,
continua y positiva en todo punto de
algún intervalo [a,b].
 Sea R la región limitada por la curva
de f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b.

¿Cuál es el valor del área de la
Región R [área bajo la curva de la
función f(x)]?
AREA BAJO LA CURVA

Restringiendo a f(x) como una función
creciente:
AREA BAJO LA CURVA...


Es posible aproximar el valor del área de la
región R mediante el valor del área del
rectángulo de altura f(a) y base dada por
(b-a). (Rectángulo INSCRITO en la región
R).
También es posible aproximar el valor del
área de la región R mediante el área del
rectángulo de altura f(b) y base dada por
(b-a). (Rectángulo CIRCUNSCRITO en la
región R).
AREA BAJO LA CURVA...
AR

A1

[ f ( a )] * [ b  a ]
AR
A1

[ f ( b )] * [ b  a ]
A1
A1
AR


A1

[ f ( a )] * [ b  a ]
AR

A1

[ f ( b )] * [ b  a ]
AREA BAJO LA CURVA...

Podemos mejorar la aproximación
dada en el proceso anterior,
considerando en lugar de uno, ahora
DOS rectángulos de igual base
inscritos en la región R, esto nos
conduce ahora a lo siguiente:
AREA BAJO LA CURVA...
A1
AR


[ f ( a )] * [
ba
2
A2
A1  A 2
]  [ f (a 
ba
)] * [
2
2


i 1
f ( a  ( i  1)  x i ) *  x i
ba
2
]
AREA BAJO LA CURVA...

Podemos mejorar aún más la
aproximación dada en el proceso
anterior, considerando en lugar de
dos, ahora TRES rectángulos de igual
base inscritos en la región R, esto nos
conduce ahora a lo siguiente:
AREA BAJO LA CURVA...
A1
AR
A2


A3
A1  A 2  A 3
[ f ( a )] * [
ba
]  [ f (a 
3
ba
3
)] * [
ba
3
ba
ba
]  [ f (a  2
)]
*
[
]

3
 3 
3


i 1
f ( a  ( i  1)  x i ) *  x i
AREA BAJO LA CURVA...

Considerando un gran número (n) de
rectángulos inscritos en la región R es
posible mejorar aún más la
aproximación del área de la región R
y esto nos conduce a lo siguiente:
AREA BAJO LA CURVA...
A1
AR


An
A1  A 2  A 3    A n
[ f ( a )] * [
ba
]  [ f (a 
n
ba
n
)] * [
ba
n
ba
ba
ba
ba
]  [ f (a  2
]    [ f ( a  ( n  1) 
]
 )] * [
 )] * [
n
n
 n 
 n 
n

...

i 1
f ( a  ( i  1)  x i ) *  x i
AREA BAJO LA CURVA...

Es claro que esta aproximación puede
ser cada vez mejor entre mayor sea el
número de rectángulos considerados
pero será igual sólo considerando el
valor límite cuando el número de
rectángulos sea infinito. Así:
AR 
Lim
n
n


i 1
f ( i )  x i
AREA BAJO LA CURVA...
¿De qué manera cambia lo descrito
hasta ahora si en lugar de considerar
rectángulos INSCRITOS a la región
consideramos rectángulos
CIRCUNSCRITOS?
 ¿De qué manera cambia lo descrito
hasta ahora si en lugar de considerar
una función CRECIENTE
consideramos una función
DECRECIENTE?

PROBLEMAS

Determinar el valor del área limitada
por la gráfica de la función, el eje x y
las rectas indicadas usando para ello la
suma de las áreas de los rectángulos
indicados:
1.
f ( x)  x  1
2.
f ( x )  10  x
3.
f ( x )  2  x 
2
2
3
x=2, x=3,
Rectángulos inscritos
x=1, x=2,
Rectángulos circunscritos
x=3, x=6,
Rectángulos circunscritos
INTEGRAL DEFINIDA

Sea f una función definida en un
intervalo cerrado [a,b]. Entonces la
integral definida de f desde un valor a
hasta un valor b, denotada por
b

f ( x )dx
se define como:
a
b

a
f ( x )dx 
Lim
P 
n

0
k 1
f (x
*
k
)x k
TEOREMA FUNDAMENTAL
DEL CÁLCULO

Sea f continua en [a,b] y F cualquier
función para la cual F´(x)=f(x).
Entonces:
b

a
f ( x )dx  F ( b )  F ( a )
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